山西省孝义市2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列几何体中，俯视图为三角形的是(    )

A． B． C． D．

2．已知，，且，则的值为（    ）

A．2或12 B．2或 C．或12 D．或

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（    ）

A．点B、点C都在⊙A内 B．点C在⊙A内，点B在⊙A外

C．点B在⊙A内，点C在⊙A外 D．点B、点C都在⊙A外

4．若不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（　　）

A．5＜a＜6 B．5＜a≤6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6

5．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

6．小手盖住的点的坐标可能为（    ）

A． B． C． D．

7．已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（   ）

A． B．

C． D．

9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3

10．估计介于（    ）

A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间

11．的相反数是(　　)

A． B．﹣ C．﹣ D．

12．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（　　）

A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如下图，在直径AB的半圆O中，弦AC、BD相交于点E，EC＝2，BE＝1． 则cos∠BEC＝________．

14．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是     边形．

15．16的算术平方根是           ．

16．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是_____．

17．如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分的面积是__________．

18．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．

（1）求证：AE=BF；

（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；

（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．

20．（6分）2018年春节，西安市政府实施“点亮工程”，开展“西安年·最中国”活动，元宵节晚上，小明一家人到“大唐不夜城”游玩，看美景、品美食。在美食一条街上，小明买了一碗元宵，共5个，其中黑芝麻馅两个，五仁馅两个，桂花馅一个，当元宵端上来的时候，看着五个大小、色泽一模一样的元宵，小明的爸爸问了小明两个问题：

（1）小明吃到第一个元宵是五仁馅的概率是多少？请你帮小明直接写出答案。

（2）小明吃的前两个元宵是同一种馅的元宵概率是多少？请你利用你列表或树状图帮小明求出概率。

21．（6分）计算：解方程：

22．（8分）问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

23．（8分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4 个班 (用A，B，C，D表示)，对征集到的作品的数量进行了统计，制作了两幅不完整的统计图．请 根据相关信息，回答下列问题：

（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了_____件作品；

（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．

24．（10分）对于平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”，记作．如的“理想值”．

（1）①若点在直线上，则点的“理想值”等于_______；

②如图，，的半径为1．若点在上，则点的“理想值”的取值范围是_______．

（2）点在直线上，的半径为1，点在上运动时都有，求点的横坐标的取值范围；

（3），是以为半径的上任意一点，当时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

25．（10分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.

（1）求证：∠BDA=∠ECA．

（2）若m=，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.

（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）

（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；

（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．

27．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．

（1）求证：AB为⊙C的切线．

（2）求图中阴影部分的面积．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】
俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．

【详解】

A.圆锥的俯视图是圆，中间有一点，故本选项不符合题意，

B.几何体的俯视图是长方形，故本选项不符合题意，

C.三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意，

D.圆台的俯视图是圆环，故本选项不符合题意，

故选C.

【点睛】

此题主要考查了由几何体判断三视图，正确把握观察角度是解题关键．

2、D

【解析】
根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.

故选D.

3、D

【解析】
先求出AB的长，再求出AC的长，由B、C到A的距离及圆半径的长的关系判断B、C与圆的关系.

【详解】

由题意可求出∠A=30°，AB=2BC=4, 由勾股定理得AC==2，

AB=4>3, AC=2>3，点B、点C都在⊙A外.

故答案选D.

【点睛】

本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系.

4、C

【解析】
首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

【详解】

解不等式组得：2＜x≤a，

∵不等式组的整数解共有3个，

∴这3个是3，4，5，因而5≤a＜1．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

5、C

【解析】

解：∵A、B是反比函数上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；

当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；

∵P是的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；

连接OP，=4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；

综上所述，正确的结论有①③④．故选C．

点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．

6、B

【解析】
根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．

【详解】

根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；

分析选项可得只有B符合．

故选：B．

【点睛】

此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．

7、B

【解析】
先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．

【详解】

∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，

∴=3，

解得：x=4，

则数据为1、2、3、4、5，

∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2，

故选B．

【点睛】

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．

8、C

【解析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．

【详解】

小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，

∵小进比小俊少用了40秒，

方程是，

故选C．

【点睛】

本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

9、B

【解析】

试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,

所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．

故选B．

考点：二次函数的图象．106144

10、C

【解析】
解：∵，

∴，即

∴估计在2～3之间

故选C．

【点睛】

本题考查估计无理数的大小．

11、B

【解析】
一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，由此即可求解．

【详解】

解：的相反数是﹣．

故选：B．

【点睛】

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，1的相反数是1．

12、A

【解析】
根据“上加下减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2x2+1．

故选A．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】

分析：连接BC，则∠BCE＝90°，由余弦的定义求解.

