江苏省东台市第四联盟2021-2022学年十校联考最后数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．方程＝的解为(   )

A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5

2．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（  ）

A．80 B．被抽取的80名初三学生

C．被抽取的80名初三学生的体重 D．该校初三学生的体重

3．如图，AB是的直径，点C，D在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

4．根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m1．将78000000用科学记数法表示应为（　　）

A．780×105    B．78×106    C．7.8×107    D．0.78×108

5．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（    ）

A．正方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱体

6．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是(   )

A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)

7．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．如图是几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥

9．已知抛物线y=x2-2mx-4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）

A．（1，-5） B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）

10．在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（    ）

A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若一个圆锥的底面圆的周长是cm，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．

12．如图，为了测量铁塔AB高度，在离铁塔底部（点B）60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=________米．

13．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____．

14．已知式子有意义，则x的取值范围是_____

15．如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是________．

16．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为9m，那么这栋建筑物的高度为_____m．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）先化简，再求值：，其中x=1．

18．（8分）（1）观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；

（2）问题解决

如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；

（3）拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．

19．（8分）

20．（8分）先化简后求值：已知：x=﹣2，求的值．

21．（8分）如图，在中，，平分，交于点，点在上，经过两点，交于点，交于点.

求证：是的切线；若的半径是，是弧的中点，求阴影部分的面积（结果保留和根号）.

22．（10分）如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线l与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，P是圆上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交l于M、N两点．

（1）当∠A＝30°时，MN的长是　   ；

（2）求证：MC•CN是定值；

（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，请写出相应的最值，若不存在，请说明理由；

（4）以MN为直径的一系列圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置，若不是，请说明理由．

23．（12分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

本次接受随机抽样调查的中学生人数为_______，图①中m的值是_____　；求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．

24．（1）解方程：．

（2）解不等式组：

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

方程两边同乘（x-1）(x+3)，得

x+3-2(x-1)=0，

解得：x=5，

检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，

所以x=5是原方程的解，

故选C.

2、C

【解析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】

样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选C．

【点睛】

此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

3、B

【解析】

试题解析：连接AC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴

∴

故选B．

点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

4、C

【解析】
科学记数法记数时，主要是准确把握标准形式a×10n即可.

【详解】

解：78000000= 7.8×107.

故选C.

【点睛】

科学记数法的形式是a×10n，其中1≤｜a｜<10，n是整数，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.

5、D

【解析】
本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．

【详解】

根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．

故选D．

【点睛】

此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．

6、B

【解析】

试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．

试题解析：AC=2，

则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，

则OC′=3，

故C′的坐标是（3，0）．

故选B．

考点：坐标与图形变化-旋转．

7、B

【解析】
n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.

【详解】

设这个正多边形的边数是n，则
（n-2）•180°=900°，
解得：n=1．
则这个正多边形是正七边形．

所以，从一点引对角线的条数是：1-3=4.

故选B

【点睛】

本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.

8、C

【解析】

分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．

详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，

故该几何体是一个柱体，

又∵俯视图是一个三角形，

故该几何体是一个三棱柱，

故选C．

点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．

9、C

【解析】

试题分析：=，∴点M（m，﹣m2﹣1），∴点M′（﹣m，m2+1），∴m2+2m2﹣1=m2+1．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．

考点：二次函数的性质．

10、D

【解析】
先利用勾股定理计算出OP=1，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．

【详解】

∵点P的坐标为（3，4），∴OP1．

∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞1．

故选D．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、

【解析】
利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可

【详解】

∵圆锥的底面圆的周长是，

∴圆锥的侧面扇形的弧长为 cm，

，

解得：

故答案为．

【点睛】

此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积

12、20

【解析】
在Rt△ABC中,直接利用tan∠ACB=tan30°==即可.

【详解】

在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan30°==,BC=60，解得AB=20.

故答案为20.

【点睛】

本题考查的知识点是解三角形的实际应用，解题的关键是熟练的掌握解三角形的实际应用.

13、1

【解析】
解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，

∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，

∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算．

14、x≤1且x≠﹣1．

【解析】

根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x≤1且x≠﹣1．

故答案为x≤1且x≠﹣1．

15、π

【解析】
取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，根据弧长公式即可得轨迹长.

【详解】

解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，

∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，

∴，

∵为的中位线，

∴，

∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，

∴弧长，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质.解决动点问题的关键是在运动中，把握不变的等量关系(或函数关系)，通过固定的等量关系(或函数关系)，解决动点的轨迹或坐标问题.

16、1

【解析】

分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．

详解：设这栋建筑物的高度为xm，

由题意得，，

解得x=1，

即这栋建筑物的高度为1m．

故答案为1．

点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．

三、解答题（共8题，共72分）

17、

【解析】
这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值．

【详解】

解：原式=•﹣

=﹣

=﹣

=，

当x=1时，原式==．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.

18、（1）BC=BD+CE，（2）；（3）.

【解析】
（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;

（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；

（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出

的值，根据勾股定理即可求出BD的长.

