2022届河南省高三仿真模拟考试文科数学试卷及答案

2021~2022年度河南省高三仿真模拟考试

数学（文科）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{矩形}，D＝{菱形}，则（    ）

A．  B．  C．  D．{正方形}

2．若复数，则（    ）

A．8   B．64   C．10   D．100

3．已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．不等式组表示的可行域的面积为（    ）

A．6    B．7    C．12    D．14

5．设，是两个不同的平面，则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（    ）

A．   B．    C．   D．

7．定义矩阵运算，则（    ）

A．    B．    C．    D．

8．函数的最大值为（    ）

A．2    B．3    C．4    D．5

9．当时，函数取得最小值，则（    ）

A．   B．1   C．   D．2

10．在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，，，则四面体ABCD内切球的半径为（    ）

A．   B．   C．   D．

11．已知函数在上单调，且，则的可能取值（    ）

A．只有1个   B．只有2个   C．只有3个   D．有无数个

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（    ）

A．   B．   C．    D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．抛物线的焦点到准线的距离为______．

14．小李与小张计划周日上午到某景区游玩，他们各自从不同地方出发去往景区售票点．当天上午小李八点到达景区售票点，小张未到，他决定最多等他四十分钟，如果超过四十分钟小张未到，他就先进景区．若小张将在八点十分到九点的任意时刻到达景区售票点，则小李与小张一同进入景区的概率为______．

15．已知是公比为2的等比数列，为的前n项和，且，则______，______．（本题第一空2分，第二空3分）

16．已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．

（1）若，求外接圆的面积；

（2）若，求的周长．

18．（12分）

如图，在正三棱柱中，D是BC的中点．

（1）证明：平面．

（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比．

19．（12分）

在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从2010年到2018年在线音乐市场规模变化情况如下表所示：

将2010年作为第1年，设第i年的市场规模为亿元．

（1）与哪一个更适宜作为市场规模y关于i的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）中的判断及表中的数据，求市场规模y关于i的回归方程．（系数精确到0.0001）

参考数据：令，，，，，

，，．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

20．（12分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论在区间上极值点个数．

21．（12分）

已知椭圆的右焦点为，且点到坐标原点的距离为．

（1）求C的方程．

（2）设直线与C相切于点P，且与直线相交于点Q．

①若Q的纵坐标为1，直线FQ与C相交于A，B两点，求．

②判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，将点A按逆时针方向旋转得到点B，按顺时针方向转得到点C．

（1）求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；

（2）设P为坐标系中的任意一点，求的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当，时，求不等式的解集．

（2）若的最小值为6，证明：．

2021~2022年度河南省高三仿真模拟考试

数学参考答案（文科）

1．D 【解析】本题考查集合的交集和并集，考查逻辑推理的核心素养．

因为既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以{正方形}．

2．C 【解析】本题考查复数的运算与复数的模，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

3．A 【解析】本题考查共线向量，考查数学运算的核心素养．

因为O，A，B三点共线，所以，所以，，

即，又因为向量，不共线，所以，则．

4．B 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．

作出不等式组表示的可行域（图略），由图可知，可行域的面积为．

5．B 【解析】本题考查面面平行的判定与常用逻辑用语，考查空间想象能力与推理论证能力．

如图，若中的两点B，C与点A在的两侧，且这三个点到的距离都相等，则与不平行．若，则中必有三个不共线的点到的距离都相等．故“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件．

6．C 【解析】本题考查等差、等比数列，考查逻辑推理的核心素养．

数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．因此第8个数组为，即．

7．B 【解析】本题考查新定义与对数的运算，考查数学运算的核心素养．

．

8．B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．

，

当时，取得最大值，且最大值为3．

9．A 【解析】本题考查异数的应用，考查运算求解能力．

．

当时，；当时，．因此当时，取得最小值．

10．C 【解析】本题考查三棱锥的体积与表面积，考查空间想象能力与运算求解能力．

因为BA，BC，BD两两垂直，，，所以，．取CD的中点E，连接AE，则，所以，的面积为，所以四面体ABCD的表面积．又四面体ABCD的体积，所以四面体ABCD内切球的半径．

