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    2022年福建省永泰县中考联考数学试题含解析

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    2022年福建省永泰县中考联考数学试题含解析

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    这是一份2022年福建省永泰县中考联考数学试题含解析,共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁,如图是测量一物体体积的过程,正比例函数y=等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022中考数学模拟试卷
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
    2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
    3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
    4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1.如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是(  )

    A. B. C. D.
    2.对于一组统计数据:1,6,2,3,3,下列说法错误的是( )
    A.平均数是3 B.中位数是3 C.众数是3 D.方差是2.5
    3.如图,圆弧形拱桥的跨径米,拱高米,则拱桥的半径为( )米

    A. B. C. D.
    4.下列计算正确的是( )
    A.a3•a3=a9 B.(a+b)2=a2+b2 C.a2÷a2=0 D.(a2)3=a6
    5.□ABCD中,E、F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
    A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF
    6.在实数﹣3.5、、0、﹣4中,最小的数是(  )
    A.﹣3.5 B. C.0 D.﹣4
    7.如图,小桥用黑白棋子组成的一组图案,第1个图案由1个黑子组成,第2个图案由1个黑子和6个白子组成,第3个图案由13个黑子和6个白子组成,按照这样的规律排列下去,则第8个图案中共有(   )和黑子.

    A.37 B.42 C.73 D.121
    8.如图是测量一物体体积的过程:
    步骤一:将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中;
    步骤二:将三个相同的玻璃球放入水中,结果水没有满;
    步骤三:再将一个同样的玻璃球放入水中,结果水满溢出.

    根据以上过程,推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内?(1 mL=1 cm3)(  ).
    A.10 cm3以上,20 cm3以下 B.20 cm3以上,30 cm3以下
    C.30 cm3以上,40 cm3以下 D.40 cm3以上,50 cm3以下
    9.正比例函数y=(k+1)x,若y随x增大而减小,则k的取值范围是(  )
    A.k>1 B.k<1 C.k>﹣1 D.k<﹣1
    10.对于代数式ax2+bx+c(a≠0),下列说法正确的是( )
    ①如果存在两个实数p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,则a+bx+c=a(x-p)(x-q)
    ②存在三个实数m≠n≠s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c
    ③如果ac<0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c
    ④如果ac>0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c
    A.③ B.①③ C.②④ D.①③④
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    11.如图,直线经过、两点,则不等式的解集为_______.

    12.如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A、B、C、D,得到四边形ABCD,若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为_____.

    13.一次函数y=(k﹣3)x﹣k+2的图象经过第一、三、四象限.则k的取值范围是_____.
    14.如图,在△ABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的中线,AB=AC=5,cos∠C=,那么GE=_______.

    15.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为_____.

    16.如图,⊙O的半径为2,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上一点,过点P作⊙O的切线,切点为C.若PC=2,则BC的长为______.

    三、解答题(共8题,共72分)
    17.(8分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.
    (1)实践操作:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
    ①作∠ABC的角平分线交AC于点D.
    ②作线段BD的垂直平分线,交AB于点E,交BC于点F,连接DE、DF.
    (2)推理计算:四边形BFDE的面积为   .

    18.(8分)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
    (1)求证:∠ACD=∠B;
    (2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F,求∠CEF的度数.

    19.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F为AD上两点,AE=EF=FD,连接BE、CF并延长,交于点G, GB=GC.
    (1)求证:四边形ABCD是矩形;
    (1)若△GEF的面积为1.
    ①求四边形BCFE的面积;
    ②四边形ABCD的面积为   .

    20.(8分)某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表:
    x/元

    15
    20
    25

    y/件

    25
    20
    15

    已知日销售量y是销售价x的一次函数.求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的函数表达式;当每件产品的销售价定为35元时,此时每日的销售利润是多少元?
    21.(8分)已知关于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=1.若该方程有一根为2,求a的值及方程的另一根;当a为何值时,方程的根仅有唯一的值?求出此时a的值及方程的根.
    22.(10分)在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
    如图1,当t=3时,求DF的长.如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值.连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,求相应的t的值.
    23.(12分)如图,在正方形中,点是对角线上一个动点(不与点重合),连接过点作,交直线于点.作交直线于点,连接.

