2022届山东省日照市高三二模数学试题

这是一份2022届山东省日照市高三二模数学试题，共27页。试卷主要包含了 已知集合，，则．， 、互为共轭复数，，则， 设，则， 设， 已知向量，，则， 关于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

2019级高三校际联合考试
数学试题
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 、互为共轭复数，，则（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设.若 ，则数列 .
A. 递增 B. 奇数项增，偶数项减
C. 递减 D. 偶数项增，奇数项减
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的图像关于点对称
C. 在上单调递增
D. 的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称
11. 传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（ ）

A. B. 的展开式中的的系数为56
C. 的展开式中的各项系数之和为0 D. ，其中i为虚数单位
12. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是定义为R的奇函数，当，，则______.
14. 已知第一象限的点在直线上，则的最小值是___________.
15. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为___________.

16. 在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
18. 内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
20. 如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

（1）证明：平面平面ADC；
（2）若M为PD上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值.
22. 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.
（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据：
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？
（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：(其中)



1845
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
24. 已知抛物线过点，O坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；
（3）抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
26. 已知函数，其中.
（1）当时，求的最小值；
（2）讨论方程根的个数.
















2019级高三校际联合考试
数学试题
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.
【详解】由集合，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.
2. 、互为共轭复数，，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念和复数的运算法则即可计算.
【详解】因为，、互为共轭复数，
∴，所以=2.
故选：B.
3. 若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
4. 已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】求出曲线表示椭圆时a的范围，根据充分条件和必要条件的概念即可得答案．
【详解】若曲线表示椭圆，则，
故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
5. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式求得结果.
【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，
所以，
所以.因为，，
则解得，，
故.
故选：B.
6. 设，则( )
A. B.
C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据1∈和正弦函数的性质可求a和的范围，再根据指数函数的性质可求的范围，根据对数函数的性质可求的范围，从而可比较大小．
【详解】∵1∈，∴，∴，
∴，，
∴．
故选：A．
7. 已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据相邻问题捆绑法与不相邻问题插空法计数，再根据古典概型计算概率.
【详解】解：5只鸡， 只兔子走出房门，共有种不同的方案，
其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有：种方案，
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为：.
故选：D
8. 设.若 ，则数列 .
A. 递增 B. 奇数项增，偶数项减
C. 递减 D. 偶数项增，奇数项减
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】（1） ， ，因为，则 ，.
（2），，，.而，则 .于是， ，
依次类推得 .
（3），则.
依此类推得.
故数列奇数项增，偶数项减.
故答案为B
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则（ ）
A B. C. D.
【9题答案】
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由根据向量的平行可判断；对于B、C根据向量的垂直可判断；对于D，根据向量的模可判断.
【详解】由，，，
对于A，若，由，故A错误；
对于B，若，则，符合题意，故B正确；
对于C，若，由，故C错误；
对于D，，，故D正确.
故选：BD.
10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的图像关于点对称
C. 在上单调递增
D. 的图像向右平移个单位长度后所得图像关于y轴对称
【10题答案】
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据三角函数的对称中心性质即可判断；
对于B，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；
对于C，根据三角函数单调性判断即可；
对于D，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.
【详解】对于A，由知，是图象的两个对称中心，则是函数的最小正周期的整数倍，即，故A不正确；
对于B，因为，所以是的对称中心，故B正确；
对于C，由解得，
当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
对于D，的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
是偶函数，所以图象关于y轴对称，故D正确.
故选：BD.
11. 传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若，则（ ）

A. B. 的展开式中的的系数为56
C. 的展开式中的各项系数之和为0 D. ，其中i为虚数单位
【11题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆柱和球的表面积公式和体积公式，求得的值，得到，得出，再结合复数的运算和二项式定理的通项及性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为，
∴，，A正确；
从而可知，∴；
对于B，展开式通项公式为：，
令，解得，∴的展开式中的的系数为，B错误；
对于C，，即展开式的各项系数之和为0，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
12. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【12题答案】
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接计算出即可判断A选项；构造函数函数，由，得到，进而判断B选项；
由得到，再结合累乘法得到，按照等比数列求和公式即可判断C选项；
构造函数，由得到，结合累乘法求得，按照等比数列求和公式即可判断D选项.
【详解】，则，又，所以，A不正确.
令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，，即，又易得是递增数列，，故，所以，B正确.
易知是递增数列，所以，则，则，即，所以，即，所以，所以，
而当时，则有，C正确.
令函数，则，所以在上单调递减，所以当时，，则，
所以，，，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题关键点在于B选项通过构造函数进行放缩得到，结合即可判断；C选项由放缩得到，D选项构造函数得到，再结合累乘法和求和公式进行判断.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知是定义为R的奇函数，当，，则______.
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的定义求值．
【详解】∵是定义为R的奇函数，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查奇函数的求值，由奇函数的定义计算函数值即可，本题属于基础题．
14. 已知第一象限的点在直线上，则的最小值是___________.
【14题答案】
【答案】##
【解析】
【分析】由第一象限的点在直线上，可知，带入原式中，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：因为第一象限的点在直线上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
故答案为：.
15. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为___________.