11．C 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．

设的最小正周期为T，则由题意可得，即．

由在上单调，且，得的一个零点为．

因为，所以有以下三种情况：

①，则；②，则；

③，则．故的可能取值只有3个．

12．D 【解析】本题考查双曲线的定义及离心率，考查直观想象与数学运算的核心素养．

由双曲线定义可知，∵，

∴，又，

∴．∵A在以为直径的圆上，

∴，∴，由，

得，故．

13．1 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．

在抛物线中，，即，故该抛物线的焦点到准线的距离为1．

14． 【解析】本题考查集合概型，考查应用意识．

依题意可得，小张八点四十之前到达景区售票点，两人可一同进景区，所以所求概率为．

15．0； 【解析】本题考查等比数列，考查抽象概括能力与运算求解能力．

因为，所以．因为是公比为2的等比数列，

所以，所以，则．故．

16． 【解析】本题考查函数的综合，考查逻辑推理、数学抽象的核心素养．

因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，

则，，即，

因为函数为增函数，且，所以，．

易知在上为增函数，且，，则在上的值域为．

17．解：（1）因为，所以或，

则（，舍去）．

因为，所以．

设外接圆的半径为R，由正弦定理得，

设，则外接圆的面积．

（2）由余弦定理可得，

代入数据，得，解得或3．

当时，的周长为；

当时，的周长为．

评分细则：

【1】第（1）问未单独求C，直接根据正弦定理求得R，不扣分．

【2】第（2）问未写公式，直接将数据代入求得或3，不扣分．

18．（1）证明：连接，交于O，连接OD．

因为O是的中点，D是BC的中点，

所以OD是的中位线，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：设，．因为D是BC的中点，

所以D到AB的距离d等于C到AB的距离的一半，所以，

所以．

又，

所以，即所求体积之比为．

评分细则：

【1】第（1）问中，未写面积，平面扣1分．

【2】第（2）问中体积之比为2，不扣分．

19．解：（1）更适宜．

（2），

，

，

因为系数要求精确到0.0001，所以y关于i的回归方程为．

评分细则：

【1】第（2）问若不利用参考数据计算，酌情给分．，，中的“^”未写，共扣1分，不重复扣分．

【2】第（2）问中，若考生得到后，就对系数取近似值，，再将其代入求得，第（2）问共扣2分．最后归回方程中写为，不扣分．

20．解：（1）当时，，则，

所以曲线在点处的切线方程为

，即．

（2）因为函数，在区间上均单调递增，

所以在区间上单调递增．

．

当，即时，

在区间上存在唯一的零点m，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以在区间上只有1个极值，且为极小值．

当，即时，对恒成立，

所以在区间上单调递减，没有极值，即极值个数为0．

评分细则：

【1】第（1）问中线切方程还可以写为一般式．

【2】第（2）问说明的单调性，还可以对求导，说明的导函数大于零即可．当时，在区间上只有1个极值，未说明是极小值，不扣分．

21．解：（1）依题意可得解，，

故C的方程为．

（2）①因为Q的纵坐标为1，所以直线FQ的方程为，

代入，得．

设，，则，，

故．

②设，，

由得．

因为与C相切，所以，得，

所以，

，所以．

因为与交于点Q，所以，

所以，，

，所以，则为定值．

评分细则：

【1】第（2）问①中通过求根公式得出A，B的横坐标，再求弦长，结果正确，不扣分．

【2】第（2）问②中考生若用C在处的切线方程进行求解，最后同样得到，需扣1分．

22．解：（1）由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为，，

则点B和点C的直角坐标分别为，．

（2）因为A的极坐标为，所以A的直角坐标为．

设P的直角坐标为，

则

，

当，时，取得最小值，且最小值为15．

评分细则：

【1】第（1）问中，点B和点C的极坐标分别写为，，不扣分．

【2】第（2）问中，化简得到，没有配方，但写了“当，时，取得最小值，且最小值为15”，不扣分．

23．（1）解：当，时，，

即．

当时，，则；当时，恒成立，则；

当时，，则．故不等式的解集为．

（2）证明：，

因为的最小值为6，所以可化为，

所以，

当且仅当，时，等号成立，故．

评分细则：

【1】第（1）问中，也可以直接求解不等式，过程和结果正确，不扣分．

【2】第（2）问未写取等条件扣1分．