详解：连接BC，根据圆周角定理得，∠BCE＝90°，

所以cos∠BEC＝.

故答案为.

点睛：本题考查了圆周角定理的余弦的定义，求一个锐角的余弦时，需要把这个锐角放到直角三角形中，再根据余弦的定义求解，而圆中直径所对的圆周角是直角.

14、七

【解析】
根据多边形的内角和公式，列式求解即可.

【详解】

设这个多边形是边形，根据题意得，

，

解得.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

15、4

【解析】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根

∵

∴16的平方根为4和-4

∴16的算术平方根为4

16、.

【解析】
股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x，每天相对于前一天就上涨到1+x，由此列出方程解答即可．

【详解】

设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得

（1﹣10%）（1+x）2＝1．

故答案为：（1﹣10%）（1+x）2＝1．

【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为

17、8

【解析】

【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.

【详解】∵四边形ACDF是正方形，

∴AC=FA，∠CAF=90°，

∴∠CAE+∠FAB=90°，

∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠FAB，

又∵∠AEC=∠FBA=90°，

∴△AEC≌△FBA，

∴CE=AB=4，

∴S阴影==8，

故答案为8.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键.

18、1

【解析】
先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【详解】

解：作DF⊥AB于F，交BC于G．则四边形DEAF是矩形，

∴DE=AF=15m，

∵DF∥AE，

∴∠BGF=∠BCA=60°，

∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，

∴∠GDB=∠GBD=30°，

∴GD=GB，

在Rt△DCE中，∵CD=2DE，

∴∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°，

∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°

∴△DGC≌△BGF，

∴BF=DC=30m，

∴AB=30+15=1（m），

故答案为1．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；

（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．

（1）证明：连接BD，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠A=∠C=45°，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，

∴∠A=∠FBD，

∵DF⊥DG，

∴∠FDG=90°，

∴∠FDB+∠BDG=90°，

∵∠EDA+∠BDG=90°，

∴∠EDA=∠FDB，

在△AED和△BFD中，

∠A=∠FBD，AD=BD，∠EDA=∠FDB，

∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE=BF；

（2）证明：连接EF，BG，

∵△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∵∠G=∠A=45°，

∴∠G=∠DEF，

∴GB∥EF；

（3）∵AE=BF，AE=1，

∴BF=1，

在Rt△EBF中，∠EBF=90°，

∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，

∵EB=2，BF=1，

∴EF=，

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，

∴cos∠DEF=，

∵EF=，

∴DE=×，

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，

∴△GEB∽△AED，

∴，即GE•ED=AE•EB，

∴•GE=2，即GE=，

则GD=GE+ED=．

20、（1） ; （2） .

【解析】
（1）根据概率=所求情况数与总情况数之比代入解得即可.

（2）将小明吃到的前两个元宵的所有情况列表出来即可求解.

【详解】

（1）5个元宵中，五仁馅的有2个，故小明吃到的第一个元宵是五仁馅的概率是；

（2）小明吃到的前两个元宵的所有情况列表如下（记黑芝麻馅的两个分别为、，五仁馅的两个分别为、，桂花馅的一个为c）：

由图可知，共有20种等可能的情况，其中小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的情况有4种，故小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的概率是.

【点睛】

本题考查的是用列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为:概率=所求:情况数与总情况数之比.

21、 (1)10;(2)原方程无解.