【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接，，设，则，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，，再根据锐角三角函数得到、，从而得到方程求出，再在利用勾股定理计算可得；
【详解】解：如图，连接，，则，，和，，都三点共线，

设，则.
由，
所以
所以，
又，所以，即，
，即，
又，
因此，即，
在中，即.
故.
故答案为：
16. 在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________.
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及基本事实1中的推理2和基本事实3得到点M的区域，利用三角形相似及梯形的面积公式即可求解.
详解】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E，


则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合，
当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时，
设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域，
因为∽，所以，
所以，所以.
故答案为：.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
【17题答案】
【答案】；是数列中的项，理由见解析.
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；
写出，将代入验证即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，
所以，又因为，即.
所以，，因为公差为正数,所以.
则，则.
的通项公式.
结合可知，，，，.
令，即，符合题意，即.
所以是数列中的项.
【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.
18. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦定理化简，即可求出.
（2）由面积公式求出，根据余弦定理代入即可求出.
【小问1详解】
由已知及正弦定理得

即
由，可得，因为，所以.
【小问2详解】
根据余弦定理可得

由已知，，可得，因为，所以.
20. 如图，等腰梯形ABCD中，，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.

（1）证明：平面平面ADC；
（2）若M为PD上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求二面角的余弦值.
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.
【小问1详解】
在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，
则由BC平行且等于AN知ABCN为平行四边形，所以，
由知C点在以AD为直径的圆上，所以.
又，，平面
平面
又平面
平面平面.
【小问2详解】
取AC中点O，连接PO，由，可知，
再由面面ACD，AC为两面交线，所以面ACD，
以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立直角坐标系，

令，则，，，，
由，得，
所以，
设平面ACM的法向量为，
则由得，
取得，，所以，
而平面PAC的法向量，所以.
又因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
22. 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.
（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据：
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？
（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：(其中)



1845
0.37
0.55
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【22题答案】
【答案】（1）；150；
（2）．
【解析】
【分析】(1)令，则可利用最小二乘法估计，从而得到，代入x=50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；
(2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)．
【小问1详解】
由题意，，
令，设y关于t的线性回归方程为，
则，
则，
∴，
∴y关于x的回归方程为，
当时，，
∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒；
【小问2详解】
设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负，X的可能取值为2、3、4．
当时，小明4∶1胜，∴；
当时，小明4∶2胜，∴；
当时，小明4∶3胜，∴．
∴小明最终赢得比赛的概率为．
24. 已知抛物线过点，O为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；
（3）抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
【24题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）点坐标代入抛物线方程可得答案；
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，韦达定理代入，
得到解得，求出原点O到直线l距离，可得的面积；
（3）假设抛物线上存在点，设经过O，M，N三点的圆的方程为，代入三点坐标可得①，求出抛物线在点处的切线的斜率，直线NC的斜率，根据乘积为可得②，由①②消去E可得答案.
小问1详解】
抛物线过点，
，抛物线方程.
【小问2详解】
设直线l的斜率为k，则，
由，得，
∵直线l与抛物线有两个交点A，B，所以①，
∴设，则可得，，
于是
，
由②，
由①②解得，直线l的方程为，
原点O到直线l距离，
的面积为.
【小问3详解】
已知O，M的坐标分别为，，抛物线方程，
假设抛物线上存在点（且），
使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线.
设经过O，M，N三点的圆的方程为，
则，
整理得①，
∵函数的导数为，∴抛物线在点处的切线的斜率为，
∴经过O，M，N三点的圆C在点处的切线斜率为，
∵，∴直线NC的斜率存在.∵圆心的坐标为，∴，
即②，
∵，由①②消去E，得，
即.∵，∴，
故满足题设的点N存在，其坐标为.
26. 已知函数，其中.
（1）当时，求的最小值；
（2）讨论方程根的个数.
【26题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件去掉绝对值，再利导数法求函数的最值即可求解；
（2）根据已知条件及对数恒等式，利用导数法求出函数的单调性进而得出自变量的关系，再结合方程的根转化为函数与函数的交点即可求解.
【小问1详解】
时，.
①时，，
，

所以，即在时单调递减；
②时，.

所以，即在时单调递增；
当时，取得最小值为

所以的最小值是.
【小问2详解】
由题，，
则，
即.
所以.由，得.
当时，；
当时，；
所以，在上递减；在上递增.
又因为，所以，当且仅当或.
又，故和不可能同时成立
所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中
当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，
，令，即，解得.
当易知时，,单调递减，
当时，，单调递增；
在处取得最小值为，
所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；
时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；
时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.
同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，
设，则
所以函数在单调递增，
在处的函数值为，
所以故时，在上必有1个零点.
综上所述，时，方程有1个根；
时，方程有2个根；时，方程有3个根.