四川省三台县市级名校2021-2022学年中考数学模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（   ）

A． B． C． D．

2．下列算式中，结果等于a5的是（　　）

A．a2+a3 B．a2•a3 C．a5÷a D．（a2）3

3．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10

4．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

5．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3

6．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（　　）

A．64×105 B．6.4×105 C．6.4×106 D．6.4×107

7．如图，，，则的大小是　　

A． B． C． D．

8．如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且，那么点A表示的数是　　

A． B． C． D．3

9．下列图形中，周长不是32 m的图形是(   )

A． B． C． D．

10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3

11．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（    ）

A．6    B．12    C．16    D．18

12．某市2017年实现生产总值达280亿的目标，用科学记数法表示“280亿”为（　　）

A．28×109 B．2.8×108 C．2.8×109 D．2.8×1010

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=1cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为_____cm1．

14．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．

15．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为_____cm．

16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣2x2﹣2x+1＝﹣x2+5x﹣3：则所捂住的多项式是___．

17．分解因式：a3-12a2+36a=______．

18．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为           cm．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．

（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

（1）求点P在一次函数y＝x＋1图象上的概率．

20．（6分）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表，

设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？

（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

21．（6分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．

(1)求证：∠DAC=∠DCE；

(2)若AB=2，sin∠D=，求AE的长．

22．（8分）从2017年1月1日起，我国驾驶证考试正式实施新的驾考培训模式，新规定C2驾驶证的培训学时为40学时，驾校的学费标准分不同时段，普通时段a元/学时，高峰时段和节假日时段都为b元/学时．

（1）小明和小华都在此驾校参加C2驾驶证的培训，下表是小明和小华的培训结算表（培训学时均为40），请你根据提供的信息，计算出a，b的值．

（2）小陈报名参加了C2驾驶证的培训，并且计划学够全部基本学时，但为了不耽误工作，普通时段的培训学时不会超过其他两个时段总学时的，若小陈普通时段培训了x学时，培训总费用为y元

①求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

②小陈如何选择培训时段，才能使得本次培训的总费用最低？

23．（8分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由

24．（10分）计算

25．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．求抛物线与直线AC的函数解析式；若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．

26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）当时，求△PCQ的面积；

（2）设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式；

（3）当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt△ABC的一边相切，求t的值．

27．（12分）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为 60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．（=1.73，结果保留一位小数．）

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、B

【解析】

A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；

B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；

C、主视图，俯视图均为圆，故C选项错误；

D、主视图为矩形，俯视图为三角形，故D选项错误.

故选：B.

2、B

【解析】

试题解析：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a5，所以B选项正确；

C、原式=a4，所以C选项错误；

D、原式=a6，所以D选项错误．

故选B．

3、B

【解析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方的运算性质计算后利用排除法求解．

【详解】

A、a2•a3=a5，错误；

B、（a2）3=a6，正确；

C、不是同类项，不能合并，错误；

D、a5+a5=2a5，错误；

故选B．

【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．

4、A

【解析】

试题分析：首先根据三角形的外角性质得到∠1+∠2=∠4，然后根据平行线的性质得到∠3=∠4求解．

解：根据三角形的外角性质，

∴∠1+∠2=∠4=110°，

∵a∥b，

∴∠3=∠4=110°，

故选A．

点评：本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，属于基础题，难度较小．

5、B

【解析】

试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,

所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．

故选B．

考点：二次函数的图象．106144

6、C

【解析】
由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：6400000=6.4×106，

故选C．

点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7、D

【解析】
依据，即可得到，再根据，即可得到．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等．

8、B

【解析】
如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么AB的中点即为坐标原点．

【详解】

解：如图，AB的中点即数轴的原点O．
根据数轴可以得到点A表示的数是．
故选：B．

【点睛】

此题考查了数轴有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点确定数轴的原点是解决本题的关键．

9、B

【解析】
根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．

【详解】

A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.

C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.

采用排除法即可选出B

故选B.

【点睛】

此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.

10、A

【解析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．

【详解】∵不等式组无解，

∴a﹣4≥3a+2，

解得：a≤﹣3，

故选A．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

11、B

【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，

故选B.

12、D

【解析】
根据科学计数法的定义来表示数字，选出正确答案.

【详解】

解：把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，280亿用科学计数法表示为2.8×1010，所以答案选D.

