河北省省级联测2022届高三上学期数学第五次联考试卷

这是一份河北省省级联测2022届高三上学期数学第五次联考试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 河北省省级联测2022届高三上学期数学第五次联考试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（　　）A． B． C． D．2．已知，，，，则p是q的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数在点处的切线方程是，则（　　）A．2 B．3 C．4 D．54．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是，答对第3题的概率是，则小明答完这3道题的得分期望为（　　）A． B． C． D．5．数列1，，，，，，，，，，…的第2021项为（　　）A． B． C． D．6．阿基米德（公元前287年——公元前212年），百科式科学家、数学家，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”阿基米德在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现以过该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（　　）A． B． C．π D．7．已知：①若，，则；②若，，，，则；③若，，且，则的最小值为.上面不等式中正确的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．38．已知函数为函数的导函数，满足，，，，则下面大小关系正确的是（　　）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（　　）A．0 B．1 C．2 D．310．将函数的图象变换为函数的图象，则所做的变换可以是（　　）A．向左平移 B．向右平移C．向右平移 D．向右平移11．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（　　）A． B． C．2 D．312．已知点O是的外心，，，，则下列正确的是（　　）A．若，则的外接圆面积为B．若，则C．若，则D．当，时，三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，，若两个向量共线，则　     　.14．过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程为　          　.15．已知四边形中，，，三角形沿折起，使得二面角为120°，则此空间四边形外接球的表面积为　     　.16．若多项式，则　     　；　     　.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18．某教育集团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：
 男性女性薪资1016职位104参考公式：，其中.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）是否有95%的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；（2）应聘需要通过两轮测试，才能成功应聘.第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过.应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为，在第二轮中每道试题答对的概率为，求小张通过应聘的概率.19．已知在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，求的取值范围.20．在四棱锥中，底面为等腰梯形，点E为与的交点，其中，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．已知椭圆P焦点分别是和，直线与椭圆P相交所得的弦长为1.（1）求椭圆P的标准方程；（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q，在椭圆Q上存在A，B，C三点，且坐标原点为的重心，求的面积.22．设函数在处的切线经过点.（1）求的值，并且讨论函数的单调区间；（2）当时，时，不等式恒成立，求的取值范围.
答案解析部分1．【答案】C【考点】补集及其运算【解析】【解答】因为，且，所以。故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，进而求出集合A，再利用补集的运算法则，进而求出集合A在U中的补集。2．【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】根据题意，若，则，必要性成立，若，如，，不能得到，充分性不成立，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而判断出p是q的必要不充分条件。3．【答案】B【考点】函数的值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为在直线上，所以，，所以。故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率的方法，从而求出的值，再结合代入法结合切线的方程得出函数值，即f(1)的值，从而求出的值。4．【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】设小明的得分为，则的可能取值为0、5、10、15，所以，，，；所以小明得分的分布列为：051015所以小明答完这3道题的得分期望为。故答案为：C.
【分析】设小明的得分为，再结合已知条件，得出随机变量的可能取值，再利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而求出随机变量的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出小明答完这3道题的得分期望。5．【答案】B【考点】归纳推理【解析】【解答】观察可知数列构成为，1个1,3个，5个，…，个，…注意到，而，。故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法，进而得出数列第2021 项的值。6．【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积【解析】【解答】根据题意可得，该旋转体为一个圆柱去掉一个内切球,所以该旋转体的体积。故答案为：B
【分析】根据题意可得该旋转体为一个圆柱去掉一个内切球,再利用圆柱的体积和球的体积，再结合作差法得出该旋转体的体积。7．【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用；二维形式的柯西不等式【解析】【解答】①利用基本不等式可得，当且仅当时取等号，①正确；②，当且仅当时取等号，②不正确；③，则，当且仅当时取等号，所以，③正确.故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合二维柯西不等式和均值不等式求最值的方法，从而找出不等式正确的个数。8．【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】根据题意，，变换可得：，分析可得，，，，，，，所以函数在上单调递增，所以，即。故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合构造法得出函数，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而比较出a,b,c的大小。9．【答案】C,D【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】因为复数在第二象限，所以故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的运算法则和复数的运算法则，得出复数 ，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点在第二象限，从而得出实数a的取值范围，进而求出实数a可能的值。10．【答案】A,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】由诱导公式,函数可变换为，又因为，所以可以向左平移，也可以向右平移。故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合诱导公式和三角型函数的图像变换，进而找出正确的选项。11．【答案】B,C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】根据题意，抛物线的焦点为，可得直线过抛物线的焦点，因为所以，即，又由抛物线焦点弦的性质，可得，联立方程组，可得或，又因为，所以或。故答案为：BC.
