初一第二章有理数学案6-无答案

有理数的乘方与科学记数法

一、教学目标

1、理解乘方的意义及有关概念.

2、会进行简单的有理数乘方运算和解答简单的实际问题.

3.知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；

4.知道底数，指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。

5.理解掌握科学记数法的的概念；

6.体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。

重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算。

难点：会进行有理数的乘方运算.

二、知识梳理

情景导入

将一张白纸对折再对折（白纸不得撕裂），直到无法对折为止.

（1）让学生猜一猜一张8K白纸折到无法对折为止，最多可以折几次？这时白纸有几层？(让几位学生回答猜想结果,并写在黑板角落)

（2）让学生动手折一折，验证自己的猜想.(动手过程中教师巡视并作适当指导)

（3）引导学生探究折纸过程，并得出算式填下表.

议一议:你还能举出类似的例子吗?(学生交流讨论,教师各小组巡视,并引导学生联系生活实际,如切豆腐,折绳子等,学生回答同时可以演示折绳子.)

二．探索新知:

观察以下算式,

7×7×7×7

                m×m×m×m×m×m

它们有什么相同点？(通过折纸活动与举生活实例,学生容易得出以上三个算式的相同点,从而引出这堂课的课题:有理数的乘方).

提出问题:以上算式有没有新的记法？给出记法，读法.（教师给出上面三个算式的记法及读法，并引导学生一起回答）.

一般地， 记作，读作“的次方”.

引入乘方定义:求相同因数的积的运算叫做乘方.

试一试:将下列各式表示成的形式

(1)  3×3=__________.

(2)  (-7)×(-7)×(-7)=_____________.

(3)  ×××=____________.

(4)  =____________.

(在学生写记法的,并引导学生读,同时让学生回顾在小学“3的二次方”还能读作“3的平方”, “负7的三次方”,还能读作“负7的立方”一个数的二次方，也称为这个数的平方，一个数的三次方，也称为这个数的立方.)并让学生了解一个数可以看作这个数本身的一次方，例如2就是21，通常指数为1时可以省略不写。

观察下列各式

（1）

（2）

（3）

（4）

【设计意图】：通过让学生观察以上等式，并在回顾已学过的运算及相应的运算结果的基础上，利用知识的迁移，顺其自然的告诉学生学生可以用等号右边形式表示等号左边运算的结果，即乘方运算的结果，进而引出幂的概念.

乘方的结果叫幂

读作的次幂.

【设计意图】通过板书上面的图形,更直观,明了的显示幂的各部分名称,让学生掌握概念更清晰.

试一试:  指出下列各幂的底数与指数

(1)在中,底数是______,指数是________;

(2)在中,底数是______,指数是________;

(3)在中,底数是______,指数是________;

(4)在中, 底数是______,指数是________;

【设计意图】:让学生通过简单的练习,真正理解底数与指数的概念,进一步理解乘方的意义.

知识总结：

有理数乘方

1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方。

2.乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

3.一般地，在中，取任意有理数，n取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当看作的n次方的结果时，也可以读作的n次幂。

4.我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

计算：（1）；  （2）； (3)； (4)；

☆注：2就是，指数1通常不写。

观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？

（1）横向观察

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。

纵向观察

互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。

任何一个数的偶次幂是什么数？

任何一个数的偶次幂都是非负数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？

当时，（n是正整数）；

当时，（n是正整数）.

（以上为有理数乘方运算的符号法则）

（n是正整数）；

（n是正整数）

（a是有理数，n是正整数）

二：科学记数法：

1．用科学记数法表示下列各数：

（1）人的大脑约为10000000000个脑细胞：                  。

（2）全世界人口约为61亿：           　　　　　。

（3）某学校藏书约有10万册，计划每年新增图书800册，假设学校现有的图书10年没有被折损，那么预计10年后学校藏书将达到           册。

【导学过程】

1.填一填：101=   ；102=     ；103=       ；104=          ；105=           ……；

你能说出10n表示1后面有几个零吗？

2.利用10的乘方，我们可以表示一些较大的数．如：696000=6.96×100000=6.96×105,                                            你能将这样的三个数用这样的方法表示吗？试试看！

