2022中考数学解答题专题08 一次函数与二元一次方程（Word版含答案，基础 培优，教师版 学生版））

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专题08 一次函数与二元一次方程（组）（提优） 1．（1）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝7的解，则k的值是多少？（2）已知一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x，且经过点（2，﹣3）．①求这个一次函数的解析式；②若将该函数的图象向右平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．【分析】（1）先求出方程组的解，再代入2x+3y＝7求出k即可；（2）①根据平行求出k，再把点的坐标代入求出b即可；②先求出函数y＝﹣3x+3与x轴的交点坐标，再求出平移后的图象与x轴的交点坐标即可．【解答】解：（1）解方程组得：，∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝7的解，∴代入得：2×2k+3k＝7，解得：k＝1； （2）①∵一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x，∴k＝﹣3，即y＝﹣3x+b，∵一次函数y＝kx+b经过点（2，﹣3），∴代入得：﹣3＝﹣3×2+b，解得：b＝3，即这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+3； ②∵y＝﹣3x+3，当y＝0时，0＝﹣3x+3，解得：x＝1，即一次函数y＝﹣3x+3与x轴的交点的坐标是（1，0）1+6＝7，所以将一次函数y＝﹣3x+3图象向右平移6个单位，平移后的图象与x轴交点的坐标是（7，0）．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质和用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能正确用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．2．如图，直线y＝2x+6与直线l：y＝kx+b交于点P（﹣1，m）（1）求m的值；（2）方程组的解是　　；（3）直线y＝﹣bx﹣k是否也经过点P？请说明理由．【分析】（1）将点P（﹣1，m）代入直线方程y＝2x+6，解出m的值．（2）因为直线y＝2x+6直线y＝kx+b交于点P，所以方程组的解就是P点的坐标；（3）将P点的坐标代入直线y＝﹣bx﹣k的解析式中，即可判断出P点是否在直线y＝﹣bx﹣k的图象上．【解答】解：（1）将点P（﹣1，m）代入直线方程y＝2x+6得：﹣2+6＝m，所以m的值是4；（2）方程组的解为，故答案为：，（3）直线y＝﹣bx﹣k也经过点P．理由如下：∵点P（﹣1，4），在直线y＝﹣bx﹣k上，∴b﹣k＝4，∵y＝kx+b交于点P，∴﹣k+b＝4，∴b﹣k＝﹣k+b，这说明直线y＝﹣bx﹣k也经过点P．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就一定满足函数解析式．3．如图，一次函数y＝﹣x+5和y＝kx﹣1与x轴、y轴分别相交于A、B和C、D四点，两个函数交点为E，且E点的横坐标为2．（1）求k的值；（2）不解方程组，请直接写出方程组的解；（3）求两函数图象与x轴所围成的三角形ACE的面积．【分析】（1）先利用一次函数y＝﹣x+5确定E点坐标，然后把E点坐标代入y＝kx﹣1即可求出k的值；（2）利用一次函数与方程组的关系，两函数的交点的横纵坐标即可为方程组的解；（3）先利用两个一次函数解析式求出A、C的坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝﹣x+5＝3，则E（2，3），把E（2，3）代入y＝kx﹣1得2k﹣1＝3，解得k＝2；（2）方程组的解为；（3）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则A（5，0），当y＝0时，2x﹣1＝0，解得x，则C（，0），所以三角形ACE的面积3×（5）．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．4．已知直线y1＝2x﹣1和y2＝﹣x﹣1的图象如图所示，根据图象填空：（1）当x　＞　0时，y1＞y2；当x　＝　0时，y1＝y2；当x　＜　0时，y1＜y2（2）方程组  的解是　　．【分析】根据直线y1＝2x﹣1和y2＝﹣x﹣1的图象即可直接得出答案．【解答】解：（1）当x＞0时，y1＞y2；当x＝0时，y1＝y2；当x＜0时，y1＜y2；（2）方程组  的解是．故答案为：＞；＝；＜；．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是正确根据图象进行求解．5．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：　　的解；（2）不等式kx+b＜0的解集是　x＞3　；（3）当x　≤1　时，kx+b≥mx﹣n；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【分析】（1）先利用待定系数法求出两直线解析式，然后利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答；（2）观察函数图象，写出直线y＝kx+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）根据函数图象，当x≤1时，直线y＝kx+b没有在直线y＝mx+n的下方，即kx+b≥mx+n；（4）先根据坐标轴上点的坐标特征确定M点和N点坐标，然后利用四边形OMPN的面积＝S△ONB﹣S△PMB进行计算．