【分析】根据抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出抛物线的焦点为，再利用直线过抛物线的焦点，得出的值，再结合抛物线的定义得出的值，又由抛物线焦点弦的性质，可得的值，联立方程组，可得的值，再利用，从而得出可以的取值。
 12．【答案】B,D【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；余弦定理【解析】【解答】根据题意：因为点O是的外心，所以，，对A，若，则，由余弦定理可得：，所以，所以的外接圆的半径为，所以该外接圆的面积为，A不符合题意；对B，当时，根据余弦定理可得，，即，由，所以即解得，，所以，B符合题意；对C，当时，由B的分析知，，，则，C不符合题意；对D，当，时，由B的分析知，，所以，D符合题意.故答案为：BD.
【分析】根据题意，再利用点O是的外心，再结合数量积的定义得出和的值。再利用结合同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，由余弦定理可得BC的长，再利用正弦定理的性质得出三角形的外接圆的半径的长，再利用圆的面积公式得出该外接圆的面积；当时，结合余弦定理可得的值，进而求出的值，再由结合数量积的定义，得出x,y的值，进而得出的值；当时结合选项B中x,y的值，进而得出的值；当，时，得出结合选项B可知的值，再利用数量积的运算法则，再结合数量积求向量的模的公式，从而得出的值，进而找出正确的选项。13．【答案】【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】由题意，向量，，因为与共线，可得，解得。故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，从而得出实数m的值。14．【答案】【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【解析】【解答】根据题意，双曲线渐近线方程为，所以要求的双曲线方程为，又因为双曲线过点，代入方程可得，因此双曲线方程为。故答案为:。
【分析】利用已知条件结合双曲线渐近线求解方法，得出双曲线的渐近线，再利用所求双曲线的渐近线与双曲线的渐近线相同，从而得出所求的双曲线渐近线，再利用双曲线过点结合代入法，从而得出过点且渐近线与双曲线的渐近线相同的双曲线方程。15．【答案】52π【考点】球的体积和表面积；二面角的平面角及求法【解析】【解答】如图所示，三角形的外心为的中点M，等边三角形的外心为N，分别过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，因为，为的中点，所以，根据重心的性质，可得，因为二面角为，，可得，所以，又因为，所以，所以外接球的表面积为。故答案为：52π。
【分析】利用三角形的外心为的中点M，等边三角形的外心为N，分别过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，再利用，为的中点，得出CM的长，再根据重心的性质，可得MN的长，再利用二面角为，，可得的值，进而得出ON的长，再利用结合勾股定理的长外接球的半径长，再结合球的表面积公式，进而得出外接球的表面积。16．【答案】16；30【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意令，，令，，两式相加得，将已知转化为，所以，令，得，所以。故答案为：16，30。
【分析】利用已知条件结合赋值法和相加法，得出的值，将已知转化为，再结合二项式定理得出的展开式中的通项公式结合求和法得出的值，再利用赋值法得出的值，进而得出的值。17．【答案】（1）解：根据题意，，当时，，两式作差可得：a，可得数列为等比数列，令时，，所以的通项公式为.因为，所以为等差数列.因为，，所以公差.故.（2）解：由（1）可知，，.作差可得：，所以，即所以.【考点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和；数列递推式【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 的关系式，再结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义得出数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用 结合递推公式变形和等差数列的通项公式，进而得出数列 为等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由数列，的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减的方法得出数列的前项和。18．【答案】（1）解：补充的2×2列联表如下表：