① 300 000 000=3×                =3×        ；

② 6 100 000 000=6.1×                =6.1×      ；

③ 602 000 000 000 000 000 000 000=6.02×         ；

3.一般地，                                                                   

                                       这样记数的方法我们称之为科学记数法．

注意：a有怎样的条件限制？指数n与这个数的整数位数有怎样的关系？

三、 典例精讲

例1 计算

（1）36；  （2）63；   （3）（-3）4；   （4）（-4）3

辩一辩:

  =6          (      )          =9          (     )

例2 计算

（1）； （2）；  （3）

想一想

与相同吗?

观察并思考:

(1)=                 (5)=

(2)=                 (6)=

(3) =                   (7)=

(4) =                  (8)=

(1)负数的幂的符号如何确定？

正数的任何次幂都是正数;

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数

(2)正数的幂的符号如何确定？

填一填：

①（-2）6读作          ，表示          ，其中指数为     ，底数为       ；

② -26读作           ，表示          ，其中指数为     ，底数为       ；

③ 34=        ； 43=         ；

④（-1）101=       ；（-1）100=         ；

注意：负数和分数作为底数时要加括号．

例1.计算：①2；  ②（-3）；  ③（）；  ④（-）

例2.想一想：①（-1 ），（-1），（-），（-）是正数还是负数？

②负数的幂的符号如何确定？

四、巩固练习

1．判断题：

（1）23=32 （  　）  （2）（-3）2=-32（  　）   （3）3×52=（3×5）2　（ 　 ）

（4）（-3）3=-33（ 　 ） （5）一个数的平方为非负数（ 　 ） （6）（2+3）2=22+32（ 　 ）

2．下列计算错误的是（     ）

A．     B．      C．     D．

★3．如果一个有理数的偶次幂为正数，那么这个有理数（    ）

A．一定是正数       B．是正数或负数      C．一定是负数        D．可以是任何数

★4．下列各数互为相反数的是（    ）

A．32与-23     B．32与（-3）2     C．32与-32     D．-32与-（-3）2

5．计算：（1）（-5）3         （2）（-）5            （3）（-）4

（4）-53              （5）0.14               （6）18

 科学记数法：

1．下列用科学记数法表示的各数，原数各是什么数？

（1）中国国家图书馆藏书居世界第五位，约为册．                  册。

（2）北京故宫占地面积约为㎡．          　　　　㎡。

（3）2009年，三峡工程竣工后，水库设计总容量为．          　。

★2．指出下列的数各是几位数：

（1）5×108是   　　位数； （2）1.2×106是  　位数；　（3）1010是    　位数。

3．若6 110 000=6.11×10n＋2，则n=      。

4.若(1－m)2+=0，则(m + n)3的值为         (    )

   A．－1            B．－3           C．3           D．不能确定

5．计算：(－1)2004－(－1)2005=        ；+(－2)2=        ；

6.=        ；(－2)100+(－2)101=       

7．用科学记数法表示下列各数：

（1）-1000=        ；          （2）-12 030 000=            。

8.．比较大小：。

9．一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒？（用科学记数法表示）

10．为节约水资源，某学校环保宣传小组作了一个调查，得到了如下的一组数据：我们所在的城市人口大约90万人，每天早晨起来漱嘴，如果大家都有一个坏习惯，漱嘴时都不关水龙头，那么我们每个人漱嘴时可浪费75毫升的水。

（1）按这样计算我们全市一天早晨仅这一项就浪费了多少升水？请用科学记数法表示；

（2）如果我们用500毫升的纯净水瓶来装浪费的水，约可以装多少瓶？

11 、  5月31日是世界无烟日，今年世界无烟日来临之际，中国国家卫生部公布了我国吸烟的人数约为3．5亿，占世界吸烟人数的．用科学记数法表示全世界吸烟人数约为    (    )

