2022春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷（含详解）

2022年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高二数学试卷

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小瓶给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数的定义域为R，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 4

2. 已知随机变量，则的值为（    ）

A. 0.24 B. 0.26 C. 0.68 D. 0.76

3. 《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影，一天内这两部影片各只放映一次，《长津湖》必须在白天放映，《我和我的父辈》只能在晚上放映，则一天内放映这两部电影不同的安排方式共有（    ）

A. 10种 B. 16种 C. 24种 D. 36种

4. 甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温泉4个温泉中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的温泉不同，事件B：甲和乙至少一人选择三江森林温泉，则条件概率（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（    ）

A. 165 B. 120 C. 220 D. 96

7. 已知，其中为展开式中项的系数，．给出下列命题：

①  ②  ③是的最大项

其中正确命题是个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（    ）

A. 所有可能的方法有种

B. 若工厂甲必须有同学去，则不同安排方法有61种

C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种

D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种

11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，也曾到过我市通城县进行试验，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数．则在处切线方程为_________．

14. 已知随机变量X的分布列为

则随机变量X的方差的值为_________．

15. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从6篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的4篇，则该生他能过关的概率为____________．

16. 某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和为4次的称为“神投小组”，获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为，若，在游戏中，甲乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行________轮游戏才行．

四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）求函数在处的导数；

（2）已知函数的导函数为，且，求．

18. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．

（1）求n的值；

（2）求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．

20. 如图所示，某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计）

（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为函数；

（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值．

22. “双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：

（1）估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

（2）在这调查的600人中，用分层抽样的方法从周末体育锻炼时间在内的学生中已经抽取了10人．现在，从这10人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望．

24. 某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王学，徐习四人，欲从此4人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好，张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同．

（1）记李好的得票数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）求最终仅李好一人获得最高票数的概率．

26 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，，求实数a的取值范围；

（3）设，证明：．