中学中考数学模拟试卷

这是一份中学中考数学模拟试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）cs60°的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．x2＝1
C．x2＝8D．x（x+3）＝x2﹣1
3．（2分）某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．10，12B．12，11C．11，12D．12，12
4．（2分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3B．5C．8D．10
5．（2分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣3）2+2B．y＝2（x+3）2﹣2
C．y＝2（x+3）2+2D．y＝2（x﹣3）2﹣2
6．（2分）如图，点A、B、C均在圆O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（ ）
A．0.8B．1.6C．2.4D．3.2
8．（2分）如图，BC＝3，⊙B的半径为1，A为⊙B的上动点，连接AC，在AC上方作一个等边三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．4B．5C．2D．3+1
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知＝，则＝ ．
10．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是： ．
11．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 ．
12．（2分）已知一组数据2，3，4，5，则该组数据的方差S2＝ ．
13．（2分）在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为 米．
14．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于 ．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ．
16．（2分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sinA的值为 ．
17．（2分）如图，△OBC的边BC∥x轴，过点C的双曲线y＝（k≠0）与△OBC的边OB交于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于8，则k的值为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为 ．
三、解答题：（本大题共10小题，共84分）
19．（6分）计算：
20．（8分）解下列一元二次方程；
（1）x2﹣4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
21．（8分）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中a的值为 ，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数为 °，该校初一学生的总人数为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？
22．（8分）春节放假期间，小明和小华准备到夹山的夹谷山（记为A）、黑林的刘少奇故居（记为B）、金山的徐福祠（记为C）、宋庄的丝路小镇（记为D）中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（1）小明选择去夹谷山旅游的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E．连接BD，EC：
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形；
24．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈）
25．（8分）某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 元；②每天的销售量为 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
26．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作⊙O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若（1）中的⊙O的半径为2，⊙O与AB边的另一个交点为E，BD＝2，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）
27．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y＝﹣x+3．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）Q是直线BC下方抛物线上一动点，△QBC的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时Q的坐标；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）cs60°的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：cs60°＝．
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．x2＝1
C．x2＝8D．x（x+3）＝x2﹣1
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A．x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；
B．x2＝1是一元二次方程，符合题意；
C．x2＝8是分式方程，不符合题意；
D．x（x+3）＝x2﹣1，即3x＝﹣1，是一元一次方程，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（2分）某校在体育健康测试中，有8名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，10，8，9，16，12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．10，12B．12，11C．11，12D．12，12
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解．
【解答】解：原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，
所以这组数据的中位数＝＝11，众数为12．
故选：C．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数的定义．
4．（2分）在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3B．5C．8D．10
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：∵摸到红球的概率为，
∴P（摸到黄球）＝1﹣＝，
∴＝，
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
5．（2分）把函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是（ ）
A．y＝2（x﹣3）2+2B．y＝2（x+3）2﹣2
C．y＝2（x+3）2+2D．y＝2（x﹣3）2﹣2
【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．（2分）如图，点A、B、C均在圆O上，若∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（ ）
A．0.8B．1.6C．2.4D．3.2
【分析】由∠ACD＝∠B结合公共角∠A＝∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出＝（）2＝，结合△ADC的面积为1，即可求出△BCD的面积．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ACD＝0.8，
∴S△ABC＝3.2，S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝2.4．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键．
8．（2分）如图，BC＝3，⊙B的半径为1，A为⊙B的上动点，连接AC，在AC上方作一个等边三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．4B．5C．2D．3+1
【分析】以BC为边在BC上方构造等边△BCE，连接DE、BD，证明△ABC≌△DEC，得到D点运动轨迹，则可求BD最值．
【解答】解：以BC为边在BC上方构造等边△BCE，连接DE、BD．
∵∠ACB＝60°﹣∠ECA，∠DCE＝60°﹣∠ECA，
∴∠ACB＝∠DCE．
又AC＝DC，BC＝EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB＝1．
∴点D运动轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆，
当B、E、D三点共线（D点在BE的延长线上）时，
BD最大为3+1＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短定理，解题的关键是找到D点运动轨迹．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．（2分）已知＝，则＝ ﹣ ．
