江苏省扬州市九年级下学期期中数学试卷含解析

这是一份江苏省扬州市九年级下学期期中数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级下学期期中数学试卷一、单选题1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）A．2x﹣1＝0 B．C．x+y＝6 D．x2﹣2x﹣3＝02．下列说法中，正确的是（　　）   A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件B．“如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件C．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生D．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件3．某学校足球队23人年龄情况如下表：  年龄/岁1213141516人数13685则下列结论正确的是（　　）A．极差为3 B．众数为15 C．中位数为14 D．平均数为144．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（　　）A． B．3 C． D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）A．3 B． C．4 D．6．若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　）A．14 B．15 C．16 D．17二、填空题7．如图，已知，如果，，则的长是　     　.8．若的半径为5cm，点到圆心的距离为4cm，那么点与的位置关系是　          　.9．某一学期，小华的数学平时成绩为80分，期中成绩为90分，期末成绩为85分，若平时成绩、期中成绩、期末成绩按3：3：4计算平均成绩，则小华的平均成绩是 　     　分.10．已知圆锥的母线长5，底面半径为3，则圆锥的侧面积为　     　．  11．如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 　     　m.12．如果方程mx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　           　.13．校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）满足关系式，则小林这次铅球推出的距离是　     　米.14．如图，A、B、C均为正十二边形的顶点，则∠ACB＝　     　°15．如图，身高1.8米的轩轩从一盏路灯下的B处向前走了4米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长与他的身高一样，则路灯的高AB为 　     　米.16．如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为　     　.17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则FD+FE的长度最小值为　        　.三、解答题18．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5(x﹣1)2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　）A．① B．② C．③ D．④19．   （1）解方程：x2﹣2x＝99；（2）计算：.20．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在小正方形的顶点上.将△ABC向下平移2个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1.（1）在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C1；（2）计算线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积.21．九年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了　     　名学生；（2）请将条形图补充完整；（3）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？22．小倩一家准备本周末出去踏青，他们想在扬州的几个景点中进行选择.A：瘦西湖；B：个园；C：何园；D：茱萸湾（1）如果他们只去一个景点，那么选中瘦西湖的概率为 　     　；（2）如果他们要去两个景点，那么同时选中个园、何园的概率是多少？请用画树状图或列表法加以解决.23．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神.随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆.据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件.（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明.24．扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成.周末汐汐和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度.于是汐汐走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了40米至点E处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知汐汐的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．26．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件.（1）当销售单价为58元时，每天销售量是　     　件.（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？27．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.解决问题：（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.28．已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；（1）求抛物线解析式；（2）当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；（3）是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分【解析】【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；C、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意.故答案为：D.【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.【解析】【解答】解：A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件，只有四边形的内角和是360°，所以是随机事件，判断错误；B. “如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件，a与b也有可能互为相反数，所以是随机事件，判断错误；C. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生，可能性是50%的事件，只表明一种可能性，并不表示两次试验中一定有一次会发生，所以判断错误；D. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，判断正确，符合题意.故答案为：D
