2022滨州高考下学期5月二模考试数学试题含答案

高三数学试题

2022.5

本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，用列举法求出全集，再利用补集的定义计算作答.

【详解】依题意，全集，而，

所以.

故选：D

2. 在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.

【详解】解：在正方体中，

因为，所以直线与直线AD所成的角，

因为平面，所以为在平面上的射影，

所以直线与平面所成的角，

又平面，所以，

所以，即，

故选：C.

3. 设随机变量，则“”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.

【详解】当时，根据正态曲线的对称性可知，故不是的充分条件；反之，若，由对称性可知，故是的必要条件；

故是的必要不充分条件，

故选：B

4. 函数在单调递减，且为偶函数．若，则满足的的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果.

【详解】因为函数为偶函数，所以等价于,

因为函数在单调递减，所以,,,选A.

【点睛】解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.

5. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.

【详解】解：由题意，设，，

当时，，所以，

所以，从而有；

当时，因为（，），

所以，即，

因为、、三点共线，所以，即.

综上，的取值范围是.

故选：C.

6. 已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（    ）

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.

【详解】直线，即，

由解得，因此，直线恒过定点，

又圆，即，显然点A在圆C外，

所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.

故选：D

7. 函数的部分图像如图所示，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则的表达式可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先由图像中最大值及求出、，再结合及求得，即可求得，最后通过平移伸缩变换得到即可.

【详解】由图像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得，故，，即，将函数的图像向左平移个单位长度得，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得.

故选：B.

8. 已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由结合外角定理可得，然后可得，

再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.

【详解】因为，

所以，所以

所以，

记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，

则由椭圆和双曲线定义可得：…①

…②

①2+②2可得

由勾股定理知，，代入上式可得

整理得，即

所以

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（    ）

A. 复数为纯虚数

B. 复数对应的点位于第二象限

C. 复数的共轭复数为

D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是圆

【9题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.

【详解】解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；

对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；

对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；

对D：复数在复平面内对应的点为，

因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

10. 若实数a，b满足，则下列结论中正确是（    ）

A.  B.

C.  D.

【10题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出a，b的关系，再利用不等式性质判断A，B；指对数函数、幂函数单调性分析判断C，D作答.

【详解】因，则，于是有，A不正确；

，即，B正确；

由得：，因此，，C正确；

因，函数在R上单调递减，函数在上单调递增，则，D正确.

故选：BCD

11. 设函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 在单调递减

C. 的图象关于直线对称 D. 的值城为

【11题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】求出函数的周期性判断A；讨论在子区间上单调性判断B；举例说明判断C；分段讨论函数并求出值域判断D作答.

【详解】依题意，，则的最小正周期为，A正确；

当时，令，，

而函数在上单调递减，在上单调递减，因此，在上单调递增，B不正确；

因，，即图象上的点关于直线对称点不在的图象上，C不正确；

当时，，则，

当时，，因此，的值城为，D正确.

故选：AD

12. 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 三棱锥的体积为4

C. 三棱锥外接球的表面积为

D. 过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为

【12题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A：由平面即可判断；对B：由即可求解；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对D：由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解.

【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示：

对A：因为，，，所以平面，所以，故选项A正确；

对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误；

对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确；

对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. __________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式可得，进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：.

14. 某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为__________．

【14题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，最后利用插空法即可得3位医生中有且只有2位相邻的排法，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有种排法，又6人随机排成一排有种排法，

所以所求概率为，

故答案为：.

15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为__________．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由，，成等差数列，结合正弦定理可得，进而可得，由余弦定理结合基本不等式可得，，从而根据的面积公式即可求解.

【详解】解：因为，，成等差数列，

所以，

由正弦定理可得，又，所以，即，

所以由余弦定理可得，即，

又，即，当且仅当时等号成立，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以的面积的最大值为.

故答案为：.

16. 某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码99共出现__________次．

【16题答案】

【答案】    ①.     ②. 6

【解析】

【分析】观察表中形成的数列，第二项比第一项大1，第三相比第二项大3，第四相比第三项大5，第五相比第四项大7，依此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法可求解第一空；观察可得第行的第个数为，令，则，解出满足条件的m，n即可求解第二个空.

