2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第二章 §2.1　函数的概念及其表示

§2.1　函数的概念及其表示考试要求　1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x＜0))的定义域为R.(　√　)教材改编题1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)答案　C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))等于(　　)A．－1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \f(1,2)答案　D解析　∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq \f(1,2)0，,x＋1≠1，,4－x2≥0，))解得－10，,x2＋6x≥0，))解得x>2或x≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数eq \f(fx－1,x＋1)的定义域为(　　)A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(－∞，－1)∪(－1,1)答案　D解析　令1－2x>0，即2x1)．(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.答案　x2＋2x＋1解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.答案　eq \f(2,3)x解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，①∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②由①②得f(x)＝eq \f(2,3)x.教师备选已知f(x)满足f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝________.答案　－eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x)解析　∵f(x)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，①以eq \f(1,x)代替①中的x，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))－2f(x)＝eq \f(2,x)，②①＋②×2得－3f(x)＝2x＋eq \f(4,x)，∴f(x)＝－eq \f(2x,3)－eq \f(4,3x).思维升华　函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝________.答案　－x2＋2x，x∈[0,2]解析　令t＝1－sin x，∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.答案　x2－2，x∈[2，＋∞)解析　∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．题型三　分段函数例3　(1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))的值为(　　)A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．1答案　D解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋1＝cos eq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝cos eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1.(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3，x>0，,x2－4，x≤0，))若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．答案　1或－3　[－eq \r(5)，－1]解析　①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.由－3≤f(a)≤1，解得－eq \r(5)≤a≤－1.教师备选1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x