初中苏科版5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式导学案

用待定系数法确定二次函数表达式

一、教学目的

1.   经历探索二次函数交点式的过程，体会方程与函数之间的联系；
2.   会根据不同的已知条件求二次函数的关系式，并掌握一般规律；

3.渗透数形结合的数学思想.

二、知识梳理

第一部分：

1.根据二次函数的图象和性质填表：

2.用十字相乘法分解因式：

①             ②            ③

3.若一元二次方程有两实数根，则抛物线与轴交点坐标是                   .

【合作探究】

一、探索归纳：

1.根据《学前准备》第3题的结果，改写下列二次函数：

  ①         ②        ③

2.求出上述抛物线与轴的交点坐标：

①         ②        ③

坐标：                                                            

3.你发现什么？

4.归纳：

  ⑴若二次函数与轴交点坐标是（）、（），则该函数还可以

表示为                            的形式；

⑵反之若二次函数是的形式，则该抛物线与轴的交点坐标是

                      ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为           式.

⑶二次函数的图象与轴有2个交点的前提条件是                    ，因此这也

是         式存在的前提条件.

练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.

⑴         ⑵       ⑶

与轴的交点坐标是：

与轴的交点坐标是：

第二部分：

1.二次函数的关系式可表示为三种形式             、             、             .

具体如下表：

 注意：交点式存在的前提条件是：                

2.已知一条抛物线的开口大小与相同但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物

线的关系式是                         .

3.已知一条抛物线是由平移得到，并且与轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），则该抛物线的关系式是                          .

4.已知一条抛物线与的形状相同，开口方向相同，对称轴相同，且与轴的交点坐标是（0,-3），则该抛物线的关系式是                          .

5.将抛物线先向左平移2个单位得到的抛物线是                   ，再向下平移3个单位得到的抛物线是                      .

6.将抛物线沿轴翻折后，              不变、              改变，

所得新抛物线是                          .

7.将抛物线沿轴翻折后，              不变、              改变，

所得新抛物线是                          .

8.解下列二元一次方程组：

  ⑴                ⑵

第三部分：

1.二次函数的图象如图所示，求的值.

一、典例精讲

第一部分：

例1.已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.

⑴求对称轴和顶点坐标.

⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图.

    ⑶求出该二次函数的关系式.

⑷若二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是           ；

  若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是           ；

若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是           .

归纳：若抛物线与轴的交点坐标是（）、（）则，对称轴是

                    ，顶点      坐标是             .

【拓展提升】

已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,1），（1,1），且函数的最值是4.

⑴求对称轴和顶点坐标.

⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图.

     ⑶求出该二次函数的关系式.

归纳：已知A、B是抛物线上一对对称点，且A点坐标是（）、

B点坐标是（）则，对称轴是               ，顶点坐标是            .

【课堂检测】

1. 已知一条抛物线的开口大小、方向与均相同，且与轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是                           .

2.已知一条抛物线与轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线，则另一个交点坐标是             .

3.已知一条抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另

一个交点坐标是                ，该抛物线的对称轴是                         .

4.二次函数与轴的交点坐标是           ，对称轴是           .

5.请写出一个二次函数，它与轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）：                  .

6.已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二

次函数的关系式.（用2种方法）

解法1：                               解法2：

【课外作业】

1.已知一条抛物线的开口大小、方向与均相同，且与轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是                              .

2.已知一条抛物线的形状与相同，但开口方向相反，且与轴的交点坐标是（1,0）、

（4,0），则该抛物线的关系式是                          .

3.已知一条抛物线与轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另

一个交点坐标是                ，该抛物线的对称轴是                         .

4.二次函数与轴的交点坐标是           ，对称轴是           .

5.已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛

物线开口向          ，当       时，随的增大而增大.

6.请写出一个开口向下、与轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：

                               .

7.已知二次函数的图象与轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线

，且函数的最值是4.

⑴求另一个交点的坐标.

⑵求出该二次函数的关系式.

第二部分：

例1.二次函数的图象如图所示，请将A、B、C、D点的坐标填在图中.

请用不同方法求出该函数的关系式.

⑴选择点     的坐标，用顶点式求关系式如下：

⑵选择点       的坐标，用         式求关系式如下：

⑶选择点       的坐标，用         式求关系式如下：

思考：如何验证这些不同的关系式表示同一个函数？

归纳：求二次函数关系式的一般步骤：

⑴根据已知条件确定                  的形式

  ①已知                   用一般式；

  ②已知                   用顶点式；

③已知                   用交点式；

⑵代入其他条件得到               ；

⑶解              .

【拓展提升】

如图所示，设二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交与

C点，若AC=8，BC=6,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.

【课堂练习】

1.抛物线的顶点坐标为（-2,3），且经过点（-1,7），求此抛物线的解析式.

2.已知二次函数的图象经过点（0,0）、（1，-3）、（2，-8），求这个二次函数的关系式.

3.已知抛物线的图象过点（0,0）、（12,0），最低点的纵坐标为-3，求该

抛物线的解析式.

【课后作业】

1.二次函数的顶点是（2，-1），该抛物线可设为                           .

2.二次函数与轴交与点（0，-10），则    =    .

3.抛物线与轴交与点（1,0）、（-3,0），则该抛物线可设为：                     .

 4.二次函数的图象经过点（0，2）、（1,1）、（3,5），求此抛物线的关系式.

5.已知二次函数的图象经过点A（-1,12）、B（2，-3）.

第三部分：

例1.抛物线的顶点为（-1，-8），它与轴的两个交点间的距离为4.求此抛物线的关系式.

例2.二次函数图象的对称轴是，与轴的交点纵坐标是-6，且经过顶点（2,10）.

求此二次函数的关系式.

【拓展提升】

二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交C点，A点坐标为（-3,0）、B点坐标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式.

【课堂检测】

1.抛物线与交与点A(-1,0)、B（-6,0），则线段AB=           .

2.二次函数的对称轴是直线，则=       .

3.函数经过(-2,0)、(3,0)两点，则这个函数的关系式是=   ，=   .

4.已知二次函数，当时，函数取得最大值10，且它的图象在轴

上截得的线段长为4，求的值.

5.抛物线与轴只有一个交点，坐标为（-2.，0）.求抛物线的解析式.

【课后作业】

1.已知二次函数当时，的最值是6，该抛物线可设为                        .

2.二次函数经过点（0，-3）、（1,0），则该函数关系式是                .

3.抛物线经过点（1,0）、（-3,0），则关系式是：                   .

4.抛物线在轴截得的线段长为4，且经过点（1，3），则该函数关系式是：                 

                  .

5.（江苏镇江）

已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.

⑴求C1的顶点坐标；

⑵将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；

⑶若的取值范围.

6.如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴

交于点.

⑴求该抛物线的解析式，并判断的形状；

⑵在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯

形，请直接写出点的坐标为             .

★⑶在此抛物线上是否存在点,使得以四

点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；

若不存在，说明理由.

课后总结