2021学年第一章 全等三角形综合与测试课时训练

一、知识梳理

全等图形——能完全重合的图形

全等三角形——两个能完全重合的三角形（对应顶点、对应边、对应角）

用≌表示，顶点要一一对应

①全等条件及性质（判定方法）

②全等三角形的证明思路

▲证明角相等常用到的知识点有：

（1）对顶角相等；

（2）三角形的外角等于不相邻的两个内角之和；

（3）已证两全等三角形的对应角相等；

（4）两直线平行，内错角相等，同位角相等；

（5）同一三角形中等边对等角；

（6）等腰三角形或等边三角形中相等的角中；

（7）同角（或等角）的余角（或补角）相等；

在证明时需灵活应用以上知识点进行证明，证明过程中有时也会涉及一些中间量的替换以及辅助线的添加。

二、典例精讲

类型一、巧引辅助线构造全等三角形

(1)   ．倍长中线法 

常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中                                 方式1： 延长AD到E， 

 AD是BC边中线                                  使DE=AD，         

连接BE 

                                                           方式2：间接倍长

                 作CF⊥AD于F，                                 延长MD到N，

                     作BE⊥AD的延长线于E                          使DN=MD，

连接BE                                        连接CD

例1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

例2、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．

(2)．过角平分线上一点做垂线段构造全等三角形

例1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

例2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是∠ABC的平分线．

【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.

(1)求证：∠B与∠AHD互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.

（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形

例1、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；

（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

（4）手拉手模型

例题1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）       △ABE≌△DBC

（2）       AE=DC

（3）       AE与DC的夹角为60。

（4）       △AGB≌△DFB

（5）       △EGB≌△CFB

（6）       BH平分∠AHC

（7）       GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）       △ABE≌△DBC

（2）       AE=DC

（3）       AE与DC的夹角为60。

（4）       AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

（5）“K”字图、弦图、三垂图

由△ABE≌△BCD导出     

BC=BE+ED=AB+CD            ED=AE-CD                 EC=AB-CD

例1．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）

类型二、全等三角形动态型问题

例1、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.

（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.

（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.

【变式】

【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．

【探究展示】

（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．

（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

三、巩固练习

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（    ）

A．4对  B．5对  C．6对  D．7对

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（    ）

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

3．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE ,  ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）

A．DC        B. BC          C. AB         D.AE＋AC

4．下面有四个命题，其中真命题是（    ）

A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

5．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.

6．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）

7.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（     ）

 A、1<<4   B、3<<5     C、2<<3      D、0<<5

8．如图，高速公路上有 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，已知 DA＝10km，CB

＝15km，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为点 A，B．现要在 A，B 两点间建一个服务站 E， 使得 C，D 两村庄到 E 站的距离相等，则 AE 的长是              km．

9．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.

10．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.

11.如图，已知：AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC=DF。猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论。

12、如图，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。

求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

13、如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2，求证：（1）AC＝AE；（2）∠CAE＝∠CDE

14、如图，一个含45°角的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过点E作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于点F，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

15．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.

16、如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由。

17.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.

⑴求证：AF＋EF＝DE;

⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。

18．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.

当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.