【详解】解：设主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…为，

因为，

，

，

，

，

将以上个式子相加，可得；

由编码观察可得，第行是首项为1，公差为的等差数列，则第行的第个数为，

令，则，

所以，或，或，或，或，或，

所以99共出现6次．

故答案为：；6.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，D为AB的中点，求CD的取值范围．

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理可得，进而可得，又为锐角三角形，从而即可求解；

（2）在中，由余弦定理可得，又为锐角三角形，进而有，又，可得，从而由二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

解：因，

由正弦定理可得，

所以，

所以，

因为，即，

所以，

因为，所以，

又因为为锐角三角形，所以；

【小问2详解】

解：由（1）知，又，

在中，由余弦定理可得，

因为为锐角三角形，所以，

由余弦定理可得，

又，

所以 ，解得，

所以由二次函数性质可得CD的取值范围是.

19. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

              单位：人

（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关；

（2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，求X的分布列及数学期望．

附：，．

【19题答案】

【答案】（1）购车种类与性别有关；   

（2）X的分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.

（2）求出抽取传统燃油汽车的概率、X的所有可能值，利用二项分布求出分布列及期望作答.

【小问1详解】

设零假设为：购车种类与性别无关，

根据数表可得，

所以零假设是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关.

【小问2详解】

随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为，

被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X，X的可能值为：0，1，2，3，

依题意，，，

，，

，
 

所以X的分布列为：

X的数学期望.

21. 已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，抽去数列的第3项、第6项、第9项、……、第3n项、……余下的项的顺序不变，构成一个新数列，求数列的前n项和．

【21题答案】

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；

（2）由（1）可得，然后分和进行讨论，利用分组求和法及等比数列的前n项和公式即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，，整理得，解得或，

因为公比，所以，则，

所以，；

【小问2详解】

解：由（1）可得，

当时，

，

当时，，

综上，.

23. 如图，在四棱锥中，底面，底面是等腰梯形，，，E是PB上一点，且．

（1）求证：平面；

（2）已知平面平面，求二面角的余弦值．

【23题答案】

【答案】（1）证明见解释   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于F，连接EF，证，由线线平行证线面平行即可；

（2）作垂直于G，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法，分别设出并求出平面法向量，平面法向量，平面法向量，由平面平面得，可求出值，则二面角的余弦值可由求得

【小问1详解】

如图，连接交于F，连接EF，，，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，得证

【小问2详解】

由题，底面是等腰梯形，作垂直于G，，则，，，

底面，设，，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，易得，，，，，，，，，，

设平面法向量，平面法向量，则，令，则，

同理，令，则，

由平面平面得，得，

则，，，

设平面法向量，则，

令，则，又，所以，

故二面角的余弦值为.

25. 已知抛物线在点处的切线斜率为．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，求实数m的取值范围．

【25题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C的方程联立，借助判别式计算作答.

（2）设出抛物线C上关于l对称的两点A，B的坐标，并设出直线AB的方程，再与抛物线C的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.

【小问1详解】

点，则切线方程为：，由消去y并整理得：

，依题意，，解得，

所以抛物线C的方程是.

【小问2详解】

设抛物线C上关于l对称的两点为，则设直线AB方程为：，

由消去y并整理得：，则有，解得，

，，显然线段的中点在直线l上，

于是得，即有，而，因此，，解得，

所以实数m的取值范围是.

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；

抛物线在点处的切线斜率.

27. 已知函数．

（1）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；

（2）设函数在上的最小值为a，求证：．

【27题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意，原问题等价于对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解；

（2）由，令，利用函数单调性及函数零点存在定理可得，存在使得，即，所以，进而可得在上单调递减，在上单调递增，从而可得，即可证明.

【小问1详解】

解：若对任意，恒成立，即对任意恒成立，

令，，

由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以；

所以实数m的取值范围；

【小问2详解】

解：，则，

当时，，令，则>0，

所以在上单调递增，

因为，

所以存在使得，即，所以，

所以当时，，此时，当时，，此时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值 ，

令，则，

所以当时，单调递减，，，

所以，

所以.