2022年中考数学解答题专题18——数轴上的动点问题（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

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专题18 数轴上的动点问题（提优）

1．如图1，线段AB的长为a．
（1）尺规作图：延长线段AB到C，使BC＝2AB；延长线段BA到D，使AD＝AC．（先用尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB所在的直线画数轴，以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C，D两点，并直接写出C，D两点表示的有理数，若点M是BC的中点，点N是AD的中点，请求线段MN的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D处开始，在点C，D之间进行往返运动；乙从点N开始，在N，M之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M点第一次回到点N时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．

【分析】（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有
点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则
t=2MN2=2×352=35（秒）
那么甲在总的时间t内所运动的长度为：
s＝5t＝5×35＝175（单位长度），
可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为：
175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．
①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有：
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时再次经过的时间t2，有：
5t2+2t2＝2×[30﹣（﹣5）]，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15，
这时甲和乙所对应的有理数为15．
③设甲乙第三次相遇时再次经过的时间t3，有：
5t3+2t3＝45+50+5，t3=1007（秒）
此时甲的位置：5×1007−45﹣30=−257，乙的位置：﹣（2×1007−5﹣20）=−257
这时甲和乙所对应的有理数为−257．
此时所经过的时间＝t1+t2+t3＝5+10+1007=2927（秒），
剩余的时间＝35﹣2927=557，
甲运动的距离只有5×557=2847，可见甲和乙停止运动后不可能再相遇了，
所以甲和乙在运动过程中所相遇的点对应的有理数为：﹣5，15，−257．
【点评】本题既考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．
2．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．

（1）请直接写出直尺的长为　20　个单位长度；
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC＝3OA，求此时A点所对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以4个单位长度/秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为t1、t2，若t1﹣t2＝9（秒），求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？
【分析】根据数轴上点的移动来计算相对点的位置，找到它们的数量关系来求解．
【解答】解：（1）∵OC＝3AB＝60，
∴AB＝20，
∴直尺的长为：20．
（2）当直尺AB在数轴上移动时，符合BC＝3OA的情况如下所示：
①直尺在OC之外时，设BO为x，

∴60+x＝3（20+x），x＝0，
∴A所对应的数为﹣20．
②直尺在OC之内时，设OA为x，

60﹣20﹣x＝3x，x＝10，
∴A所对应的数为10，
∴综上所述，A在数轴上所对应的数分别为﹣20或10．
（3）设直尺在蓬内的x处，即OA＝x，如下图，根据题意，

t1=x+204 t2=60−x4
∵t1﹣t2＝9
∴x+204−60−x4=9，解得x＝38
所以A点在蓬内所对应的数为38．
【点评】本题考查直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间距离关系的变化来确定直尺两端的位置，根据已知条件来分析直尺两端所对应点位置的可能性是解题的关键．
3．A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|＝2．
（1）a＝　﹣6　；b＝　8　；
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）
①当PO＝2PB时，求点P的运动时间t：
②当PB＝6时，求t的值：
（3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则AB−OPEF的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由．

【分析】（1）由点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，推出a＝﹣6，由b﹣|a|＝2．可得b＝8；
（2）①②根据题意构建方程即可解决问题；
（3）根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算AB−OPEF即可．
【解答】解：（1）∵点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，
∴a＝﹣6，
∵b﹣|a|＝2．
∴b＝8，
故答案为﹣6，8．

（2）①∵OP＝2PB，
观察图象可知点P在点O的右侧：2t﹣6＝2（14﹣2t）或2t﹣6＝2（2t﹣14），
解得t=173或11．
②（14﹣2t）＝6或（2t﹣14）＝6
解得t＝4或10．

（3）当点P运动到线段OB上时，
AP中点E表示的数是 −6+2t−62=−6+t，OB的中点F表示的数是4，
所以EF＝4﹣（﹣6+t）＝10﹣t，
则AB−OPEF=14−(2t−6)10−t=2．
所以AB−OPEF的值为定值2．