【解答】解：（1）把A（0，﹣1），P（1，1）分别代入y＝mx﹣n得，解得，所以直线l1的解析式为y＝2x﹣1，把P（1，1）、B（3，0）分别代入y＝kx+b得，解得，所以直线l2的解析式为yx， 所以交点P的坐标（1，1）是一元二次方程组的解；（2）不等式kx+b＜0的解集为x＞3；（3）当x≤1时，kx+b≥mx﹣n；（4）当y＝0时，2x﹣1＝0，解得x，则M点的坐标为（，0）；当x＝0时，yx，则N点坐标为（0，），所以四边形OMPN的面积＝S△ONB﹣S△PMB3（3）×1＝1．故答案为；x＞3；≤1．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组、与一元一次不等式的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求一次函数解析式．6．小明同学在解方程组的过程中，错把b看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线y＝kx+b过点（3，1），则b的正确值应该是多少？【分析】解本题时可将和b＝6代入方程组，解出k的值，然后再把（3，1）代入y＝kx+b中解出b的值．【解答】解：依题意得：2＝﹣k+6，解得：k＝4；又∵1＝3×4+b，∴b＝﹣11．【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．先将已知代入方程得出k的值，再把k代入一次函数中可解出b的值．运用代入法是解二元一次方程常用的方法．7．已知两直线l1，l2的位置关系如图所示，请求出以点A的坐标为解的二元一次方程组．【分析】由图知：直线l1、l2相交于A点，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标．【解答】解：设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知直线l1经过（﹣1，0）和（2，3），根据题意，得：，解得；则直线l1的函数解析式是y＝x+1；同理得直线l2的函数解析式是y＝2x﹣1．则所求的方程组是；两个函数图象的交点坐标为A（2，3）．【点评】本题考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系．一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．8．已知函数y＝2x﹣2的图象如图所示（1）请在图所示的平面直角坐标系内，按画函数图象的基本步骤画出函数yx+1的图象；（2）根据图象得方程组的解是　　．【分析】（1）利用描点法画出一次函数图象即可；（2）两个函数图象的交点坐标，即为方程组的解；【解答】（1）解：列表得x0﹣2y10描点；连线（图象如图2所示） （2））根据图象得方程组的解是．故答案为．【点评】本题考查一次函数与方程组的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）．（1）求a的值；（2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？【分析】（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P点坐标代入可求出a的值；（2）利用待定系数法确定l2得解析式，由于P（﹣2，a）是l1与l2的交点，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得；（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：（1）∵直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），∴解得：，∴直线l1的解析式为：y＝2x﹣1，把P（﹣2，a）代入y＝2x﹣1得：a＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5； （2）设l2的解析式为y＝kx，把P（﹣2，﹣5）代入得﹣5＝﹣2k，解得k，所以l2的解析式为yx，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得； （3）对于y＝2x﹣1，令x＝0，解得y＝﹣1，则A点坐标为（0，﹣1），所以S△APO2×1＝1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．10．如图所示，直线l1：y＝2x+b与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，3），利用图象：（1）解关于x，y的二元一次方程组：（2）解关于x的一元一次不等式：2x+b＞mx+4．【分析】（1）把解方程组转化为一次函数的图象的交点问题；（2）利用图象写出直线y＝2x+b在直线y＝mx+4上方部分的对应的自变量x的取值范围即可；【解答】解：（1）方程组的解可以看成一次函数y＝2x+b与一次函数y＝mx+4的交点的坐标P（1，3），∴方程组的解． （2）观察图象可知，不等式的解为：x＞1．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．同时要求利用图象求解各问题，根据图象观察，可以得出结论．要认真体会一次函数与方程组之间的关系．11．如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，直线BE与y轴交于点F．（1）若∠OFE＝α，∠ACE＝β，求∠ABE（用α，β表示）；（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解（同学们可以用点A、B的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解，求点C、F的坐标；（3）解方程组，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？