13第四讲 鸡兔同笼问题

这是一份13第四讲 鸡兔同笼问题，共3页。
知识要点与学法指导：
鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只。
（1）解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。
（2）将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等。
注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决。
例1 在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？【分析与解】
题目中给出了鸡、兔共有40只，如果让兔子把前两只脚抬起来，身子直立，那么兔子就成了2只脚（即把兔子都当成两只脚的鸡），鸡兔总的脚数是40×2＝80（只），比题中所说的130只要少130－80＝50（只）。
现在让兔子把抬起的两只前脚放下来，每只兔子会增加2只脚，多少只兔子才会增加50只脚呢？显然是50÷2＝25（只）因此，兔子数是50÷2＝25（只）
解一： 兔：（130－40×2）÷（4－2）
＝（130－80）÷2
＝50÷2
＝25（只）
鸡：40－25＝15（只）
解二：把鸡和兔都想象成一半脚着地，就会有130÷2＝65（只）脚，鸡是1个头对1只脚，而兔却1个头对两只脚，因此用一半脚数减去总头数，得到的应该是每只兔多出1只脚的总数，多几只脚就有几只兔。兔有65－40＝25（只）；鸡有40－25＝15（只）；
列式计算兔：130÷2－40＝25（只）
鸡：40－25＝15（只）；
答：笼子中有兔子25只，有鸡15只。
想一想：用方程怎么解答？
试一试1
有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗？
例2 停车场共停24辆车，其中有4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车。这些车共有86个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？
【分析与解】
假设这24辆车都是3个轮子，那么一共有3×24＝72个轮子。比实际轮子数少了86－72＝14个轮子。为什么会少了14个轮子呢？因为我们把4个轮子的汽车假设成3个轮子来计算了，每辆汽车少算了（4－3）个轮子。14÷1＝14说明这24辆车中有14辆是汽车，有24－14＝10辆摩托车。
算式为（86－3×24）÷（4－3）＝14（辆）
24－14＝10（辆）
答：汽车有14辆，摩托车有10辆
你会列方程求解吗？
试一试2
小明的妈妈买了苹果和梨共10千克，一共花了27元钱。已知苹果的价钱是每千克3元，梨是每千克2元，求这两种水果各买了多少千克？
例3 数学竞赛抢答题共10道题，规定答对一题得15分，答错一题倒扣10分（不答按答错计算）。小敏回答了所有的问题，结果共得100分。问答对和答错各几题？
【分析与解】
假设小敏10道题都答对了，应该得15×10＝150（分），比实际得分多算了150－100＝50（分）。因为这10道题中有答错的题。每答错一题，不仅不能得15分，而且还要倒扣10分。也就是说，错一题比对一题减少15＋10＝25（分）。50÷25＝2，所以，小敏答错了2道题，答对了8道题。
（15×10－100）÷（15＋10）＝2（道）
10－2＝8（道）
答：小敏答对8道题，答错2道题。
试一试3
李明参加射击比赛，共打20发，约定每打中一发记10分，脱靶一发扣6分，结果得了168分。他一共打中了多少发？
例4 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种昆虫共21只，有140条腿和24对翅膀，求每种昆虫各几只？
【分析与解】
此题中出现了3种昆虫，不仅有腿的比较，而且又出现了翅膀，显然比前几道题复杂了。
解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫，这样解起来就比较容易了。突破口在于，蝉和蜻蜓都有6条腿。
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目考虑，可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”两种，利用基本关系式算出8条腿的蜘蛛数：
（140－6×21）÷（8－6）
＝（140－126）÷2
＝14÷2
＝7（只）
从而，可以推知6条腿的昆虫共有：
21－7＝14（只）
也就是蜻蜓和蝉共有14只，因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀，现在再用一次基本关系式，得蝉数是：
（14×2－24）÷（2－1）
＝（28－24）÷1
＝4（只）
因此，蜻蜓数是14－4＝10（只）
答：有7只蜘蛛，4只蝉，10只蜻蜓。
试一试4
现有蜘蛛、蜻蜓、蝉这三种昆虫共47只，共有腿324条，翅膀37对。其中每只蜘蛛无翅8条腿，每只蜻蜓有2对翅膀和6条腿，每只蝉有1对翅膀和6条腿，问每种昆虫各几只？
练习四
1. 今有鸡兔共35个头，脚共有94只，求鸡、兔各有多少只？
2. 动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼晴和44只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只？
3．杂技团有独轮车和三轮车共30辆，两种车共有70个轮子，问这两种车各有多少辆？
4. 有10分和20分的邮票共18张，总面值为2.8元。问10分和20分的邮票各有多少张？
5. 同学们参加投篮比赛，规定：每投中一球得5分，投不中倒扣3分，小明投了20个球，得了68分。问：他投中了几个球？
6．方方和圆圆两个人进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣12分。方方和圆圆各算了10道题，两人共得208分，方方比圆圆多得64分，问他俩各算对了多少道题？
7．刘老师带了41名同学去北海公园划船共租了10条船。每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
8．鸡与兔共100只，鸡脚比兔脚多80只，问鸡兔各有多少只？
9．大油瓶一瓶装4千克油，小油瓶2瓶装1千克油。现有100千克油装了60个瓶子，问大小油瓶各用了多少个？
10．停车场上有汽车和自行车共71辆，已知汽车的轮子总数比自行车的轮子总数多116个，问汽车和自行车各有多少辆？
11．松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，它一连采了112个，平均每天采了14个，问这些天中有几天是雨天？
12．某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话，不但不给运费还要赔偿成本费10元；运完后结算时，运输队共得1350元运费。问共损坏了多少个暖瓶？
13. 三种昆虫共18只，它们共有20对翅膀116条腿，其中每只蜘蛛无翅8条腿；每只蜻蜓有两对翅膀6条腿；每只蝉有1对翅膀6条腿，问这三种昆虫各有多少只？
14．有一元、五元和十元的人民币共25张，总面值110元，已知一元和五元的张数相等，问三种面值的人民币各有几张？