【解析】
（1）原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

（1）原式＝＝10；

（2）去分母得：3（5x﹣4）+3x﹣6＝4x+10，

解得：x＝2，

经检验：x＝2是增根，原方程无解．

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

22、（1）1；2-；；（1）4+;（4）（200-25-40）米．

【解析】
（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．

（1）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．

（4）要满足∠AMB=40°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．

【详解】

（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，

则PA=PD．

∴△PAD是等腰三角形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠C=90°．

∵PA=PD，AB=DC，

∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．

∴BP=CP．

∵BC=2，

∴BP=CP=1．

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，

则DA=DP′．

∴△P′AD是等腰三角形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．

∵AB=4，BC=2，

∴DC=4，DP′=2．

∴CP′==．

∴BP′=2-．

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，

则AD=AP″．

∴△P″AD是等腰三角形．

同理可得：BP″=．

综上所述：在等腰三角形△ADP中，

若PA=PD，则BP=1；

若DP=DA，则BP=2-；

若AP=AD，则BP=．

（1）∵E、F分别为边AB、AC的中点，

∴EF∥BC，EF=BC．

∵BC=11，

∴EF=4．

以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．

∵AD⊥BC，AD=4，

∴EF与BC之间的距离为4．

∴OQ=4

∴OQ=OE=4．

∴⊙O与BC相切，切点为Q．

∵EF为⊙O的直径，

∴∠EQF=90°．

过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．

∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

∴EG∥OQ．

∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

∴四边形OEGQ是正方形．

∴GQ=EO=4，EG=OQ=4．

∵∠B=40°，∠EGB=90°，EG=4，

∴BG=．

∴BQ=GQ+BG=4+．

∴当∠EQF=90°时，BQ的长为4+．

（4）在线段CD上存在点M，使∠AMB=40°．

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，

作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．

设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，

过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．

则⊙O是△ABG的外接圆，

∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，

∴AP=PB=AB．

∵AB=170，

∴AP=145．

∵ED=185，

∴OH=185-145=6．

∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，

∴∠BAK=∠GAK=40°．

∴OP=AP•tan40°

=145×

=25．

∴OA=1OP=90．

∴OH＜OA．

∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．

∴∠AMB=∠AGB=40°，OM=OA=90．．

∵OH⊥CD，OH=6，OM=90，

∴HM==40．

∵AE=200，OP=25，

∴DH=200-25．

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-25+40．

∵200-25+40＞420，

∴DM＞CD．

∴点M不在线段CD上，应舍去．

若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-25-40．

∵200-25-40＜420，

∴DM＜CD．

∴点M在线段CD上．

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=40°，

此时DM的长为（200-25-40）米．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．

23、（1）图形见解析，216件；（2）

【解析】
（1）由B班级的作品数量及其占总数量的比例可得4个班作品总数，再求得D班级的数量，可补全条形图,再用36乘四个班的平均数即估计全校的作品数;
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到一男、一女的结果数，根据概率公式求解可得．

【详解】

（1）4个班作品总数为：件，所以D班级作品数量为：36-6-12-10=8;

∴估计全校共征集作品×36=324件．
条形图如图所示，
 

（2）男生有3名，分别记为A1，A2，A3，女生记为B，
列表如下：

由列表可知，共有12种等可能情况，其中选取的两名学生恰好是一男一女的有6种．
所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为．

【点睛】

考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24、（1）①﹣3；②；（2）；（3）

【解析】
（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与轴夹角越大，可得直线与相切时理想值最大，与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论与轴及直线相切时，LQ 取最小值和最大值，求出点横坐标即可；（3）根据题意将点转化为直线，点理想值最大时点在上，分析图形即可．

【详解】

（1）①∵点在直线上，

∴，

∴点的“理想值”=-3，

故答案为：﹣3.

②当点在与轴切点时，点的“理想值”最小为0.

当点纵坐标与横坐标比值最大时，的“理想值”最大，此时直线与切于点，

设点Q（x，y），与x轴切于A，与OQ切于Q，

∵C（，1），

∴tan∠COA==，

∴∠COA=30°，

∵OQ、OA是的切线，

∴∠QOA=2∠COA=60°，

∴=tan∠QOA=tan60°=，

∴点的“理想值”为，

故答案为：.

（2）设直线与轴、轴的交点分别为点，点，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x+3=0，解得：x=，

∴，．

∴，，

∴tan∠OAB=，

∴．

∵，

∴①如图，作直线．

当与轴相切时，LQ=0，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．

作轴于点，

∴，

∴．

∵的半径为1，

∴．

∴，

∴．

∴．

②如图

当与直线相切时，LQ=，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．

作轴于点，则．

设直线与直线的交点为．

∵直线中，k=，

∴，

∴，点F与Q重合，

则．

∵的半径为1，

∴．

∴．

∴，

∴．

∴．

由①②可得，的取值范围是．

（3）∵M（2，m），

∴M点在直线x=2上，

∵，

∴LQ取最大值时，=，

∴作直线y=x，与x=2交于点N，

当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，

根据题意作图如下：M与ON相切于Q，与x轴相切于E，

把x=2代入y=x得：y=4，

∴NE=4，OE=2，ON==6，

∴∠MQN=∠NEO=90°，

又∵∠ONE=∠MNQ，

∴，

∴，即，

解得：r=.