【分析】（1）利用平行线的性质得∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，所以∠ABE＝α+β；（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解可确定F点的纵坐标；（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【解答】解：（1）∵BD⊥x轴，CE⊥x轴，∴BD∥CE，∴∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝α+β；（2）∵点C的横坐标为2，把x＝2代入方程x﹣y＝﹣1，解得y＝3，∴点C的坐标为（2，3）；                                 ∵点F在y轴上，∴点F的横坐标为0，把x＝0代入2x+y＝4，解得y＝4，∴点F的坐标是（0，4）；         （3）方程组的解是，∵点B的坐标是（1，2），∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组的解．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．12．如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）．（1）求p的值；（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；（3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+6经过点M，即可求出p．（2）由图象可知交点的坐标就是方程组的解．（3）先求出m+n＝4，用代入法可以解决．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6经过点M（p，4），∴4＝﹣2p+6，∴p＝1．（2）由图象可知方程组的解为，（3）结论：直线y＝3nx+m﹣2n经过点M，理由如下：∵点M（1，4）在直线y＝mx+n上，∴m+n＝4，∴当x＝1，时，y＝3nx+m﹣2n＝m+n＝4，∴直线y＝3nx+m﹣2n经过点M．【点评】本题考查一次函数的有关知识、理解方程组的解与函数图象交点之间的关系是解决问题的关键，学会用代入法判定一个点是否在函数图象上．13．学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？【分析】（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象即可得出答案．（2）由图象比较收费y1、y2，即可得出答案．（3）当有50人时，比较收费y1、y2，即可得出答案．【解答】解：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人；（2）由图象知：当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算；（3）由图象知：当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算；【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键正确理解图象的几何意义．14．如图，在平面直角坐标系中，直线a与x轴，y轴分别交于A、B两点，且直线a上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程4x﹣3y＝﹣6的解，直线b与x轴，y轴分别交于C、D两点，且直线b上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x﹣2y＝1的解，直线a与b交于点E．（1）分别求出点A，点D的坐标；（2）求四边形AODE的面积．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标和点D的坐标；（2）求出两条直线的交点E的坐标，根据四边形AODE的面积＝四边形AOHE的面积﹣△EDH的面积进行计算即可．【解答】解：（1）∵直线a上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程4x﹣3y＝﹣6的解，∴当y＝0时，x，∴点A的坐标为：（，0），∵直线b上所有点的坐标（x，y）都是二元一次方程x﹣2y＝1的解，∴x＝0时，y，∴点D的坐标为：（0，）； （2）作EH⊥y轴于H，，解得，∴点E的坐标为（﹣3，﹣2），则四边形AODE的面积＝四边形AOHE的面积﹣△EDH的面积（3）×23．【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线的交点的求法以及四边形的面积，正确求出E点坐标是解题的关键．15．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1、l2，如图所示，那么他解的是哪个二元一次方程组？【分析】因为两函数图象的交点坐标同时满足两函数的解析式，即两直线的交点坐标是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解，所以应用待定系数法求出两函数的解析式即可．【解答】解：直线l1 经过点（0，2）与（2，﹣2）设直线l1 的解析式为：y＝kx+b，则： 解之得所以设直线l1 的解析式为：y＝﹣2x+2直线l2经过点（﹣2，0）与（2，﹣2），同法可得直线l2的解析式：yx﹣1因为：由图象可知直线l1 与l2 的交点为（2，﹣2）方程组的解为故：他解的二元一次方程组是：．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解的关系，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的解有什么样的关系16．画出函数y＝2x+1的图象，利用图象：（1）求方程0＝2x+1的解；（2）求不等式2x+1＜0的解集；（3）若﹣3≤y≤3，求x的取值范围．