【点评】考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数，数轴0对应点O．

（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，OP＝OQ？
（4）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的M对应的数．（不必说明理由）
【分析】（1）理解多项式和单项式的相关概念，能够正确画出数轴，正确在数轴上找到所对应的点；
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和有最小值；
（3）分两种情况，根据数轴上两点间的距离的求法进行求解；
（4）注意数轴上两点间的距离公式：两点所对应的数的差的绝对值．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a＝﹣1，
∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，
∴b＝3+2＝5，
∵c是单项式﹣2xy2的系数，
∴c＝﹣2，
如图所示：


（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）＝6；

（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒12个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB＝6，两点速度差为：2−12，
∴6÷（2−12）＝4（秒）；
或1+12t＝5﹣2t，
解得t＝1.6．
答：运动1.6秒或4秒后，OP＝OQ．

（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣223．
综上所述，M对应的数为2或﹣223．
【点评】此题主要考查了数轴有关计算以及单项式和多项式问题，注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
5．如图，在数轴上，点O为原点，点A，B是数轴上的点，已知点A所对应的数是a，点B所对应的数是b，且a，b满足|a+2|+（3a+b）2＝0
（1）请在数轴上标出点A，B的位置，并直接写出点B所对应的数是　6　；
（2）在数轴上原点O的右侧有一个点P，满足PA+PB＝14，求点P对应的数；
（3）在（2）的条件下，动点Q从点B出发沿数轴向右运动，点Q的速度为每秒1个单位长度；同时点R从点A出发沿着数轴向右运动，点R的速度为每秒5个单位长度，点M为线段QR的中点，若在数轴上有一点N且满足NB﹣NP＝1，在点R，Q运动的过程中，设点Q的运动时间为t秒，当OM+MN＝2RQ时，求t的值及此时点M所表示的数？

【分析】（1）题中出现了绝对值和平方的和为0，根据非负数的和为0，则每一个非负数都为0，即可求出a和b的值，进而求出点B所对应的数；
（2）设出点P代表的数，列式求解即可，要分类讨论；
（3）根据题意先求出点N所对应的数，再分点M在N的左边，点M在N的右边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）由|a+2|+（3a+b）2＝0得 a+2＝0，3a+b＝0
解得：a＝﹣2，b＝6，
∴点B所对应的数是6．
故答案为6．
（2）设点P表示的数为x，且x＞0，
当点P在点B左侧，根据PA+PB＝14，
∴x﹣（﹣2）+6﹣x＝14，无解；
当点P在点B右侧，根据PA+PB＝14，
∴x﹣（﹣2）+x﹣6＝14，解得：x＝9，
∴点P对应的数是9．
（3）∵NB﹣NP＝1，点B所对应的数是6，点P对应的数是9，
∴点N对应的数是8，
点M在N的左边，则
12（﹣2+5t+6+t）+[8−12（﹣2+5t+6+t）]＝2[（6+t）﹣（﹣2+5t）]，
解得t＝1，
点M所表示的数是12×（﹣2+5+6+1）＝5；
点M在N的右边，则
12（﹣2+5t+6+t）+[12（﹣2+5t+6+t）﹣8]＝2[（﹣2+5t）﹣（6+t）]，
解得t＝6，
点M所表示的数是12×（﹣2+5×6+6+6）＝20．
综上所述，t的值是1时点M所表示的数是5或t的值是6时点M所表示的数是20．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
6．数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26、﹣10、20，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P点运动到C点时运动停止．设点P移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示P点对应的数：　﹣26+t　．
（2）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回A点．
①用含t的代数式表示Q在由A到C过程中对应的数：　2t﹣58　．
②当t＝　32或1243　时，动点P、Q到达同一位置（即相遇）．
③当PQ＝3时，求t的值．
【分析】（1）根据两点间的距离，可得P点对应的数；
（2）①根据两点间的距离，可得Q在由A到C过程中对应的数；
②需要分类讨论：Q返回前相遇和Q返回后相遇；
③需要分类讨论：Q没有出发前PQ＝3，Q返回前PQ＝3和Q返回后PQ＝3．
【解答】解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，A点表示的数为﹣26，
∴移动时间为t秒时，P点对应的数为﹣26+t．
故答案为：﹣26+t．
（2）①点P运动到点B所需时间为（﹣10）﹣（﹣26）＝16（秒），
点Q到点C的时间为20−(−26)2+16＝39（秒）．
∵当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，
∴移动时间为t秒时，Q点对应的数为﹣26+2（t﹣16）＝2t﹣58．
故答案为：2t﹣58．
②当点Q从点A到点C运动时，有﹣26+t＝2t﹣58，
解得：t＝32；
当从点C向点A返回时，有﹣26+t＝20﹣2（t﹣39），
解得：t=1243．
故答案为：32或1243．
③Q没有出发前PQ＝3，t＝3÷1＝3（秒）；
Q返回前PQ＝3，t＝32﹣3÷（2﹣1）＝29（秒）或t＝32+3÷（2﹣1）＝35（秒）；
Q返回后PQ＝3，t=1243−3÷（2+1）=1213（秒）或t=1243+3÷（2+1）=1273（秒）．
综上所述，当PQ＝3时，t的值是3或29或35或1213或1273秒．
【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解答（2）题时，对t分类讨论是解题关键．
7．如图，点A、B、C在数轴上分别表示有理数a、b、c，A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝2，且有理数a，b，c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，
（1）请直接写出a、b、c的值．
a＝　﹣1　b＝　1　c＝　5　．
（2）点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x﹣1|﹣|x+1|+2x
（3）现在点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．
请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．