∴最大半径为.

【点睛】

本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行分类讨论．

25、135°    m+n     

【解析】

试题分析：

（1）由已知条件证△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；

（2）过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，由已知条件易得∠EBG=60°，BE=2，这样在Rt△BEG中可得EG=，BG=1，结合BC=n=3，可得GC=4，由长可得EC=，结合△ABD≌△AEC可得BD=EC=；

（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，此时BD最大=EC最大=；

（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.

试题解析：

（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°，

∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD，

∴△EAC≌△BAD，

∴∠BDA=∠ECA；

（2）如下图，过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，

∴∠EGB=90°，

∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m= ，

∴∠ABE=45°，BE=2，

∵∠ABC=75°，

∴∠EBG=180°-75°-45°=60°，

∴BG=1，EG=，

∴GC=BG+BC=4，

∴CE=，

∵△EAC≌△BAD，

∴BD=EC=；

（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，

∵BD=EC，

∴BD最大=EC最大=，此时∠ABC=180°-∠ABE=180°-45°=135°，

即当∠ABC=135°时，BD最大=；

（4）∵△ABD≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABD，

∵在等腰直角△ABE中，∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE+∠CEB=90°，

∴∠BFE=180°-90°=90°，

∴EF2+BF2=BE2，

又∵在等腰Rt△ABE中，BE2=2AE2，

∴2AE2=EF2+BF2.

点睛：(1)解本题第2小题的关键是过点E作EG⊥CB的延长线于点G，即可由已知条件求得BE的长，进一步求得BG和EG的长就可在Rt△EGC中求得EC的长了，结合（1）中所证的全等三角形即可得到BD的长了；（2）解第3小题时，由题意易知，当AB和BC的值确定后，BE的值就确定了，则由题意易得当E、B、C三点共线时，EC=EB+BC=是EC的最大值了.

26、（1）y=x2+2x﹣3；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点D的坐标代入求得a的值即可；

（2）过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．设点E（m，m2+2m-3），则F（m，-m+1），则EF=-m2-3m+4，然后依据△ACE的面积=△EFA的面积-△EFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE的最大值即可；

（3）当AD为平行四边形的对角线时．设点M的坐标为（-1，a），点N的坐标为（x，y），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x的值，然后将x=-2代入求得对应的y值，然后依据＝，可求得a的值；当AD为平行四边形的边时．设点M的坐标为（-1，a）．则点N的坐标为（-6，a+5）或（4，a-5），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．

试题解析：(1)∴A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，

∴B(－3，0)，

设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，

将点D(－4，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，

∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3；

(2)过点E作EF∥y轴，交AD与点F，交x轴于点G，过点C作CH⊥EF，垂足为H.

设点E(m，m2＋2m－3)，则F(m，－m＋1)．

∴EF＝－m＋1－m2－2m＋3＝－m2－3m＋4.

∴S△ACE＝S△EFA－S△EFC＝EF·AG－EF·HC＝EF·OA＝－ (m＋)2＋.

∴△ACE的面积的最大值为；

(3)当AD为平行四边形的对角线时：

设点M的坐标为(－1，a)，点N的坐标为(x，y)．

∴平行四边形的对角线互相平分，

∴＝，＝，

解得x＝－2，y＝5－a，

将点N的坐标代入抛物线的表达式，得5－a＝－3，

解得a＝8，

∴点M的坐标为(－1，8)，

当AD为平行四边形的边时：

设点M的坐标为(－1，a)，则点N的坐标为(－6，a＋5)或(4，a－5)，

∴将x＝－6，y＝a＋5代入抛物线的表达式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，

∴M(－1，16)，

将x＝4，y＝a－5代入抛物线的表达式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，

∴M(－1，26)，

综上所述，当点M的坐标为(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．

27、 (1)证明见解析；(2)1-π.

【解析】
（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；

（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．

【详解】

（1）过C作CF⊥AB于F．

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，∴BC＝2，由勾股定理得：AB1．

∵△ACB的面积S，∴CF2，∴CF为⊙C的半径．

∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；

（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE1﹣π．

【点睛】

本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．