   A．105×109        B．10．5×108     C．1．05×109      D．1．05×1010

12..某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次 (由1个分裂成2个，两个裂成4个…)，若这种细菌由1个分裂成128个，那么这个过程需要经过(    )小时．

   A．2           B．3            C．3．5         D．4

13．嫦娥一号是我国的首颗绕月人造卫星，已于2007年10月24日18时05分左右成功发射，预计卫星的总重量为2350 kg左右，寿命大于1年．请用科学记数法表示数2350为    (    )

   A．0．235×104    B．2．35×103    C．0．235×103    D．2．35×104

14．中俄两国签署了供气购销合同，从2018年起，俄罗斯开始向我国供气，最终达到每年38000亿立方米，3800这个数据用科学记数法表示为    (    )

   A．3．8×109    B．3．8×103    C．3．8×1011       D．3．8×1012

五、拓展提升

1．计算：的值是           (    )

    A．一          B．         C．一        D．

2．下列各对数中，数值相等的是       (    )

    A．+32与+22    B．－23与(－2)3     C．－32与(－3)2    D．3×22与(3×2)2

3．下列等式成立的是        (    )

A．－3×23=－32×2    B．－32=(－3)2    C．－23=(－2)3     D．－32=－23

4．对于式子(－3)6与－36，下列说法中，正确的是        (    )

    A．它们的意义相同              B．它们的结果相同

C．它们的意义不同，结果相等    D．它们的意义不同，结果也不相等

5．下列叙述中：①正数与它的绝对值互为相反数；②非负数与它的绝对值的差为0；③－1的立方与它的平方互为相反数；④±1的倒数与它的平方相等．其中正确的个数有    (    )

    A．1         B．2          C．3             D．4

 6．瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，，，，…中成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数为        (    )

    A．       B．        C．        D．

7．将3×3×3写成乘方的形式是        ；将－3×3×3写成乘方的形式是        ；将(－3)×(－3)×(－3)写成乘方的形式是        ．

8．计算：－32+(－2)3的值是        ．

9．在有理数－32，0，20，－1．25，，－(－2)，(－4)2中，正数有        个．

10．平方等于它本身的数是        ；立方等于它本身的数是        ．

11．若m，n满足+(n + 3)2=0，则nm=        ．

12．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗? 根据你发现的规律回答：32005的个位数字是        ．

13．计算：

(1) ；                       (2) －23÷×；

(3)  －(－2)3×(－3)2；              (4) ×(－4)2÷(－1)11；

(5) (－2)3－2×(－4)÷；           (6) －14+(－2)3÷4×[5－(－3)2]．

14．如果a表示一个有理数，那么下列各式的最小值为多少? 并求出此时a的值．

(1) a2+3；                        (2) (a－1)2－3．

15．有一张厚度是0．1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0．1毫米．

    (1) 对折2次后，厚度多少毫米?

(2) 对折20次后，厚度为多少毫米?

16．(1) 我们常有的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：l×23+0 ×22+1×21 +1×20=11，按此方式，将二进制数11010换算成十进制数为        ．

    (2) 让我们轻松一下，做一个数字游戏：

       第一步：取一个自然数n1=5，计算+1得a1；

       第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算+1得a2；

       第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算+1得a3；

       依此类推：则a2 011=        ．

17．将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数    (    )

A．502         B．503         C．504        D．505

18.1根1米长的小木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半……如此截下去，第8次后剩下的小木棒有多长? 第n次后呢?

19．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a + b，a的形式，也可以表示为0，，b的形式，试求 a2000+b2001的值．

20．阅读下列解题过程：

    计算1+3+32+33+34+…+39+310的值．

    解：设S=1+3+32+33+34+…+39+310  ①，

    则3S=3×(1+3+32+33+…+39+310)

    3S=3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×310

    3S=3+32+33+34+…+310+311  ②，

    ②一①得：

    3S－S=(3+32+33+34+…+39+310+311)一(1+3+32+33+34+…+39+310)

    2S=311－1

    S=

    即1+3+32+33+34+…+39+310=．

    通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．

请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525的值．

六、课后总结