【分析】本题考查事件的可能性，随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件是在一定条件下，必然发生的事件，从而求解.【解析】【解答】解：A、极差为16-12=4，错误；B、这23个数据的众数为15，正确；C、中位数为15，错误；D、平均数为 =14.6，错误；故答案为：B.【分析】一组数据的最大值与最小值的差就是这组数据的极差；将这23个数据从小到大排列后，排第12位的数据就是这组数据的中位数；这组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；利用加权平均数的计算方法就可算出这组数据的平均数,从而即可一一判断得出答案.【解析】【解答】解：连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，∴sin∠BDC＝，∵BD＝4，∴BC＝3.故答案为：B.【分析】连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根据正弦函数的概念进行计算.【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD=∠B又∠A=∠A∴△ACD∽△ABC∴=∵AD＝2，BD＝3∴AB= AD+BD=2+3=5∴AC＝.故答案为：B.【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠ACD，结合已知条件可得∠ACD=∠B，又∠A=∠A，利用有两组角相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，接下来根据相似三角形的性质进行计算.【解析】【解答】解：由，得 ， ∴，∴当x＝4时，的最大值是16.故答案为：C.【分析】根据已知条件可得y=-2x2+6x，将表示y的式子代入待求式子，将待求式子转化为关于x的二次三项式，进而利用配方法将待求式子配成一个完全平方式加一个常数的形式，最后根据偶数次幂的非负数可得最大值.【解析】【解答】解：，，又AB∶BC=2∶3，，.故答案为：6.【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，然后将已知条件代入计算即可.【解析】【解答】解：的半径为，点A到圆心O的距离为点A与的位置关系是：点A在圆内故答案为：点A在圆内.【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.【解析】【解答】解：根据题意得：该同学数学学期平均成绩是：＝85（分），故答案为：85.【分析】首先用平时成绩、期中成绩、期末成绩分别乘以对应的权求出总成绩，然后除以总权即可求出平均成绩.【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．  【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解析】【解答】解：过点B作BD⊥水平面于点D，∵斜坡AC的坡度i＝1：2，∴AD＝2BD，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（2BD）2+BD2＝102，解得：BD＝2，∴在这个过程中小明升高了2m.故答案为：2.【分析】过点B作BD⊥水平面于点D，根据坡度可得AD＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出BD，即小明升高的距离.【解析】【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，且，且，且.故答案为：m＜1且m≠0.【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△>0且m≠0，代入求解可得m的范围.【解析】【解答】解：令y=0∴=0∴x2−8x−20=0解得：x1=10，x2=−2(舍去)∴小林这次铅球推出的距离是10米.故答案为：10.【分析】令y=0，求出x的值，进而可得小林这次铅球推出的距离.【解析】【解答】解：如图，∵上图是正十二边形，∴正十边形内角＝150°，即∠M＝∠MBF＝∠E＝∠F＝150°，根据题意，得四边形BCEF内角和为360°，且∠ECB＝∠FBC，∴∠ECB＝∠FBC＝＝30°，根据题意，得六边形AMBFEC内角和为720°，且∠ACE＝∠CAM，∴∠ACE＝∠CAM＝＝60°，∴∠ACB＝∠ACE﹣∠ECB＝60°﹣30°＝30°.故答案为：30.【分析】对图形进行点标注，根据正多边形的性质可得∠M＝∠MBF＝∠E＝∠F＝150°，根据四边形BCEF内角和为360°，且∠ECB＝∠FBC可得∠ECB＝∠FBC＝30°，根据六边形AMBFEC内角和为720°，且∠ACE＝∠CAM可得∠ACE＝∠CAM＝60°，然后根据∠ACB＝∠ACE﹣∠ECB进行计算.【解析】【解答】解：由题意知，，，，则（米）， ，， ，即，解得（米），即路灯的高AB为5.8米.故答案为：5.8. 【分析】由题意知：CE=CD=1.8，BC=4，CD∥AB，则BE=BC+CE=5.8米，易证△ECD∽△EBA，然后根据相似三角形的性质计算即可.【解析】【解答】解：过点D作DH∥AC交BF于H，如图，，，，，，，，，，，.故答案为：.【分析】作DH∥AC交BF于H，根据平行线的性质得∠EDH=∠EAF，∠EHD=∠EFA，证明△EDH≌△EAF，得到DH=AF，然后证明△BHD∽△BFC，接下来根据相似三角形的性质计算即可.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F，交半圆O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，OE＝4，∵∠G＝90°，PG＝BG＝AB＝4，∴OG＝6，∴OP＝＝，∴EP＝-2，∴FD+FE的长度最小值为-2.故答案为：2-2.【分析】根据正方形的性质可得∠ABC＝90°，由已知条件可得∠ABE＝∠BCE，结合∠ABE+∠CBE=90°可得∠BEC＝90°，则点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F，交半圆O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，OE＝4，易得OG=6，利用勾股定理求出OP，进而可得EP，据此解答.【解析】【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；③y＝2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；④y＝﹣5(x﹣1)2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意.故答案为：C.【分析】y=kx+b（k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；y=（k≠0），当k>0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；