【分析】（1）由非负数性质知c﹣5＝0且a+b＝0，即c＝5、a与b互为相反数，再根据|a﹣b|＝2可得a＝﹣1、b＝1；
（2）根据点P在A、B之间运动知﹣1＜x＜1，利用绝对值性质去绝对值符号、合并同类项可得；
（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．
【解答】解：（1）∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴c﹣5＝0且a+b＝0，即c＝5，
又∵A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝2，
∴a＝﹣1、b＝1，
故答案为：﹣1、1、5；
（2）∵点P在A、B之间运动，
∴﹣1＜x＜1，
则|x﹣1|﹣|x+1|+2x
＝1﹣x﹣x﹣1+2x
＝0；
（3）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝3t+4，AB＝3t+2，
∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
8．如图，已知数轴上点B表示的为﹣5，点A是数轴上一点，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点H从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点A表示的数　7　；
（2）当动点P，H同时从点A和点B出发，运动t秒时，点P表示的数　7+t　；点H表示的数　2t﹣5　；（用含t的代数式表示）
（3）动点P、H同时出发，问点H运动多少秒时追上点P？

【分析】（1）根据题意确定出点A表示的数即可；
（2）表示出P与H表示的数即可；
（3）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求．
【解答】解：（1）写出数轴上点A表示的数7；　
（2）点P表示的数7+t，点H表示的数2t﹣5；　
（3）根据题意得：2t﹣5＝7+t，
解得：t＝12，
答：点H运动12秒时追上点P．
故答案为：（1）7；（2）7+t；2t﹣5
【点评】此题考查了实数与数轴，以及一元一次方程的应用，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
9．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度，已知动点A，B的速度比为1：3（速度单位：1个单位长度每秒）．
（1）求两个动点的运动速度．
（2）在数轴上画出A、B两点从原点出发2秒时的位置．
（3）A，B两点以（1）小题的速度大小同时从（2）小题中标出的位置出发向数轴的负方向运动，再过多长时间使OB＝2OA？（OB就是点O与点B之间的距离，2OA表示O点与A点的距离的两倍）．
【分析】（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，那么动点B的速度是3x单位长度/秒，然后根据2秒后，两点相距16个单位长度即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果和已知条件，即可得出A、B两点从原点出发2秒时的位置；
（3）此问分两种情况讨论：设经过时间为x后，B在A的右边，若A在B的右边，列出等式解出x即可．
【解答】解：（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，
根据题意得2（x+3x）＝16，
∴8x＝16，
解得：x＝2，
则3x＝6．
答：动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒；

