2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第一章 §1.2　常用逻辑用语

§1.2　常用逻辑用语考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)(4)命题“∃x∈R，sin2eq \f(x,2)＋cos2eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)”是真命题．(　×　)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．使－20答案　B3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．答案　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形题型一　充分、必要条件的判定例1　(1)已知p：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x<0知00，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案　B解析　当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选1．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．2．(2022·宁波模拟)设a，b∈R，p：log2(a－1)＋log2(b－1)>0，q：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<1，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由题意得，p：log2(a－1)＋log2(b－1)＝log2(a－1)(b－1)>0＝log21，所以(a－1)(b－1)>1，即a＋b0，,b－1>0，))所以a>1，b>1，则ab>0，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<1，所以p是q的充分条件；因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)<1，所以eq \f(a＋b,ab)<1，若ab>0，则a＋bab，所以p是q的非必要条件，所以p是q的充分不必要条件．思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1　(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·太原模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型二　充分、必要条件的应用例2　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，　∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．延伸探究　本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴AB，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，故m的取值范围是[9，＋∞)．教师备选(2022·泰安模拟)已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案　A解析　因为q：|x＋2a|<3，所以q：－2a－30)，q：方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,8)))解析　由2－m>m－1>0，得1答案　AC解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋eq \r(2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq \r(2)，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2xeq \f(1,8)解析　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是真命题，当a＝0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2－x＋2>0”是假命题，不符合题意；当a≠0时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－8a<0，))解得a>eq \f(1,8).教师备选1．(2022·西安模拟)下列命题中假命题是(　　)A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1D．∃x∈R，tan x＝2答案　B解析　∵指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，∴∀x∈R，均可得到2x－1>0成立，故A项为真命题；∵当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，∴∃x∈N*，使(x－1)2>0不成立，故B项为假命题；∵当x＝1时，lg 1＝0<1，∴∃x∈R，使得lg x<1成立，故C项为真命题；∵正切函数y＝tan x的值域为R，∴存在锐角x，使得tan x＝2成立，故D项为真命题．综上所述，只有B项是假命题．2．若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　)A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0答案　D解析　若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则命题“∃x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命题，则m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为函数y＝x2－4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.思维升华　含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．跟踪训练3　(1)命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定是(　　)A．∀x>0，xsin x≥2x－1B．∃x>0，xsin x≥2x－1C．∀x≤0，xsin x<2x－1D．∃x≤0，xsin x≥2x－1答案　B解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x>0，xsin x<2x－1”的否定是：∃x>0，xsin x≥2x－1.(2)(2022·重庆模拟)下列命题为真命题的是(　　)A．∀x∈R，x2－|x|＋1≤0B．∀x∈R，－1≤eq \f(1,cos x)≤1C．∃x∈R，(ln x)2≤0D．∃x∈R，sin x＝3答案　C解析　对于A，因为x2－|x|＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0恒成立，所以∀x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；对于B，当x＝eq \f(π,3)时，eq \f(1,cos x)＝2，所以∀x∈R，－1≤eq \f(1,cos x)≤1是假命题；对于C，当x＝1时，ln x＝0，所以∃x∈R，(ln x)2≤0是真命题；对于D，因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x＝3是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”为真命题，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析　依题意，Δ＝m2＋4m>0，∴m>0或m<－4.课时精练1．命题 p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)A．有些三角形不是等腰三角形B．有些三角形可能是等腰三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形答案　C解析　命题p：“∃x∈A，使 P(x) 成立”，綈p为“对∀x∈A，有 P(x) 不成立”．故命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是“所有三角形不是等腰三角形”．2．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2答案　B解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq \r(2)＋(－eq \r(2))＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有eq \f(1,x)<0，不满足eq \f(1,x)>2，所以D是假命题．4．(2022·沈阳模拟)在空间中，设m，n是两条直线，α，β表示两个平面，如果m⊂α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当m⊥n时，∵m⊂α，α∥β，则n与β可能平行，∴充分性不成立；当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．5．若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(4，＋∞) B．(－∞，4)C．[4，＋∞) D．(－∞，4]答案　D解析　若命题“∃x∈(0，＋∞)，使得ax>x2＋4成立”是假命题，则有“∀x∈(0，＋∞)，使得ax≤x2＋4成立”是真命题．即a≤x＋eq \f(4,x)，则a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))min，又x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号，故a≤4.6．(2022·南京模拟)已知集合M＝[－1,1]，那么“a≥－eq \f(2,3)”是“∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案　A解析　∵∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0，∴a≥(4x－2x＋1)min，x∈[－1,1]，设t＝2x，则f(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴f(t)min＝f(1)＝－1，∴a≥－1，∵eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))[－1，＋∞)，∴“a≥－eq \f(2,3)”是“∃x∈M,4x－2x＋1－a≤0”的充分不必要条件．7．(多选)(2022·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有(　　)A．∀x∈R，3x>0B．∀x∈R，x2＋x＋1≤0C．∀x∈R，sin x<2xD．∃x∈R，cos x>x2＋x＋1答案　AD解析　∀x∈R,3x>0恒成立，A是真命题；∵x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴B是假命题；由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)π))＝1>，知C是假命题；取x＝－eq \f(1,2)，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，但x2＋x＋1＝eq \f(3,4)<eq \f(\r(3),2)，则D是真命题．8．(多选)(2022·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　　)A．xc2>yc2 B.eq \f(1,x)<eq \f(1,y)<0C．|x|>|y| D．ln x>ln y答案　ABD解析　对于A选项，若xc2>yc2 ，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由eq \f(1,x)<eq \f(1,y)<0可得yy；但x>y不能推出eq \f(1,x)<eq \f(1,y)<0(因为x，y的正负不确定)，所以“eq \f(1,x)<eq \f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x>ln y，则x>y，反之x>y得不出ln x>ln y，所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故D正确．9．若命题p：∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)>x＋1，则命题p的否定为________．答案　∃x∈(0，＋∞)，eq \r(x)≤x＋110．(2022·衡阳模拟)使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案　x<－1(答案不唯一)解析　由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案　a∈[1，＋∞)解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________．答案　{a|a≤－2或a＝1}解析　由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．13．(2022·苏州中学月考)在△ABC中，“A>B”是“cos AB，所以0B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cos A0，则函数f(x)＝x2－sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，f(x)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq \f(π2－4,4)，所以原命题为真命题的充要条件为a≤eq \f(π2－4,4)，而1<eq \f(π2－4,4)<2，则满足A选项、C选项的a均有a≤eq \f(π2－4,4)，a≤eq \f(π2－4,4)时a<1和a<eq \f(π2－4,4)都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.16．f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)＝maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，log2x＋3))，若m<－2，且∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，则m的最小值为________．答案　－5解析　y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2为减函数，y＝log2(x＋3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2＝log2(x＋3)．由题意得，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，0≤x<1，,log2x＋3，x≥1，))∴在[0，＋∞)上，g(x)min＝g(1)＝2，g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)＝－(x＋3)2＋6≤6.“∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立”等价于f(x)在[m，－2]上的函数值域是g(x)在[0，＋∞)上的值域的子集，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，令f(x)＝－x2－6x－3＝2，解得x＝－5或x＝－1，则m的最小值为－5.若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)