【点睛】

本题考查学生对科学计数法的概念的掌握和将数字用科学计数法表示的能力.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、π+﹣

【解析】

试题分析：如图，连接OC，EC，由题意得△OCD≌△OCE，OC⊥DE，DE==，所以S四边形ODCE=×1×=，S△OCD=，又S△ODE=×1×1=，S扇形OBC==，所以阴影部分的面积为：S扇形OBC+S△OCD﹣S△ODE=+﹣；故答案为．

考点：扇形面积的计算．

14、1

【解析】
根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.

【详解】

解：∵△EBD由△ABC旋转而成，

∴△ABC≌△EBD，

∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，

∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，

∴；

故答案为：1．

【点睛】

此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．

15、1

【解析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段长度不能为负．

【详解】

根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．

所以c2＝2×8，

解得c＝±1（线段是正数，负值舍去），

故答案为1．

【点睛】

此题考查了比例线段.理解比例中项的概念，这里注意线段长度不能是负数．

16、x2+7x-4

【解析】
设他所捂的多项式为A，则接下来利用去括号法则对其进行去括号，然后合并同类项即可.

【详解】

解：设他所捂的多项式为A，则根据题目信息可得

他所捂的多项式为

故答案为

【点睛】

本题是一道关于整数加减运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握整数的加减运算；

17、a(a-6)2

【解析】
原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

原式=a(a2-12a+36)=a(a-6)2，

故答案为a(a-6)2

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

18、1

【解析】
过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

【详解】

过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，

设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，

∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．

故答案为1．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）见解析；（1）.

【解析】

试题分析：（1）画出树状图（或列表），根据树状图（或表格）列出点P所有可能的坐标即可；（1）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在一次函数图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率.

试题解析：（1）画树状图：

或列表如下：

∴点P所有可能的坐标为（1，-1），（1,0）（1,1）（-1，-1），（-1,0）（-1,1）.

∵只有（1,1）与（-1，-1）这两个点在一次函数图像上，

∴P（点P在一次函数图像上）=.

考点：用（树状图或列表法）求概率.

20、（1）y=﹣60x+28000；（2）若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；（3）商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大

【解析】分析：（1）根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入列关系式，并化简即可；（2）根据总成本≤18000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；（3）把50＜a＜70分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论．

详解：

（1）根据题意得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x），

=﹣60x+28000，

则y与x的函数关系式为：y=﹣60x+28000；

（2）80x+100（200﹣x）≤18000，

解得：x≥100，

∴至少要购进100件甲商品，

y=﹣60x+28000，

∵﹣60＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大值，

y大=﹣60×100+28000=22000，

∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；

（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x）   （100≤x≤120），

y=（a﹣60）x+28000，

①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大利润，

即商场应购进甲商品100件，乙商品100件，获利最大，

②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，

即商场应购进甲商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利最大，

③当60＜a＜70时，a﹣60＞0，y随x的增大而增大，

∴当x=120时，y有最大利润，

即商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大．

点睛：本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

21、（1）证明见解析；（2）．

【解析】
（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；

（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．

【详解】

解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．

∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．

又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE．

（2）∵AB=2，∴AO=1．

∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．

在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==．

∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴，即．

解得：DE=，∴AE=AD﹣DE=．

22、（1）120，180；（2）①y=-60x+7200，0≤x≤；②x=时，y有最小值，此时y最小=-60×+7200=6400（元）．

【解析】
（1）根据小明和小华的培训结算表列出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可求解；

（2）①根据培训总费用=普通时段培训费用+高峰时段和节假日时段培训费用列出y与x之间的函数关系式，进而确定自变量x的取值范围；

②根据一次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解．

【详解】

（1）由题意，得，

解得，

故a，b的值分别是120，180；

（2）①由题意，得y=120x+180（40-x），

化简得y=-60x+7200，

∵普通时段的培训学时不会超过其他两个时段总学时的，

∴x≤（40-x），

解得x≤，

又x≥0，

∴0≤x≤；

②∵y=-60x+7200，

k=-60＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴x取最大值时，y有最小值，

∵0≤x≤；

∴x=时，y有最小值，此时y最小=-60×+7200=6400（元）．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，理解题意得出数量关系是解题的关键．

23、（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.