（2）AO＝2×2＝4，BO＝2×6＝12，
标出A，B点如图，
；

（3）设x秒时，OB＝2OA，
当B在A的右边，
根据题意得：12﹣6x＝2（4+2x），
∴x＝0.4；
当A在B的右边，
根据题意得：6x﹣12＝2（4+2x），
∴x＝10，
∴经过0.4秒或10秒时OB＝2OA．
【点评】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．边长为一个单位的正方形ABCD纸片在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和﹣1．
（1）把正方形ABCD纸片绕着顶点在数轴上向右滚动（无滑动），滚动1周后（正方形纸片滚动后AD再次落在数轴上时称为1周），点D所对应的数为　3　；在滚动过程中是哪个顶点经过数轴上的数2017？答：　B　；
（2）纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，下列是纸片5次运动的周数记录情况：﹣3，+1，+2，﹣4，+3．（注：﹣3表示第1次纸片向左滚动了3周）．①第　3　次滚动后，D点距离原点最近；②当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是　﹣4　．

【分析】（1）根据正方形滚动1周后点B的位置得出点B对应的数，根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数2017的点；
（2）①先判断每次滚动后点A的位置，再根据所得结果判断A点距离原点最近和A点距离原点最远的出现的次数；②根据纸片结束运动时，点A的位置得出其所表示的数即可．
【解答】解：（1）由题可得，正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位，
所以点D对应的数为：﹣1+4＝3
因为2017÷4＝504…1，
所以在滚动过程中，B点经过数轴上的数2017；
故答案为：3，B；
（2）①因为5次运动后，点A依次对应的数为：
0+4×（﹣3）＝﹣12；
﹣12+4×1＝﹣8；
﹣8+4×2＝0；
0﹣4×4＝﹣16；
﹣16+4×3＝﹣4；
所以第3次滚动后，D点距离原点最近；
②由①可得：当纸片结束运动时，此时点A所表示的数是﹣4．
故答案为：3，﹣4．
【点评】本题主要考查了数轴，解决问题的关键是掌握数轴的概念，解题时注意：正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位．
11．如图，数轴上有A、B两点，AB＝12，原点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）写出A，B两点所表示的实数；
（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC＝CO+CB，求C点所表示的实数；
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长，点Q的速度为每秒1个单位长，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数．

【分析】（1）由AO＝2OB可知，将12平均分成三份，AO占两份为8，OB占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：①点C在原点的左边，即在线段OA上时，②点C在原点的右边，即在线段OB上时，分别根据AC＝CO+CB列式即可；
（3）①分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝4+t，分别代入2OP﹣OQ＝4列式即可求出t的值；
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为t（2﹣1）＝8，解出即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，
∴AO＝8，OB＝4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，如图1，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x=−43；
②点C在线段OB上时，则x＞0，如图2，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）；
综上所述，C点所表示的实数是−43；
（3）①当0＜t＜4时，如图3，
AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
t=85=1.6，
当点P与点Q重合时，如图4，
2t＝12+t，t＝12，
当4＜t＜12时，如图5，
OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
t＝8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；
②当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，
如图6，设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t＝8，
t＝8，
此时，点P表示的实数为8×2＝16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8＝24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．






【点评】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
12．（1）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则点O′的坐标是　π　；
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．

【分析】（1）直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长＝π，由此即可确定O′点对应的数；
（2）先根据平方根的定义得出2a﹣1＝9①，由算术平方根的定义得出3a+b﹣1＝16②，①与②联立组成关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入a+2b，计算即可求出其值．
【解答】解：（1）因为圆的周长为π•d＝π×1＝π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'＝π，
所以点O′表示的数为π．
故答案为π；

（2）由题意，得2a−1=93a+b−1=16，
解得a=5b=2．
当a＝5，b＝2时，
a+2b=5+2×2=9=3．
【点评】本题主要考查了（1）实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数的绝对值是它与原点的距离；
（2）平方根、算术平方根的定义，二元一次方程组的解法．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
13．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且线段AB＝4，CD＝6，已知A表示的数是﹣10，C表示的数是8，若线段AB以每秒6个单位长度的速度，线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动（A在B左侧，C在D左侧）
（1）B，D两点所表示的数分别是　﹣6　、　14　；
（2）若线段AB向右运动，同时线段CD向左运动，经过多少秒时，BC＝2；
（3）若线段AB、CD同时向右运动，同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P到点A，C的距离相等？

