2022年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学一模试卷（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学一模试卷

一．选择题（本题共 10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列几何体是由个棱长为的小正方体搭成的，其中主视图面积等于的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

7. 某电动自行车厂三月份的产量为辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知的半径为，，则

A.
B.
C.
D.

9. 将二次函数的图象向上平移个单位后得到的函数解析式为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，中，，，下列式子错误的是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共 10小题，共30分）

11. 把用科学记数法表示为______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 计算______．
14. 把多项式分解因式的结果为______．
15. 不等式组的解集为______ ．
16. 一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的面积是______．
17. 同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．
18. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落到边上，，则______
    
    
     

19. 在中，为高，，，，则______．
20. 在中，点为边的中点，于点，为等边三角形，若，，则的长为______．
     

三．解答题（本题共7小题，共60分）

21. 先化简，再求值．
    ，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段、的端点均在小正方形的顶点上，请按照要求画出下列图形：
    画出，使得，且的面积为；
    画出以为一腰的等腰，且的面积为；
    连接，直接写出线段的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，某中学对九年级部分学生就一学期以来线上教学方式的支持程度进行调查，如图为根据统计情况绘制的不完整统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
    求本次被调查的九年级学生的人数；
    通过计算补全条形统计图；
    该校九年级学生共有人，请你估计人该校九年级有多少名学生支持线上教学方式含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生？

24. 如图，已知为中线，为上一点，连接并延长至点，使，连接、，．
    求证：四边形是平行四边形．
    设四边形的面积为，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中四个面积等于的三角形．
    
    
    
    
    
    
     
25. 某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品件、乙种纪念品件，需元，若购进甲种纪念品件、乙种纪念品件，需元，
    甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
    商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用元，且购进两种纪念品的总资金不超过元，则最多购进甲种纪念品多少件？
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知为直径，是内接三角形，．
    
    如图，求的度数；
    如图，交于点，作交于点，连接并延长交于点，若平分，求证：；
    如图，在的条件下，是外一点是的切线，，若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点左右，交轴于点，且．
    求抛物线解析式；
    点为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式；
    在的条件下，点为线段上一点，连接、，当，且的面积为时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可求解．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：主视图面积等于，不符合题意；
B.主视图面积等于，符合题意；
C.主视图面积等于，不符合题意；
D.主视图面积等于，不符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，得出面积解答即可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小是解答此题的关键．
根据当时，随的增大而减小得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】
解：反比例函数中，当时，随的增大而增大，
，
解得．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设四、五月份的月平均增长率为，根据题意得：
，
解得，不合题意，舍去，
则该厂四、五月份的月平均增长率为．
故选：．
设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是，五月份的产量是，据此列方程解答即可．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
 

8.【答案】
 

【解析】解：过作于，

，，
，
，
由勾股定理得：，
，过圆心，
，
，
故选：．
过作于，求出，求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，再求出答案即可．
本题考查了垂径定理，直角三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
 

9.【答案】
 

【解析】解：将二次函数的图象向上平移个单位后得到的函数解析式为，即：．
故选：．
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，∽，∽，且四边形是平行四边形．
，，，．
．
所以ABD正确，C错误．
故选：．
利用，，得出∽，∽，∽以及平行四边形，进而得出比例式，再对每一项进行判断即可．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题关键是灵活运用定理列出比例式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案是：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，然后合并．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

15.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
故．
故答案为：
直接代入，进行计算即可．
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积计算公式，难度一般．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了列表法与树状图法求概率．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为，
恰好均为正面向上的概率是，
故答案为：．  

18.【答案】
 

【解析】解：由旋转的性质可知：，．
，
．
．
．
故答案为：．
依据旋转的性质可求得，的度数，依据等边对等角的性质可得到，于是可得到的度数．
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得和的度数是解题的关键．
 

19.【答案】或
 

【解析】解：如图，在上截取，
，
，
，
，
，
，
；
如图，，
，
，
故答案为：或．
如图，在上截取，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；如图，根据三角形的外角的性质得到，得到，求得．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：过点作，交于点，如图，