【解析】
（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式．

（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式．

（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t．再讨论邻边是否相等．

【详解】

解：（1）x=0时，y=1，

∴点A的坐标为：（0，1），

∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），

∴点B的横坐标为3，

当x=3时，y=，

∴点B的坐标为（3，），

设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，

解得，，

则直线AB的函数关系式

（2）当x=t时，y=t+1，

∴点M的坐标为（t，t+1），

当x=t时，

∴点N的坐标为

（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴，

解得t1=1，t2=2，

∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=，PC=2，

∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形，

②当t=2时，MP=2，PC=1，

∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．

24、

【解析】
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．

【详解】

原式=，

=，

=，

=.

【点睛】

本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

25、（1）（1）S=﹣m1﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，1）、（，﹣1）、（，﹣1）

【解析】
（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A，C两点的坐标，可求得直线AC的函数解析式；

（1）先过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系；

（3）由于AC确定，可分AC是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E与点C的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E的坐标．

【详解】

（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=ax1﹣x+1（a≠0）的图象上，

∴0=16a+6+1，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x1﹣x+1；

∴点C的坐标为（0，1），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则

，

解得，

∴直线AC的函数解析式为：；

（1）∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，

∴D（m，﹣m1﹣m+1），

过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=﹣m1﹣m+1，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，

∴S=（m+4）×（﹣m1﹣m+1）+（﹣m1﹣m+1+1）×（﹣m），

化简，得S=﹣m1﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；

（3）①若AC为平行四边形的一边，则C、E到AF的距离相等，

∴|yE|=|yC|=1，

∴yE=±1．

当yE=1时，解方程﹣x1﹣x+1=1得，

x1=0，x1=﹣3，

∴点E的坐标为（﹣3，1）；

当yE=﹣1时，解方程﹣x1﹣x+1=﹣1得，

x1=，x1=，

∴点E的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）；

②若AC为平行四边形的一条对角线，则CE∥AF，

∴yE=yC=1，

∴点E的坐标为（﹣3，1）．

综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，1）、（，﹣1）、（，﹣1）．

26、（1）；（2）①；②；（3）t的值为或1或．

【解析】
（1）先根据t的值计算CQ和CP的长，由图形可知△PCQ是直角三角形，根据三角形面积公式可得结论；

（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，②当Q在边AB上运动时；分别根据勾股定理计算PQ2，最后利用圆的面积公式可得S与t的关系式；

（3）分别当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时，当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定答案．

【详解】

（1）当t=时，CQ=4t=4×=2，即此时Q与A重合，

CP=t=，

∵∠ACB=90°，

∴S△PCQ=CQ•PC=×2×=；

（2）分两种情况：

①当Q在边AC上运动时，0＜t≤2，如图1，

由题意得：CQ=4t，CP=t，

由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，

∴S=π=；

②当Q在边AB上运动时，2＜t＜4如图2，

设⊙O与AB的另一个交点为D，连接PD，

∵CP=t，AC+AQ=4t，

∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，

∵PQ为⊙O的直径，

∴∠PDQ=90°，

Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，

∴∠B=30°，

Rt△PDB中，PD=PB=，

∴BD=，

∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，

∴PQ==，

∴S=π==；

（3）分三种情况：

①当⊙O与AC相切时，如图3，设切点为E，连接OE，过Q作QF⊥AC于F，

∴OE⊥AC，

∵AQ=4t﹣2，

Rt△AFQ中，∠AQF=30°，

∴AF=2t﹣1，

∴FQ=（2t﹣1），

∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，

∴EF=CE，

∴FQ+PC=2OE=PQ，

∴（2t﹣1）+t=，

解得：t=或﹣（舍）；

②当⊙O与BC相切时，如图4，

此时PQ⊥BC，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=1；

③当⊙O与BA相切时，如图5，

此时PQ⊥BA，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=，

综上所述，t的值为或1或．

【点睛】

本题是圆的综合题，涉及了三角函数、勾股定理、圆的面积、切线的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，以点P和Q运动为主线，画出对应的图形是关键，注意数形结合的思想．

27、塔CD的高度为37.9米

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．

试题解析：作BE⊥CD于E．

可得Rt△BED和矩形ACEB．

则有CE=AB=16，AC=BE．

在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．

在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=AC．

∵16+DE=DC，

∴16+AC=AC，

解得：AC=8+8=DE．

所以塔CD的高度为（8+24）米≈37.9米，

答：塔CD的高度为37.9米．