    (1)由题意易知,,观察图,请猜想另外两组全等的三角形 ; ;
    (2)求证:四边形是平行四边形;
    (3)已知,的面积是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
    24.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.
    求证:(1)△ABE≌△CDF;四边形BFDE是平行四边形.



    参考答案

    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1、D
    【解析】试题分析:俯视图是从上面看到的图形.
    从上面看,左边和中间都是2个正方形,右上角是1个正方形,
    故选D.
    考点:简单组合体的三视图
    2、D
    【解析】
    根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得.
    【详解】
    解:A、平均数为=3,正确;
    B、重新排列为1、2、3、3、6,则中位数为3,正确;
    C、众数为3,正确;
    D、方差为×[(1-3)2+(6-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2]=2.8,错误;
    故选:D.
    【点睛】
    本题考查了众数、平均数、中位数、方差.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
    3、A
    【解析】
    试题分析:根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD所在的直线上,设圆心是O.连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解.得AD=6设圆的半径是r, 根据勾股定理, 得r2=36+(r﹣4)2,解得r=6.5

    考点:垂径定理的应用.
    4、D.
    【解析】
    试题分析:A、原式=a6,不符合题意;B、原式=a2+2ab+b2,不符合题意;
    C、原式=1,不符合题意;D、原式=a6,符合题意,
    故选D
    考点:整式的混合运算
    5、B
    【解析】
    【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
    【详解】A、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
    ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意;

    B、如图所示,AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形,故符合题意;

    C、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
    ∵AF//CE,∴∠FAO=∠ECO,
    又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE,
    ∴AF CE,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意;

    D、如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD,
    ∴∠ABE=∠CDF,
    又∵∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO,
    ∴AE//CF,
    ∴AE CF,∴四边形AECF是平行四边形,故不符合题意,
    故选B.

    【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定,熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
    6、D
    【解析】
    根据任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可
    【详解】
    在实数﹣3.5、、0、﹣4中,最小的数是﹣4,故选D.
    【点睛】
    掌握实数比较大小的法则
    7、C
    【解析】
    解:第1、2图案中黑子有1个,第3、4图案中黑子有1+2×6=13个,第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个,第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个.故选C.
    点睛:本题考查了规律型:图形的变化类:通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
    8、C
    【解析】
    分析:本题可设玻璃球的体积为x,再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可.
    详解:设玻璃球的体积为x,则有
    解得30<x<1.
    故一颗玻璃球的体积在30cm3以上,1cm3以下.
    故选C.
    点睛:此题考查一元一次不等式组的运用,解此类题目常常要根据题意列出不等式组,再化简计算得出x的取值范围.
    9、D
    【解析】
    根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1<0,然后解不等式即可.
    【详解】
    解:∵正比例函数 y=(k+1)x中,y的值随自变量x的值增大而减小,
    ∴k+1<0,
    解得,k<-1;
    故选D.
    【点睛】
    本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系.解答本题注意理解:直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系.k>0时,直线必经过一、三象限,y随x的增大而增大;k<0时,直线必经过二、四象限,y随x的增大而减小.
    10、A
    【解析】

    (1)如果存在两个实数p≠q,使得ap2+bp+c=aq2+bq+c,则说明在中,当x=p和x=q时的y值相等,但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标,故①中结论不一定成立;
    (2)若am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c,则说明在中当x=m、n、s时,对应的y值相等,因此m、n、s中至少有两个数是相等的,故②错误;
    (3)如果ac<0,则b2-4ac>0,则的图象和x轴必有两个不同的交点,所以此时一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c,故③在结论正确;
    (4)如果ac>0,则b2-4ac的值的正负无法确定,此时的图象与x轴的交点情况无法确定,所以④中结论不一定成立.
    综上所述,四种说法中正确的是③.
    故选A.