，，
．
点为边的中点，
是的中位线．
，．
，
．
，
．
为等边三角形，
，．
．
过点作于点，
．
．
，，
．
．
．
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
过点作，利用三角形的中位线定理求得线段，；过点作于点，利用所对的直角边等于斜边的一半和平行线分线段成比例定理求得线段的长度，利用直角三角形的边角关系即可求得结论．
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，过点作，利用三角形的中位线定理解答是解题的关键．
 

21.【答案】解：


，


，
当时，原式．
 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，．

 

【解析】根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
作一个底为，高为的等腰三角形即可；
利用勾股定理求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：本次被调查的九年级学生的人数为人．
非常喜欢的学生人数为：人，
故补全的条形统计图如下：

该校九年级学生支持线上教学方式的人数约为人．
 

【解析】直接用喜欢线上教学的人数除以喜欢线上教学所占的比例即可；
先求出非常喜欢的学生人数，再补全条形统计图；
用九年级总人数乘以支持线上教学方式的人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
为中线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形的面积为，面积等于的三角形有：，，，，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
为中线，
，
；
≌，
，
，
，

综上所述：面积等于的三角形有：，，，．
 

【解析】证明≌，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；
根据四边形是平行四边形，可得，根据为中线，可得，再结合可得，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到≌．
 

25.【答案】解：设甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
设购进甲种纪念品件，花了元，则购进乙种纪念品件，
乙种纪念品花了元，
根据题意得：
，
解得：，
为整数，
最大为，
当时，乙种纪念品的件数为：，是整数，
最大为，
答：最多购进甲种纪念品件．
 

【解析】设甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“若购进甲种纪念品件、乙种纪念品件，需元，若购进甲种纪念品件、乙种纪念品件，需元”，列出关于和的二元一次方程组，解之即可，
设购进甲种纪念品件，花了元，则购进乙种纪念品件，乙种纪念品花了元，根据“两种纪念品的总资金不超过元”，列出关于的一元一次不等式，解之，取最大值，再代入，如果为整数，即为所求答案．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键：正确找出等量关系，列出二元一次方程组，正确找出不等关系，列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：连接，，过作于，

是弦，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：连接，，

由知，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的外角，是的外角，
，
；
解：延长交于，

为切线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，，
，
，
是的外角，
，
∽，
，
，
整理得，
解得或，
经检验都是方程的根，但不合题意舍去，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
连接，，过点作于，
，，
∽，
，
即，
，
，
由知，，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
∽，
，
即，
整理得，
解得或，
，
，
．
 

【解析】连接，，过作于，利用，得，可得答案；
连接，，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，则有，再利用三角形外角的性质即可证明结论；
延长交于，根据两组对边分别平行可知四边形是平行四边形，设，，证明∽，得，解得，然后利用勾股定理求出的长，根据∽，表示出、的长，由≌，得，，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，涉及的知识点非常多，计算出是解题问题的关键，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：对，
当时，，
或，
点，，
，
，
，
点的坐标为，
将点代入解析式得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
如图，过点作轴于点，则，
是和的公共角，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
与的关系式为
，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
如图，记直线与轴的交点为点，过点作轴于点，则，
∽，
，
设点的坐标，，则，，
，
，，
过点作于点，则，
，
∽，
，即，
，，
，，
等腰直角三角形，
，
又，
，
化简得，，
又，
解得：或舍，
点的坐标为．
 

【解析】先求得点的坐标，得到，然后求得得到点的坐标，代入解析式求得的值，即可得到抛物线的解析式；
过点作轴于点，得到，的长，然后证明∽，得到的长，进而得到的长，然后求得的面积，即可得到与的关系式；
先由的面积求得的值，得到点的坐标，记直线与轴的交点为点，进而求得直线的解析式为，设点的坐标，，过点作轴于点，则，，∽，得到的长，过点作于点，然后得到等腰直角三角形，∽，进而得到、的长，然后由列出方程求得的值，即可得到点的坐标．
本题考查了一次函数和二次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质求得点的坐标，是函数与几何的综合题．