2021长春希望高中高一下学期期末考试数学试题含答案

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长春市希望高中2020-2021学年高一下学期期末考试数 学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟。注意事项：1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将准考证号准确的填涂在答题卡上。2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知复数，则其共轭复数（    ）A． B． C． D．2．已知向量，，则A．4 B．5 C．6 D．73．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（    ）       A．      B．           C．       D．14．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为（    ）A． B．1 C． D．5．三棱柱中，点在上，且，若平面，则（    ）A． B． C． D．6．已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（    ）A． B． C． D．7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（    ）               A．3         B．4         C．5      D．68．已知直线，两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则9．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（    ）              A．              B．             C．         D．10．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）   A．346             B．373          C．446        D．47311（多选）．的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（    ）A．                                B．若，则C．若，则是等腰三角形      D．若，则是等腰三角形12（多选）．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）      A．四点共面        B．平面平面C．直线与所成角的为    D．平面 第Π卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13．已知复数（为虚数单位）且，则_____．14．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为__________________.15．在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．16．在中，，，，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得.当D为AB中点时，PD的长度为_______；若（m为常数且），则BD的长度是____. 三、解答题17．已知向量．（1）求向量与的夹角；      （2）若，且，求m的值．18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；      （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，求证：（1） 平面；           （2） 平面平面．20．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且⊥.（1）求角；                      （2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.21．如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到． （1）求证：平面平面；  （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．     22．某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点OA=300米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边．（1）若，求四边形的面积；（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？ 
参考答案1．B2．B3．B4．D5．A6．B7．C8．A9．D10．B11．BC12．BC13．14．15．16．.    .    【详解】解：由勾股定理可知，，当D为AB中点时，，所以;∵C、D、P三点共线，∴可设（），∵，∴，即，若且，则A、B、D三点共线，∴，即，∵，∴，，设，，则，，∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得或（舍去），∴的长度为.故答案为: ;.17．（1）    （2）【详解】解：（1）由，，则，由题得，，设向量与的夹角为，则，由，所以. 即向量与的夹角为.（2）由，，所以，又，所以，又，所以，解得.18．（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.（2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1.∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝.在Rt△A1DA中，AD＝.∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）设与交于点，连接，如图所示：因为，分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.又因为，所以.所以平面.又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.20．(1) . (2) ，周长为.【详解】（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化简得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（当且仅当时取“”），所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为. 21．（1）证明见解析；（2）．【详解】解：（1）证明：在直角梯形中，，且直角梯形是通过直角梯形以直线为轴旋转而得，所以，又，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，因为二面角为，所以，过点作平面的垂线，如图，建立空间直角坐标系．设，则．所以，．设平面的法向量为，则即令，则，于是．所以直线与平面所成角的正弦值为．22．（1）平方米；（2）．【详解】（1）当时，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四边形OABC的面积为平方米；（2）设，则，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有；化简得；因为，所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．