【分析】（1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；（2）根据函数与不等式的关系：x轴上方的部分是不等式的解集，可得答案；（3）根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围；【解答】解：（1）由图象知，方程2x+1＝0的解是x＝﹣0.5；（2）由图象知，不等式2x+1＜0的解集是x＜﹣0.5；（3）由图象知，当﹣3≤y≤3时，x的取值范围是﹣2≤x≤1；【点评】本题考查了一次函数图象，利用了函数与方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解；又利用了函数与不等式的关系：图象位于x轴上方的部分是相应不等式的解集．17．如图，直线l1过点A（8，0）、B（0，﹣5），直线l2过点C（0，﹣1），l1、l2相交于点D，且△DCB的面积等于8．（1）求点D的坐标；（2）点D的坐标是哪个二元一次方程组的解．【分析】（1）由待定系数法求出直线l1的解析式，得出B的坐标，求出BC的长，由三角形的面积求出点D的横坐标，即可得出点D的纵坐标；（2）由待定系数法求出直线l1的解析式，即可得出结果．【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b，根据题意得：，解得：，∴直线l1的解析式为yx﹣5，∵B（0，﹣5），∴OB＝5，∵点C（0，﹣1），∴OC＝1，∴BC＝5﹣1＝4，设D（x，y），则△DCB的面积4×|x|＝8，解得：x＝±4（负值舍去），∴x＝4，代入yx﹣5得：y，∴D（4，）；（2）设直线l2的解析式为y＝ax+c，根据题意得：，解得：，∴直线l2的解析式为yx﹣1，∵l1、l2相交于点D，∴点D的坐标是方程组的解．【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系、两直线相交的问题，待定系数法求直线解析式；由待定系数法求出直线解析式是解决问题的关键．18．如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；（3）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式．【分析】（1）因为点P（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，可求出a＝﹣5；（2）因为直线y＝3x+1直线y＝mx+n交于点P，所以方程组的解就是P点的坐标；（3）因为直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点（3，0），又有直线l2过点P（﹣2，﹣5），可得关于m、n的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，∴当x＝﹣2时，a＝﹣5． （2）解为． （3）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3∴直线l2过点（3，0），（7分）又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5）∴，解得．∴直线l2的函数解析式为y＝x﹣3．【点评】考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想，题出的比较好．19．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y＝kx交于点P，且PO＝PA，（1）求a+b的值．（2）求k的值．（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE＝2EF，求D点坐标．【分析】（1）根据题意知，一次函数y＝ax+b的图象过点B（﹣1，）和点A（4，0），把A、B代入求值即可；（2）设P（x，y），根据PO＝PA，列出方程，并与y＝kx组成方程组，解方程组；（3）设点D（x，2），因为点E在直线y上，所以E（x，），F（x，0），再根据等量关系DE＝2EF列方程求解．【解答】解：（1）根据题意得：，解方程组得：，∴a+b2，即a+b； （2）设P（x，y），则点P即在一次函数y＝ax+b上，又在直线y＝kx上，由（1）得：一次函数y＝ax+b的解析式是y2，又∵PO＝PA，∴，解方程组得：，∴k的值是； （3）设点D（x，2），则E（x，），F（x，0），∵DE＝2EF，∴2，解得：x＝1，则21+2，∴D（1，）．【点评】本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．20．在直角坐标系中，直线L1的解析式为y＝2x﹣1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（﹣2，a）．（1）试求a的值；（2）试问（﹣2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．【分析】（1）由于P是两个函数的交点，因此可将P点坐标代入直线L1的解析式中，求出a的值．（2）由于直线L2过原点，因此一次函数L2是个正比例函数，根据P点坐标，可确定其解析式．联立两个直线解析式所组成的方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．（3）根据直线L1的解析式，可求出A点坐标；以OA为底，P点纵坐标绝对值为高，可求出△OAP的面积．（4）若点M到x轴、y轴的距离相等，那么点M的坐标有两种情况：①横坐标与纵坐标相等；②横坐标与纵坐标互为相反数；因此本题要分情况讨论．【解答】解：（1）把（﹣2，a）代入y＝2x﹣1，得：﹣4﹣1＝a，解得a＝﹣5． （2）由（1）知：点P（﹣2，﹣5）；则直线L2的解析式是yx；因此（﹣2，a）可以看作二元一次方程组的解． （3）直线L1与x轴交于点A（，0），所以S△APO5． （4）存在点M，使得点M到x轴和y轴的距离相等．设点M的坐标为（a，b）；①当a＝b时，点M的坐标为（a，a）；代入y＝2x﹣1得：2a﹣1＝a，a＝1；即点M的坐标为（1，1）；②当a＝﹣b时，点M的坐标为（a，﹣a）；代入y＝2x﹣1得：2a﹣1＝﹣a，a；即点M的坐标为（，）．综上所述，存在符合条件的点M坐标为（1，1）或（，）．【点评】本题是一个开放性问题，综合考查了函数图象交点、图形面积求法等知识．解答（4）题时需注意，由于点M的坐标存在两种情况，因此要分类讨论，以免漏解．