    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    11、-1<X<2
    【解析】

    经过点A,
    ∴不等式x>kx+b>-2的解集为.
    12、10πcm1.
    【解析】
    根据已知条件得到四边形ABCD是矩形,求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=1S扇形AOD,根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°,由圆周角定理得到∠AOD=71°,于是得到结论.
    【详解】
    解:∵AC与BD是⊙O的两条直径,
    ∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°,
    ∴四边形ABCD是矩形,
    ∴S△ABO=S△CDO =S△AOD=S△BOD,
    ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=1S扇形AOD,
    ∵OA=OB,
    ∴∠BAC=∠ABO=36°,
    ∴∠AOD=71°,
    ∴图中阴影部分的面积=1×=10π,
    故答案为10πcm1.
    点睛:本题考查了扇形的面积,矩形的判定和性质,圆周角定理的推论,三角形外角的性质,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
    13、k>3
    【解析】
    分析:根据函数图象所经过的象限列出不等式组通过解该不等式组可以求得k的取值范围.
    详解:∵一次函教y=(k−3)x−k+2的图象经过第一、三、四象限,

    解得,k>3.
    故答案是:k>3.
    点睛:此题主要考查了一次函数图象,一次函数的图象有四种情况:
    ①当时,函数的图象经过第一、二、三象限;
    ②当时,函数的图象经过第一、三、四象限;
    ③当时,函数的图象经过第一、二、四象限;
    ④当时,函数的图象经过第二、三、四象限.
    14、
    【解析】
    过点E作EF⊥BC交BC于点F,分别求得AD=3,BD=CD=4,EF=,DF=2,BF=6,再结合△BGD∽△BEF即可.
    【详解】

    过点E作EF⊥BC交BC于点F.
    ∵AB=AC, AD为BC的中线 ∴AD⊥BC ∴EF为△ADC的中位线.
    又∵cos∠C=,AB=AC=5,∴AD=3,BD=CD=4,EF=,DF=2
    ∴BF=6
    ∴在Rt△BEF中BE==,
    又∵△BGD∽△BEF
    ∴,即BG=.
    GE=BE-BG=
    故答案为.
    【点睛】
    本题考查的知识点是三角形的相似,解题的关键是熟练的掌握三角形的相似.
    15、x1=1,x2=﹣1.
    【解析】
    直接观察图象,抛物线与x轴交于1,对称轴是x=﹣1,所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标,从而求得关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解.
    【详解】
    解:观察图象可知,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),对称轴为x=﹣1,
    ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(﹣1,0),
    ∴一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为x1=1,x2=﹣1.
    故本题答案为:x1=1,x2=﹣1.
    【点睛】
    本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值.
    16、2
    【解析】
    连接OC,根据勾股定理计算OP=4,由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°,则∠COP=60°,可得△OCB是等边三角形,从而得结论.
    【详解】
    连接OC,

    ∵PC是⊙O的切线,
    ∴OC⊥PC,
    ∴∠OCP=90°,
    ∵PC=2,OC=2,
    ∴OP===4,
    ∴∠OPC=30°,
    ∴∠COP=60°,
    ∵OC=OB=2,
    ∴△OCB是等边三角形,
    ∴BC=OB=2,
    故答案为2
    【点睛】
    本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

    三、解答题(共8题,共72分)
    17、 (1)详见解析;(2).
    【解析】
    (1)利用基本作图(作一个角等于已知角和作已知线段的垂直平分线)作出BD和EF;
    (2)先证明四边形BEDF为菱形,再利用含30度的直角三角形三边的关系求出BF和CD,然后利用菱形的面积公式求解.
    【详解】
    (1)如图,DE、DF为所作;