y=ax2（a≠0），当a>0、x>0时，y随x的增大而增大；当a>0、x<0时，y随x的增大而减小；当a<0、x<0时，y随x的增大而增大；当a<0、x>0时，y随x的增大而减小；y=a(x-h)2+k（a≠0），当a>0、x>h时，y随x的增大而增大；当a>0、x<h时，y随x的增大而减小；当a<0、x<h时，y随x的增大而增大；当a<0、x>h时，y随x的增大而减小.【解析】【分析】（1）首先将方程整理成一般形式，观察发现方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可；
（2）代入特殊角的三角函数值，根据绝对值的性质、负整数指数幂的运算性质及二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的方向和距离，将点A、B、C向下平移2个单位长度可得点A1、B1、C1的位置，顺次连接可得△A1B1C1；利用方格纸的特点及旋转的方向和角度，将点A1、B1绕点C1顺时针旋转90°得A2、B2，顺次连接可得△A2B2C1；
（2）首先利用勾股定理求出A1C1的值，易得线段A1C1在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积为圆心角为90°，半径为A1C1的扇形的面积，据此计算.【解析】【解答】解：（1）由题意可得：224÷40%=560（人）；【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可知样本中专注听讲的学生人数共有224人，其所占的百分比是40%，用样本中专注听讲的学生人数除以其所占的百分比即可得出本次抽取的学生人数；
（2）用本次调查的样本容量分别减去主动质疑的学生人数，独立思考的学生人数，专注听讲的学生人数即可得出样本中讲解题目的学生人数，根据计算的人数补全统计图即可；
（3）用样本估计总体的题，用全市的初三学生总人数乘以样本中“独立思考”的初三学生占抽取样本的百分比即可得出该市在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生总人数。【解析】【解答】解：（1）如果他们只去一个景点，那么选中瘦西湖的概率为，故答案为：；【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，找出总情况数以及同时选中个园、何园的情况数，然后利用概率公式进行计算.【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，由题意可得2021年12月的销量为3(1+x)2，然后根据2021年12月的销量为3.63万件列出方程，求解即可；
（2）根据2021年12月份的销量×(1+x)可得2022年1月的销量，然后与4进行比较即可判断.【解析】【分析】由题意得∠DCB＝∠EFB＝∠GBF＝∠BGD＝90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE、EFBG、DCBG均为矩形，根据矩形的性质可得BG＝EF＝CD＝1.2米，DE＝CF＝40米，设AG＝EG＝x米，根据∠ADG的正切函数可得x的值，然后求出AB即可.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由DQ=DC，OC=OB，得出∠Q=∠QCD，∠B=∠OCB，根据垂线的性质得出∠QPB=90° ，证得∠B+∠Q=90°，求出∠OCD=90°，证出CD⊥OC，根据切线的判定即可证得结论。
（2）利用解直角三角形，在Rt△BQP中，根据sin∠Q= ，求出BQ的长， 再根据直径所对的圆周角是直角及垂线的定义得出∠ACB=∠BPQ，然后根据相似三角形的判定证得△ABC∽△QBP，得出对应边成比例，求出BC的长，根据CQ=BQ﹣BC，就可得出答案。【解析】【解答】解：（1）∵销售单价每降低0.5元，就可多售出10件，∴每天的销售量为200+10×=240（件）故答案为：240；【分析】（1）由题意可得当销售单价为58元时，可多售出(×10)件，然后加上200即可；
（2）设该品牌童装获得的利润为y元，根据利润=(售价-进价)×销售量可得y与x的关系式，据此解答；
（3）根据（2）中的关系式结合二次函数的性质进行解答即可.【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠ADE+∠DEA=135°，根据平角的概念可得∠BEC+∠DEA=135°，则∠ADE=∠BEC，然后证明△ADE∽△BEC，据此判断；
（2）在AB上取点E使AE=1或AE=4，连接DE、CE，点E就是所求的点；利用方格纸的特点及勾股定理算出DE、EC的长，根据勾股定理的逆定理判断出△DEC是直角三角形，进而根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可判断出 △DAE∽△EBC ， △DAE∽△CED， 从而即可得出△DAE∽△EBC∽△CED，据此解答；
（3）根据点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点可得△AEM∽△BCE∽△ECM，则∠BCE=∠ECM=∠AEM，根据折叠的性质可得△ECM≌△DCM，则∠ECM=∠DCM，CE=CD，推出BE=CE=AB，然后根据三角函数的概念进行解答即可.【解析】【分析】（1）令y=-x+3中的x=0、y=0，求出y、x的值，可得B（3，0），C（0，3），将（3，0）、（0，3）代入y＝-x2＋bx＋c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设直线y＝-x＋3为l1，过点D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于点E，则D到线段BC的距离为FD的长，根据点B、C的坐标可得OB＝OC＝3，易得DF＝EF，则DE＝DF，设D（m，-m2＋2m＋3），则E（m，-m＋3），表示出DE，然后根据二次函数的性质进行解答；
（3）当点D在直线BC的下方时，过点A作AN⊥BC于N，设BD交OC于点P，易得BC＝3，AO＝1，AB＝4，利用勾股定理求出AC，根据△ACB的面积公式可得AN，然后求出CN，推出∠BPO＝∠ACB，然后根据三角函数的概念可得OP，据此可得点P的坐标，利用待定系数法i求出PB所在直线的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，进而可得点D的坐标；当点D在直线BC的上方时，过点A作AN⊥BC于N，过点D作DQ⊥AB于Q，设D（n，-n2＋2n＋3），表示出DQ，BQ，推出∠ACN=∠DBQ，利用三角函数的概念可求出n的值，据此可得点D的坐标.