【分析】（1）根据线段的和差定义，求出线段OB、OD的长即可解决问题；
（2）分两种情形构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵OA＝10，AB＝4，
∴OB＝6，
∵OC＝8，CD＝6，
∴OD＝14，
∴B，D两点所表示的数分别是﹣6、14
故答案为﹣6，14．

（2）①当B点在C点左边时，
根据题意得：6t+2t+2＝14
解得：t＝1.5
②当B点在C点右边时，
根据题意得：6t+2t﹣2＝14
解得：t＝2
综上可得：经过1.5秒或2秒时，BC＝2．
（3）①当点P是线段AC的中点时，
根据题意得：2t+8﹣t＝t﹣（6t﹣10）
解得：t=13．

②当A点与C点重合时，
根据题意得：2t+8﹣t＝（6t﹣10）﹣t
解得：t=92
综上可得：经过13秒或92秒时，点P到点A，C的距离相等．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为9，BC＝6，AB＝18．

（1）数轴上点A表示的数为　﹣15　；点B表示的数为　3　．
（2）若动点P从A出发沿数轴匀速向右运动，速度为每秒6个单位，M为AP中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点M表示的数为　﹣15+3t　；（用含t的式子表示）
（3）若动点P、Q同时从A、C出发，分别以6个单位长度每秒和3个单位长度每秒的速度，沿数轴匀速向右运动．N在线段PQ上，且PN=13PQ，设运动时间为t（t＞0）秒，则数轴上点N表示的数为　5t﹣7　（用含t的式子表示）．
【分析】（1）求出AO，OB的长即可解决问题．
（2）求出OM、PM的长即可解决问题．
（3）分别求OP、PQ（分两种情况）、PN的长，表示ON的长可得结论．
【解答】解：（1）∵BC＝6，AB＝18，
∴AC＝6+18＝24，
∴点A表示的数为：9﹣24＝﹣15，
点B表示的数为：OB＝9﹣6＝3，
故答案为：﹣15，3；
（2）如图1，∵AP＝6t，M是AP的中点，
∴PM＝3t，
∵OA＝15，
∴OM＝15﹣3t，
∵M在x轴的负半轴上，
∴数轴上点M表示的数为：﹣15+3t；
故答案为：﹣15+3t；
（3）∵AP＝6t，CQ＝3t，
∴点P表示的数为﹣15+6t，点Q表示的数为9+3t，
当P与Q重合时，6t＝24+3t，t＝8
分两种情况：
①当t＜8时，P在Q的左边时，如图2，
∴PQ＝（9+3t）﹣（﹣15+6t）＝24﹣3t，
∵PN=13PQ，
∴PN=13（24﹣3t）＝8﹣t，
分两种情况：
i）当N在O的左边时，如图2，ON＝OP﹣PN＝15﹣6t﹣（8﹣t）＝7﹣5t，则点N表示的数为：5t﹣7；
ii）当N在O的右边时，同理得：ON＝PN﹣OP＝（8﹣t）﹣（15﹣6t）＝5t﹣7，则点N表示的数为：5t﹣7；
∴点N表示的数为：5t﹣7；
②当t＞8时，P在Q的右边时，如图3，

同理得：PQ＝（﹣15+6t）﹣（9+3t）＝3t﹣24，
∵PN=13PQ，
∴PN=13（3t﹣24）＝t﹣8，
∴ON＝OP﹣PN＝6t﹣15﹣（t﹣8）＝5t﹣7，则点N表示的数为：5t﹣7；
综上，点N表示的数为：5t﹣7；
故答案为：5t﹣7．


【点评】本题考查实数与数轴的关系、动点运动问题，解题的关键是理解数轴的定义，在原点左边的数表示负数，原点表示0，原点右边的数表示正数，学会利用线段的长表示点的坐标，属于中考常考题型．
15．一次数学课上，小明同学给小刚同学出了一道数形结合的综合题，他是这样出的：如图，数轴上两个动点M，N开始时所表示的数分别为﹣10，5，M，N两点各自以一定的速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位长度/s．