    (2)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=10°,AB=2BC=2.
    ∵BD为∠ABC的角平分线,∴∠DBC=∠EBD=30°.
    ∵EF垂直平分BD,∴FB=FD,EB=ED,∴∠FDB=∠DBC=30°,∠EDB=∠EBD=30°,∴DE∥BF,BE∥DF,∴四边形BEDF为平行四边形,而FB=FD,∴四边形BEDF为菱形.
    ∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=30°+30°=10°,∴∠FDC=90°-10°=30°.在Rt△BDC中,∵BC=1,∠DBC=30°,∴DC=.在Rt△FCD中,∵∠FDC=30°,∴FC=2,∴FD=2FC=4,∴BF=FD=4,∴四边形BFDE的面积=4×2=8.
    故答案为:8.
    【点睛】
    本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
    18、(1)详见解析;(2)∠CEF=45°.
    【解析】
    试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出∠DCO=∠ACB=90°,然后根据等角的余角相等即可得出结论;
    (2)根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解.
    试题解析:
    (1)证明:如图1中,连接OC.

    ∵OA=OC,∴∠1=∠2,
    ∵CD是⊙O切线,∴OC⊥CD,
    ∴∠DCO=90°,∴∠3+∠2=90°,
    ∵AB是直径,∴∠1+∠B=90°,
    ∴∠3=∠B.
    (2)解:∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
    ∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,∴∠CEF=∠CFE,
    ∵∠ECF=90°,
    ∴∠CEF=∠CFE=45°.
    19、(1)证明见解析;(1)①16;②14;
    【解析】
    (1)根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AB=DC,AB∥CD于是得到BE=CF,根据全等三角形的性质得到∠A=∠D,根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°,由矩形的判定定理即可得到结论;
    (1)①根据相似三角形的性质得到,求得△GBC的面积为18,于是得到四边形BCFE的面积为16;
    ②根据四边形BCFE的面积为16,列方程得到BC•AB=14,即可得到结论.
    【详解】
    (1)证明:∵GB=GC,
    ∴∠GBC=∠GCB,
    在平行四边形ABCD中,
    ∵AD∥BC,AB=DC,AB∥CD,
    ∴GB-GE=GC-GF,
    ∴BE=CF,
    在△ABE与△DCF中,

    ∴△ABE≌△DCF,
    ∴∠A=∠D,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠A+∠D=180°,
    ∴∠A=∠D=90°,
    ∴四边形ABCD是矩形;
    (1)①∵EF∥BC,
    ∴△GFE∽△GBC,
    ∵EF=AD,
    ∴EF=BC,
    ∴,
    ∵△GEF的面积为1,
    ∴△GBC的面积为18,
    ∴四边形BCFE的面积为16,;
    ②∵四边形BCFE的面积为16,
    ∴(EF+BC)•AB=×BC•AB=16,
    ∴BC•AB=14,
    ∴四边形ABCD的面积为14,
    故答案为:14.
    【点睛】
    本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,图形面积的计算,全等三角形的判定和性质,证得△GFE∽△GBC是解题的关键.
    20、();()此时每天利润为元.
    【解析】
    试题分析:(1) 根据题意用待定系数法即可得解;
    (2)把x=35代入(1)中的解析式,得到销量,然后再乘以每件的利润即可得.
    试题解析:()设,将,和,代入,得:,解得:,
    ∴;
    ()将代入()中函数表达式得:

    ∴利润(元),
    答:此时每天利润为元.
    21、(3)a=,方程的另一根为;(2)答案见解析.
    【解析】
    (3)把x=2代入方程,求出a的值,再把a代入原方程,进一步解方程即可;
    (2)分两种情况探讨:①当a=3时,为一元一次方程;②当a≠3时,利用b2-4ac=3求出a的值,再代入解方程即可.
    【详解】
    (3)将x=2代入方程,得,解得:a=.
    将a=代入原方程得,解得:x3=,x2=2.
    ∴a=,方程的另一根为;
    (2)①当a=3时,方程为2x=3,解得:x=3.
    ②当a≠3时,由b2-4ac=3得4-4(a-3)2=3,解得:a=2或3.
    当a=2时, 原方程为:x2+2x+3=3,解得:x3=x2=-3;
    当a=3时, 原方程为:-x2+2x-3=3,解得:x3=x2=3.
    综上所述,当a=3,3,2时,方程仅有一个根,分别为3,3,-3.
    考点:3.一元二次方程根的判别式;2.解一元二次方程;3.分类思想的应用.
    22、(1)3;(2)∠DEF的大小不变,tan∠DEF=;(3)或.
    【解析】
    (1)当t=3时,点E为AB的中点,
    ∵A(8,0),C(0,6),
    ∴OA=8,OC=6,
    ∵点D为OB的中点,
    ∴DE∥OA,DE=OA=4,
    ∵四边形OABC是矩形,
    ∴OA⊥AB,
    ∴DE⊥AB,
    ∴∠OAB=∠DEA=90°,
    又∵DF⊥DE,
    ∴∠EDF=90°,
    ∴四边形DFAE是矩形,
    ∴DF=AE=3;
    (2)∠DEF的大小不变;理由如下:
    作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,如图2所示:

    ∵四边形OABC是矩形,
    ∴OA⊥AB,
    ∴四边形DMAN是矩形,
    ∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
    ∴, ,
    ∵点D为OB的中点,
    ∴M、N分别是OA、AB的中点,
    ∴DM=AB=3,DN=OA=4,
    ∵∠EDF=90°,
    ∴∠FDM=∠EDN,
    又∵∠DMF=∠DNE=90°,
    ∴△DMF∽△DNE,
    ∴,
    ∵∠EDF=90°,
    ∴tan∠DEF=;
    (3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
    若AD将△DEF的面积分成1:2的两部分,
    设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
    ①当点E到达中点之前时,如图3所示,NE=3﹣t,

    由△DMF∽△DNE得:MF=(3﹣t),
    ∴AF=4+MF=﹣t+,
    ∵点G为EF的三等分点,
    ∴G(,),
    设直线AD的解析式为y=kx+b,
    把A(8,0),D(4,3)代入得: ,
    解得: ,
    ∴直线AD的解析式为y=﹣x+6,
    把G(,)代入得:t=;
    ②当点E越过中点之后,如图4所示,NE=t﹣3,

    由△DMF∽△DNE得:MF=(t﹣3),
    ∴AF=4﹣MF=﹣t+,
    ∵点G为EF的三等分点,
    ∴G(,),
    代入直线AD的解析式y=﹣x+6得:t=;
    综上所述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时,t的值为或.
    考点:四边形综合题.
    23、(1);(2)见解析;(3)存在,2
    【解析】
    (1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可;
    (2)由(1)可知,则有,从而得到,最后利用一组对边平行且相等即可证明;
    (3)由(1)可知,则,从而得到是等腰直角三角形,则当最短时,的面积最小,再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.
    【详解】
    解:(1)四边形是正方形,





    在和中,




    在和中,


    故答案为;
    (2)证明:由(1)可知,




    四边形是平行四边形.
    (3)解:存在,理由如下:



    是等腰直角三角形,
    最短时,的面积最小,
    当时,最短,此时,
    的面积最小为.
    【点睛】
    本题主要考查全等三角形的判定及性质,平行四边形的判定,掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是解题的关键.
    24、(1)见解析;(2)见解析;
    【解析】
    (1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.
    (2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.
    【详解】
    证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,
    在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,
    ∴△ABE≌△CDF(SAS).
    (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
    ∵AE=CF,∴AD﹣AE=BC﹣CF,即DE=BF.
    ∴四边形BFDE是平行四边形.

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