【分析】根据题意，设x＝3k，y＝4k，代入即求得的值．
【解答】解：设x＝3k，y＝4k，
∴＝＝﹣．
【点评】已知几个量的比值时，设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
10．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是： x1＝0，x2＝3 ．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
11．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是 （2，3） ．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
12．（2分）已知一组数据2，3，4，5，则该组数据的方差S2＝ 1.25 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：数2，3，4，5的平均数为：×（2+3+4+5）＝3.5，
则该组数据的方差S2＝ [（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2]＝1.25．
故答案为：1.25．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝ [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．（2分）在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为 16 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵＝，
∴建筑物的高＝×建筑物的影长
＝×20
＝16米．
故应填16．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于 24πcm2 ．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：它的侧面展开图的面积＝•2π•4•6＝24π（cm2）．
故答案为24πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 2 ．
【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
【解答】解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED＝＝，
CD＝2CE＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16．（2分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sinA的值为 ．
【分析】过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，则AE＝3，根据勾股定理求出AB和AC长，根据三角形面积公式求出CD，解直角三角形求出即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，则AE＝3，
BC＝2，AC＝＝，AB＝＝3，
S△ABC＝，
解得：CD＝，
所以sinA＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形等知识点，能求出CD的长是解此题的关键．
17．（2分）如图，△OBC的边BC∥x轴，过点C的双曲线y＝（k≠0）与△OBC的边OB交于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于8，则k的值为 2 ．
【分析】延长BC交y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点FBA⊥x轴于A．由矩形与反比例函数的性质，可得S四边形ABDF＝S△OBC＝8，易证得△ODF∽△OBA，又由OD：DB＝1：2，即可得S△ODF＝S四边形ABDF＝×4＝，则可求得答案．
【解答】解：延长BC交y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，BA⊥x轴于A．
∵梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，
∴四边形OABE是矩形，
∴S△OBE＝S△OAB，
∵过点C的双曲线y＝交OB于点D，
∴S△OCE＝S△ODF，
∴S四边形ABDF＝S△OBC＝8，
∵DF∥AB，
∴△ODF∽△OBA，
∵OD：DB＝1：2，
∴OD：OB＝1：3，
∴S△ODF：S△OAB＝1：9，
∴S△ODF：S四边形ABDF＝1：8，
∴S△ODF＝S四边形ABDF＝×8＝1，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为 4或 ．
【分析】分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．
【解答】解：①如图1，
，
∵AC＝＝4，CD＝4，CD⊥AD，
∴AD＝＝＝＝8，
∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4．
②如图2，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，
∴AD＝＝＝8，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE＝AB＝2，
∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝，
∴BD＝＝．
综上所述，BD的长为4或，
故答案为：4或．
【点评】本题主要考查旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质与勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共10小题，共84分）
19．（6分）计算：
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+2﹣4+1﹣2×
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解下列一元二次方程；
（1）x2﹣4x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先变形得（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
21．（8分）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中a的值为 25% ，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数为 108 °，该校初一学生的总人数为 200 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？
【分析】（1）用1分别减去四个活动天数所占的百分比得到a的值，再用360°乘以“活动时间为4天”所占的百分比得到活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数，然后利用“活动时间为2天”的人数除以它所占的百分比得到该校初一学生的总人数；
（2）先计算出“活动时间为2天”的人数，然后补全频数分布直方图；
（3）用6000乘以（30%+25%+15%+5%）可估计出“活动时间不少于4天”的人数．
【解答】解：（1）a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣15%﹣5%＝25%；
“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数＝360°×30%＝108°；
该校初一学生的总人数＝20÷10%＝200（人）
故答案为25%；108；200；
（2）“活动时间为5天”的人数为200×25%＝50（人），
频数分布直方图如图：
（3）6 000×（30%+25%+15%+5%）＝4500（人）
答：该市活动时间不少于4天的人数约是4500人．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．
22．（8分）春节放假期间，小明和小华准备到夹山的夹谷山（记为A）、黑林的刘少奇故居（记为B）、金山的徐福祠（记为C）、宋庄的丝路小镇（记为D）中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（1）小明选择去夹谷山旅游的概率为 ．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵小明准备到夹山的夹谷山（记为A）、黑林的刘少奇故居（记为B）、金山的徐福祠（记为C）、宋庄的丝路小镇（记为D）中的一个景点去游玩，他在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同，
∴小明选择去夹谷山旅游的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图分析如下：
由图可知，两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中都选择去宋庄的丝路小镇旅游的方案有1种，
所以小明和小华都选择去宋庄的丝路小镇旅游的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E．连接BD，EC：
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝ 100 °时，四边形BECD是矩形；
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，
∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（8分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈）
【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．
【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，
由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，
∵tan∠B＝，
∴tan22°＝，
即，
解得，a＝12，
答：城门大楼的高度是12米；
（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，
∴sin22°＝，
∴AB＝32，
即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
25．（8分）某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件．商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件．若每件商品降价x元，每天的利润为y元，请完成以下问题的解答．
（Ⅰ）用含x的式子表示：①每件商品的售价为 （145﹣x） 元；②每天的销售量为 （2x+40） 件；
（Ⅱ）求出y与x之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（I）①根据售价＝原售价﹣降价可得销量每件商品的售价，②根据40﹣降价后减少的量可得每天的销售量；
（II）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润，即可得到的y与x之间的函数关系式，即可得出结论．
【解答】解：（I）由题意可知：：①每件商品的售价为：（145﹣x）元；②每天的销售量为：（40+2x）件；
故答案为：①（145﹣x），②（40+2x）；
（II）根据题意可得：y＝（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），
＝﹣2x2+80x+2400，
＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145﹣20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．
26．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，AD为弦作⊙O（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若（1）中的⊙O的半径为2，⊙O与AB边的另一个交点为E，BD＝2，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）
【分析】（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，如图1，⊙O即为所求作．
（2）连接OD，如图2．由OA＝OD，AD平分∠CAB可证到∠ODA＝∠CAD，从而有OD∥AC，进而可以证到OD⊥BC，即可得到直线BC与⊙O相切．
（3）连接OD，如图3．在Rt△ODB中运用三角函数可求出∠DOB的度数，就可求出扇形ODE的面积，就可求出所求图形面积．
【解答】解：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，如图1，
⊙O即为所求作．
（2）直线BC与⊙O相切．
证明：连接OD，如图2．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴∠ODA＝∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC．
∴直线BC与⊙O相切．
（3）连接OD，如图3，
则OD⊥BC（已证），阴影部分的面积就是所求图形的面积．
在Rt△ODB中，
∵OD＝2，BD＝2，
∴tan∠DOB＝＝＝．
∴∠DOB＝60°．
∴S扇形ODE＝＝．
∵S△ODB＝OD•DB＝×2×2＝2，
∴S阴影＝S△ODB＝﹣S扇形ODE＝2﹣．
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为2﹣．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的作法、切线的判定、平行线的判定与性质、扇形的面积公式、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，有操作、有计算、有证明，具有一定的综合性，是一道好题．
27．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y＝﹣x+3．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）Q是直线BC下方抛物线上一动点，△QBC的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时Q的坐标；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）作QH∥y轴交BC于H，如图，设Q（x，x2﹣4x+3）（0＜x＜3），则H（﹣x+3），利用三角形面积公式得到S△QBC＝•3•HQ＝﹣x2+x，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先配方得到y＝（x﹣2）2﹣1，则P（2，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝2，设M（2，t），利用等腰三角形的性质，当PM＝PC时，即（t+1）2＝22+（﹣1﹣3）2；当PM＝MC时，即（t+1）2＝22+（t﹣3）2；当CM＝PC时，即22+（t﹣3）2＝22+（﹣1﹣3）2；然后分别解关于t的方程即可得到对应的M点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则B（3，0），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）作QH∥y轴交BC于H，如图，
设Q（x，x2﹣4x+3）（0＜x＜3），则H（﹣x+3），
∴HQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△QBC＝•3•HQ＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S△QBC的值有最大值，此时Q点的坐标为（，﹣）；
（3）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则P（2，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝2，
设M（2，t），
当PM＝PC时，△PMC为等腰三角形，即（t+1）2＝22+（﹣1﹣3）2，解得t1＝﹣1+2，t2＝﹣1﹣2，此时M点坐标为（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
当PM＝MC时，△PMC为等腰三角形，即（t+1）2＝22+（t﹣3）2，解得t＝，此时M点坐标为（2，）；
当CM＝PC时，△PMC为等腰三角形，即22+（t﹣3）2＝22+（﹣1﹣3）2，解得t1＝﹣1（舍去），t2＝7，此时M点坐标为（2，7）．
综上所述，M点坐标为（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）或（2，7）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
28．（12分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH＝∠PMH，∠C＝∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，＝．
②当△CDH∽△MFB时，＝，分别构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，
∴∠PHM＝∠CDM＝90°，
∵∠PMH＝∠DMC，
∴∠C＝∠MPH，
∵∠C＝∠FPM，
∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，
∴∠PFH＝∠PMH，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，
∴∠OFC+∠PFC＝90°，
∴∠OFP＝90°，
∴直线PA是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，
∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，
∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1，
∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣，
∴AD＝OA+OD＝8+4﹣＝12﹣，
在Rt△ADP中，
DP＝AD•tan30°＝（12﹣）×＝4﹣1，
∴PM＝PD﹣DM＝4﹣2．
（3）如图2中，
由（2）可知：BF＝BC＝4，FC＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，
∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，
①当△CDH∽△BFM时，＝，
∴＝，
∴DH＝
②当△CDH∽△MFB时，＝，
∴＝，
∴DH＝，
∵DN＝＝，
∴DH＜DN，符合题意，
综上所述，满足条件的DH的值为或．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．