【详解】

解：（1）观察猜想

结论： BC=BD+CE，理由是：

如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，

∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，

∴∠D=∠EAC，

∵∠B=∠C=90°，AD=AE，

∴△ADB≌△EAC，

∴BD=AC，EC=AB，

∴BC=AB+AC=BD+CE；

（2）问题解决

如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，

∴DE=AB=2，AE=BC=4，

Rt△BDE中，BE=6，

由勾股定理得：

（3）拓展延伸

如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，

同理得：△CED≌△AFD，

∴CE=AF，ED=DF，

设AF=x，DF=y，

则，解得：

∴BF=2+1=3，DF=3，

由勾股定理得： 

【点睛】

考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

19、﹣2＜x＜2．

【解析】
分别解不等式，进而得出不等式组的解集．

【详解】

解①得：x＜2

解②得：x＞﹣2．

故不等式组的解集为：﹣2＜x＜2．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键．

20、

【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【详解】

解：原式=1﹣•（÷）=1﹣••=1﹣=，

当x=﹣2时，

原式===．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．

21、（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得∠ADO=∠CAD，即可证明OD//AC，进而可得∠ODB=90°，即可得答案；（2）根据圆周角定理可得弧弧弧，即可证明∠BOD=60°，在中，利用∠BOD的正切值可求出BD的长，利用S阴影=S△BOD-S扇形DOE即可得答案.

【详解】

（1）连接

∵平分，

∴，

∵ ，

∴，

∴，

∴OD//AC，

∴，

∴

又是的半径，

∴是的切线

（2）由题意得

∵是弧的中点

∴弧弧

∵

∴弧弧

∴弧弧弧

∴

在中

∵

∴

.

【点睛】

本题考查的是切线的判定、圆周角定理及扇形面积，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都定义这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握相关定理及公式是解题关键.

22、（1）；（2）MC•NC＝5；（3）a+b的最小值为2；（4）以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．

【解析】
(1)由题意得AO＝OB＝2、OC＝3、AC＝5、BC＝1，根据MC＝ACtan∠A＝ 、CN＝可得答案；

(2)证△ACM∽△NCB得，由此即可求得答案；

(3)设MC＝a、NC＝b，由(2)知ab＝5，由P是圆上异于A、B的动点知a＞0，可得b＝(a＞0)，根据反比例函数的性质得a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，据此求解可得；

(4)设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，证△MDC∽△DNC得，即MC•NC＝DC2＝5，即DC＝，据此知以MN为直径的一系列圆经过定点D，此顶点D在直线AB上且CD的长为．

【详解】

(1)如图所示，根据题意知，AO＝OB＝2、OC＝3，

则AC＝OA+OC＝5，BC＝OC﹣OB＝1，

∵AC⊥直线l，

∴∠ACM＝∠ACN＝90°，

∴MC＝ACtan∠A＝5×＝，

∵∠ABP＝∠NBC，

∴∠BNC＝∠A＝30°，

∴CN＝，

则MN＝MC+CN＝+＝，

故答案为：；

(2)∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，

∴△ACM∽△NCB，

∴，

即MC•NC＝AC•BC＝5×1＝5；

(3)设MC＝a、NC＝b，

由(2)知ab＝5，

∵P是圆上异于A、B的动点，

∴a＞0，

∴b＝(a＞0)，

根据反比例函数的性质知，a+b不存在最大值，当a＝b时，a+b最小，

由a＝b得a＝，解之得a＝(负值舍去)，此时b＝，

此时a+b的最小值为2；

(4)如图，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，

∵MN为直径，

∴∠MDN＝90°，

则∠MDC+∠NDC＝90°，

∵∠DCM＝∠DCN＝90°，

∴∠MDC+∠DMC＝90°，

∴∠NDC＝∠DMC，

则△MDC∽△DNC，

∴，即MC•NC＝DC2，

由(2)知MC•NC＝5，

∴DC2＝5，

∴DC＝，

∴以MN为直径的一系列圆经过定点D，此定点D在直线AB上且CD的长为．

【点睛】

本题考查的是圆的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、反比例函数的性质等知识点．

23、（1）250、12；（2）平均数：1.38h;众数：1.5h;中位数：1.5h；（3）160000人；

【解析】
(1) 根据题意, 本次接受调查的学生总人数为各个金额人数之和, 用总概率减去其他金额的概率即可求得m值．

(2) 平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数; 众数是在一组数据中出现次数最多的数; 中位数是将一组数据按大小顺序排列, 处于最中间位置的一个数据, 或是最中间两个数据的平均数, 据此求解即可．

(3) 根据样本估计总体, 用“每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数” 的概率乘以全校总人数求解即可．

【详解】

（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%=250人，

m=100﹣（24+48+8+8）=12，

故答案为250、12；

（2）平均数为=1.38（h），

众数为1.5h，中位数为=1.5h；

（3）估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000×=160000人．

【点睛】

本题主要考查数据的收集、 处理以及统计图表.

24、（1）无解；（1）﹣1＜x≤1．

【解析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

【详解】

（1）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，

解得：x=1，

经检验x=1是增根，分式方程无解；

（1），

由①得：x＞﹣1，

由②得：x≤1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤1．

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．