专题5—探究与新定义：江苏扬州中考2022年数学复习专辑

这是一份专题5—探究与新定义：江苏扬州中考2022年数学复习专辑，共11页。试卷主要包含了阅读感悟，定义等内容，欢迎下载使用。
1．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ________；
②△ABC面积的最大值为__________ ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=．
①线段PB长的最小值为 ________；
②若S△PCD=S△PAD，则线段PD长为________ ．
  2．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x-y=________，x+y=________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=________ 3．如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分别为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=________；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD），
  4．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为_____；
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 5．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形．
（1）请判断：含30°角的直角三角形______（填“是”或“不是”）准黄金三角形；
（2）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：△ABC是准黄金三角形；
（3）如图2，△ABC是准黄金三角形，AC=3，BC=，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长．
  6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长． 7．【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角．比如图1中，∠APC、∠BPD是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？

【问题解决】小明想到了将∠APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角．解：连接BC，OA，OC，OB，OD．
如图2，在△PBC中，∠APC=∠PBC+∠PCB
∵∠PBC=∠AOC，∠PCB=∠BOD
∴∠APC=∠AOC+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）
即：∠APC的度数=的度数+的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若的度数是60°，的度数是80°，则∠APD的度数是___ ．
【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？
（2）如图3，点P是⊙O外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与⊙O相交于点B、点D，试探索∠APC的度数与、度数之间的关系，并说明理由．
【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题．
（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（-，1）在⊙O上，点B、点C是线段OM上的两个动点，且AB=AC，延长AB、AC分别与⊙O相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究∠F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数． 8．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．
（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，-5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（-2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是_____ ；
②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
  9．我们规定：三角形其中一边与该边上的高之比叫做这个三角形该边的ar值．例如，如图1，在△ABC中，BC=5，BC上的高AD=4，则△ABC边BC的ar值为，记作：ar[△ABC，BC]=．
（1）等腰直角三角形底边的ar值=______，等边三角形任意一边的ar值=___________；
（2）如图2，在△DEF中，∠F=135°，ar[△DEF，DF]=1，求ar[△DEF，DE]．
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点M在矩形ABCD内，且ar[△MAB，AB]=4．若以M为圆心，半径为1的圆与矩形ABCD的对角线AC有公共点，设点M到AD的距离为d，直接写出d的取值范围 ____．
  10．阅读感悟：
“数形结合”是一种重要的数学思想方法，同一个问题有“数”、“形”两方面的特性，解决数学问题，有的从“数”入手简单，有的从“形”入手简单，因此，可能“数”→“形”或“形”→“数”，有的问题需要经过几次转化．这对于初、高中数学的解题都很有效，应用广泛．
解决问题：
（1）如图1，▱ABCD，AB=15，AD=14，AC=13，求tanB；
（2）已知函数y1=x2，y2=ax-1，当x＜时，y1＞y2，则整数a可取的最大值与最小值的和是_______ ；
（3）如图2，矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点E、F分别是AD、BC边上的动点（与矩形顶点不重合），连接BE、CE，过F作FG∥CE交BE于G，作FH∥BE交CE于H．当△EFG面积最大时，求的值．
  11．将一次函数y=x+1等号右侧的部分乘以x2，得到一个新的函数y=x2（x+1），即y=x3+x2，小明根据学习函数的经验，对这个新的函数的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x3+x2的自变量x的取值范围是 _____；
（2）下表是y与x的几组对应值，则m的值为 _________；x…-2-1.5-1-0.500.511.5…y…-4m00.12500.37525.625…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）进一步探究函数图象发现：
①如果点A（a2+1，y1）、B（a2+2，y2）在该函数的图象，则y1、y2的大小关系是 _____．
②方程x3+x2=0.1的实数根的个数为 ______  12．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．
（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 13．我们定义：点P在一次函数y=kx+b（k≠0）图象上，点Q在反比例函数y=（k≠0）图象上，若存在点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y=kx2+bx+k为一次函数y=kx+b与反比例函数y=的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y=x2+2x+1是一次函数y=x+2与反比例函数y=的“衍生函数”，则“基点”P的坐标为 ________，“靶点”Q的坐标为_______ ．
（2）若二次函数y=-4x2+bx-4是一次函数y=-4x+b和反比例函数y=的“衍生函数”，且“基点”的P横坐标为2，求b的值；
（3）若二次函数y=kx2+（k2+1）x+k是一次函数y=kx+k2+1和反比例函数y=的“衍生函数”，其中k≠±1，试证明一定有两个不同的“基点”，且有一个“基点”的纵坐标为1． 14．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
  15．定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长． 16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩积”，
给出如下定义：“横底”a即任意两点横坐标差的最大值；“纵高”h即任意两点纵坐标差的最大值；则“矩积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，-2），B（2，2），（-1，-3），则“横底”a=3，“纵高”h=5，“矩积”S=ah=15．已知点D（-2，3），E（1，-1）．
（1）若点F在x轴上；
①当D，E，F三点的“矩积”为24，则点F的坐标为 ____；
②直接写出D，E，F三点的“矩积”的最小值为________ ；
（2）若点F在直线y=mx+4上，使得D，E，F三点的“矩积”取到最小值，求m的取值范围． 17．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；
（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4，BC=6，试求边AB长的最小值．