         男性女性总计薪资101626职位10414总计202040，∴有95%以上的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”（2）解：根据题意，小张第一轮通过的概率为，所以小张通过应聘的概率为.【考点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；二项分布与n次独立重复试验的模型；概率的应用【解析】【分析】（1）利用已知条件结合列联表中的数据，再结合独立性检验的方法判断出有95%以上的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关” 。
（2）利用已知条件结合二项分布求改了公式和互斥事件求概率公式，得出小张第一轮通过的概率，再利用独立事件乘法求概率公式得出小张通过应聘的概率。19．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得：，因为，所以，所以，所以，，因为，，所以可得：，所以.（2）解：由正弦定理知：，所以，，所以，因为，故，所以，，所以，故的取值范围为.【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角B的取值范围，进而结合辅助角公式得出 ， 再利用锐角三角形中角A的取值范围结合构造法得出 的取值范围，进而得出角A的值。
（2） 由正弦定理知，，再利用三角形内角和为180度的性质和两角差的正弦公式以及辅助角公式，得出，再利用锐角三角形中角B和角C的取值范围，从而得出角B的取值范围，再结合正弦型函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出的取值范围。20．【答案】（1）证明：根据题意，因为，，，可得，，所以，，，所以，，又，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，取的中点，连接，，所以，，可得：平面，所以，又，所以平面，，因此，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，根据分析，平面的法向量可以为，，，所以，令，可得，因为二面角为锐二面角，所以，二面角的余弦值.【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1） 根据题意，再利用，，，可得，，再结合勾股定理得出，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2）利用 ，，取的中点，连接，，再利用等腰三角形三线合一，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，可得直线平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和二面角为锐二面角， 从而得出二面角的余弦值。21．【答案】（1）解：根据题意，，，又因为，解得：，，所以椭圆的标准方程为.（2）解：由题意得椭圆Q的方程为，当直线斜率存在时，设方程为：，，，，联立可得：，则因为坐标原点为的重心，所以由，得将代入椭圆方程可得：，化简得：，又O到直线的距离为：，则，因为原点O为的重心，所以，当直线斜率不存在时，根据坐标关系得，直线AB的方程为，此时，所以.综上：的面积为.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1） 利用椭圆P焦点分别是和，得出c的值，再利用直线与椭圆P相交所得的弦长为1得出a,b的关系式，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） 由题意得出椭圆Q的标准方程，再利用分类讨论的方法，当直线斜率存在时，设方程为：，，，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出再利用坐标原点为的重心结合重心的坐标公式得出再利用韦达定理和代入法得出将代入椭圆方程，化简得：，再利用点到直线的距离公式得出点O到直线的距离，再结合三角形的面积公式得出的值，再利用原点O为的重心结合三角形的面积关系式，得出的值；当直线斜率不存在时，根据坐标关系得出直线AB的方程为，进而得出此时点A的坐标，再结合三角形的面积关系式得出三角形的面积。22．【答案】（1）解：，，， 又，切线方程为，又切线经过点，，，故，.①、若，则当时，，；当时，，.所以在上单调递减，在上单调递增.②、若，则当时，，；当时，，.所以在上单调区间递减，在上单调区间递增.综上所述：的单调递减为，单调递增.（2）解：当时，, ,,,,在上恒成立.设，，且.①、当时，,，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，而，所以对时，.符合题意②、当时，若x满足，即时，，而，因此时，,不符合题意.综上:的取值范围为.【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线方程为，再利用切线经过点结合代入法得出t的值，进而求出函数的解析式，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2） 当时，得出函数的解析式为,再结合代入法和已知条件得出在上恒成立，设， ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，再利用已知条件得出实数b的取值范围。