（1）M，N两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求N点的运动速度．
（2）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位长度？
（3）M，N两点按上面的各自速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发沿同方向运动，且在运动过程中，始终有CN：CM＝1：2．若干秒后，C点在﹣12处，求此时N点在数轴上的位置．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，即可解决问题；
（2）由OA+OB大于6个单位长度，分两种情况，一种B在右侧，一种A点在右侧，再根据时间＝路程÷时间，即可解决问题；
（3）要想始终保持CA＝2CB，则C点的速度应介于A、B两者之间，设出C点速度为x个单位/秒，联立方程，解方程即可得出C点的运动速度，再由速度求时间，由时间求得N点的运动路程从而解得N点在数轴上的位置．
【解答】解：（1）依题意，得 10÷2＝5 5÷5＝1
所以N点的运动速度是1个单位长度/s；
（2）∵OM+ON＝10+5＝15＞6，且M点运动速度大于N点的速度，
∴分两种情况，
①当点M在点N的右侧时，
运动时间为＝（OM+OM﹣6）÷（2﹣1）＝（10+5﹣6）÷1＝9s．
②当点M在点N的右侧时，
运动时间为＝（OM+ON+6）÷（2﹣1）＝（10+5+6）÷1＝21s
综合①②得，9秒和21秒时，两点相距都是6个单位长度；
（3）设点C的运动速度为x个单位/秒，运动时间为t，根据题意得知
10+（2﹣x）×t＝[5+（x﹣1）×t]×2，
整理，得2﹣x＝2x﹣2，
解得x=43，即C点的运动速度为43个单位/秒
∴当C点在﹣12处运动时间为12÷43=9s，
∴N点运动路程是1×9＝9，
∴N点在数轴上的位置是﹣4．
【点评】本题考查了两点间的距离和一元一次方程的应用，解题的关键：（1）牢记速度＝路程÷时间；（2）分两种情况，再结合时间＝路程÷速度即可；（3）设出C点速度，联立方程，求解一元一次方程，能熟练的运用解一元一次方程来解决实际问题然后反复运用速度、时间、路程之间的关系可解的．
16．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为﹣4，点B对应的有理数为6．
（1）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
①当t＝1时，AP的长为　2　，点P表示的有理数为　﹣2　；
②当PB＝2时，求t的值；
（2）如果动点P以每秒6个单位长度的速度从O点向右运动，点A和B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒PA＝2PB．

【分析】（1）①根据路程＝速度×时间，以及线段的和差定义计算即可；
②分两种情形分别求解即可；
（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴当t＝1时，AP＝2，
∵OA＝4，
∴OP＝2，
∴点P表示的有理数为﹣2．
故答案为2，﹣2；

②当点P在B左侧时，∵AB＝10，PB＝2，
∴AP＝8，
∴t＝4．
当点P在点B右侧时，AP＝12，
∴t＝6；

（2）设一点时间为t秒；
①当P在A、B之间时，PA＝4+6t﹣t＝4+5t，PB＝6+3t﹣6t＝6﹣3t，
∵PA＝2PB，
∴4+5t＝2（6﹣3t），
解得t=811．
②当P点在B点右侧时，PA＝4+5t，PB＝3t﹣6，
∵PA＝2PB，
∴4+5t＝2（3t﹣6），
解得t＝16，
故经过811秒或16秒时，PA＝2PB．
【点评】本题考查实数与数轴、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝　5﹣t　，AQ＝　10﹣2t　；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝AB时，求t的值．

【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝AB列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．

