2022届北京市东城区高三下学期5月综合练习（二）（二模）数学试卷PDF版含答案

北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（二）

             数学参考答案及评分标准           2022.5

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）C （2）A （3）A （4）B        （5）D 

（6）C （7）B （8）B （9）A        （10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）                    （12）

（13）                           （14）  （答案不唯一）

（15）①②④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）在中，因为，

所以.

所以，即.

因为，所以.

所以.  ………………6分

（Ⅱ）选择条件②：

在中，，

解得.

所以.

解得.

在中，因为，

所以.   ………………13分

选择条件③：

在中，因为，，

所以.

在中，

=.

在中，可得.    ………………13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由图可知，从2011年到2021年这11年中，2011年、2015年和2019年男生的视

力平均值高于上一年男生的视力平均值.

因此，从2011年到2021年中随机选取1年，该年男生的视力平均值高于上一年男

生的视力平均值的概率为.   ………………3分

（Ⅱ）在这12年中，2010年、2011年、2014年、2018年女生的视力平均值不低于当年

男生的视力平均值.

      X的所有可能取值为0，1，2.

，

         ，

         ，

          所以X的分布列为

故X的数学期望E(X)＝.   ………………11分

（Ⅲ）这200名学生的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小. ………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）直线，证明如下：

因为D，O分别为PA，AC中点，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．  ………………5分

（Ⅱ）连结.                           

因为，为中点，

所以.

因为平面平面，

所以.

所以.

因为，所以.

如图，建立空间直角坐标系，

则，，， ．

因为点D为PA中点，所以.

所以，.

设为平面的法向量，

则 即

令，则，，可得．

设直线与平面所成角为 ，

因为，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.  ………………14分

（19）（共15分）

解：函数的定义域为.

（Ⅰ）当时，，.

所以，.

所以曲线在点处的切线方程为.    …………5分

（Ⅱ）当时，由有，故曲线在轴的上方.

当时，.

令得或（舍去）.

当变化时，，变化情况如下：

当，即时, 在区间上单调递增，

则，

即曲线在轴的上方.

当，即时，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则.

由时，曲线在轴的上方，

有，解得 .

所以 .

综上，实数的取值范围为.  ……15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，知解得,.

故椭圆的方程为．………………5分

（Ⅱ）由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去，得.

由及，

解得的取值范围为.

设，则，.

直线，令，得，

点.

同理，点.

由题设知，,.

因为

，

所以，且与同号.

依题意，得，且点位于轴同侧.

因为,

所以.  ………………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）由于，

可得.

.

所以.  ……………4分

（Ⅱ）.

      因为列为数列，所以.

对于数列中相邻的两项，

令.

若，则；若，则.

记中有个，个，则.

          因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 

因此不存在符合题意的数列. ……………9分

（Ⅲ）首先证明.

          对于数列，有.

.

.

因为，

，

所以.

所以.

其次，由数列为数列知，解得.

这说明数列中的任意相邻的两项不同的情况有2次,

也就是数列中所有的相邻，所有的也相邻.

若数列中的个数为m个，此时数列有n个，

所以数列的个数共有个.  ………………15分