（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；

（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝AB，
∴|t﹣10|＝5，
解得t＝15或5．
故t的值是15或5．
故答案为：5﹣t，10﹣2t．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
18．如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B在点A左边，且AB＝18．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．
①问点P运动多少秒时追上点Q？
②问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数；
（3）若点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得2QR+3OP﹣mOR为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据两点间的距离公式，以及路程＝速度×时间即可求解；
（2）①根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
②分两种情况：相遇前相距4个单位长度；相遇后相距4个单位长度；进行讨论可求点P表示的数；
（3）表示出2QR+3OP﹣mOR，求得m值以及2QR+3OP﹣mOR的定值．
【解答】解：（1）数轴上点B表示的数为10﹣18＝﹣8，点P表示的数为10﹣5t；
（2）①18÷（5﹣3）＝9（秒）．
故点P运动9秒时追上点Q；
②相遇前相距4个单位长度，
（18﹣4）÷（5﹣3）＝7（秒），
10﹣7×5＝﹣25，
则点P表示的数为﹣25；
相遇后相距4个单位长度，
（18+4）÷（5﹣3）＝11（秒），
10﹣11×5＝﹣45，
则点P表示的数为﹣45；

（3）设t秒后2QR+3OP﹣mOR为定值，
由题意得，2QR+3OP﹣mOR＝2×[7t﹣（3t﹣8）]+3（10+5t）﹣7mt＝（23﹣7m）t+46，
∴当m=237时，2QR+3OP﹣mOR为定值46．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用、数轴的应用，根据题意正确列出一元一次方程、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
19．如图数轴上A、B、C三点对应的数分别是a、b、7，满足OA＝3，BC＝1，P为数轴上一动点，点P从A出发，沿数轴正方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，点Q从点C出发在射线CA上向点A匀速运动，且P、Q两点同时出发．
（1）求a、b的值
（2）当P运动到线段OB的中点时，点Q运动的位置恰好是线段AB靠近点B的三等分点，求点Q的运动速度
（3）当P、Q两点间的距离是6个单位长度时，求OP的长．

【分析】（1）由点C表示7，可得OC＝7，由OA＝3，BC＝1，得A、B两点表示的数，可得a、b的值；
（2）先计算P运动时间，根据点Q运动的位置恰好是线段AB靠近点B的三等分点，可知：BQ=13AB，可得点Q的路程，根据时间可得结论；
（3）设t秒时，PQ＝6，分两种情况：①如图1，当Q在P的右侧时，②如图2，当Q在P的左侧时；根据PQ＝6分别列式可得t的值，再计算OP的长．
【解答】解：（1）∵OA＝3，
∴点A表示的数为﹣3，即a＝﹣3，
∵C表示的数为7，
∴OC＝7，
∵BC＝1，
∴OB＝6，
∴点B表示的数为6，即b＝6；

（2）当P为OB的中点时，
AP＝AO+OP＝3+12OB＝3+3＝6，
t=61.5=4（s），
由题意得：BQ=13AB=13×（3+6）＝3，
∴CQ＝BQ+BC＝1+3＝4，
∴VQ=44=1，
答：点Q的运动速度每秒1个单位长度；

（3）设t秒时，PQ＝6，
分两种情况：
①如图1，当Q在P的右侧时，
AP+PQ+CQ＝3+7，
1.5t+6+t＝3+7，
t＝1.6，
AP＝1.5t＝2.4，
∴OP＝3﹣2.4＝0.6，
②如图2，当Q在P的左侧时，
AP+CQ＝AC+PQ＝10+6，
1.5t+t＝16，
t＝6.4，
AP＝1.5t＝1.5×6.4＝9.6，
∴OP＝9.6﹣3＝6.6，
综上所述，OP的长为0.6或6.6．


【点评】本题考查一元一次方程的应用以及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
20．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为　3　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　﹣2+3t　；点Q表示的数为　8﹣2t　．
（2）求当t为何值时，PQ=12AB；
（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PM−34BN的值．

【分析】（1）①根据点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，即可得到A、B两点间的距离以及线段AB的中点表示的数；②依据点P，Q的运动速度以及方向，即可得到结论；
（2）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（3）依据PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，运用线段的和差关系进行计算，即可得到PM−34BN的值．
【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）＝10，﹣2+12×10＝3，
故答案为：10，3；
②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；

（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ=12AB=12×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，PQ=12AB；
（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴MP=12AP=12×3t=32t，
BN=23BP=23（AP﹣AB）=23×（3t﹣10）＝2t−203，
∴PM−34BN=32t−34（2t−203）＝5．
【点评】本题考查了实数和数轴以及一元一次方程的应用应用，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程求解．