2022乌鲁木齐八中高二下学期期中考试数学（理）试题
展开乌鲁木齐市第八中学2021-2022学年
第二学期高二年级期中考试
数学(理科)问卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
- 下列求导不正确的是
A. B.
C. D.
- 若复数满足 为虚数单位，则所对应的点位于复平面的
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
- 随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为
A. B. C. D.
- 已知曲线在点处的切线方程为， 则
A. B. C. D.
- 设，则的值为
A. B. C. D.
- 中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
- 已知随机变量服从正态分布，若，则
A. B. C. D.
- 已知的二项展开式的各项系数和为，则二项展开式中的系数为
A. B. C. D.
- 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为
A. B. C. D.
- 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是
A. ， B. ，，
C. ，， D. ，，
- 年月日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂。高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第个格子的概率为
A. B. C. D.
- 已知函数，对于，，不等式恒成立，则整数的最大值为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
- 若复数是虚数单位是关于的方程的一个根，则 ．
- 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到次的概率为，充放电循环次数达到次的概率为若某用户的自用新能源汽车已经经过了次充电，那么他的车能够充电次的概率为______．
- 已知函数有两个极值点，则的取值范围是 ．
- 已知椭圆的两个焦点为和直线过点，点关于直线对称点在上，且(2，则的离心率为____________．
三、解答题：共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形所在的平面，且.
(1)求多面体的体积；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．（本小题满分12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）设数列的前n项积为，且.
(1)求证数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
20．（本小题满分12分）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.
(1)求甲夺得冠军的概率；
(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这个球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
21．（本小题满分12分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点D（x，y）的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点F（1，0）的直线l与曲线交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值.
22.（本小题满分12分）已知函数．
若，求的极值；
讨论函数的单调区间；
若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | D | B | D | A | A | C | B | B | C | B | C | C |
二、填空题：
13.3 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)平面，同理均与平面垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体，此长方体体积为，三棱锥的体积为，故此多面体的体积为10；
(2)以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，
，设平面的法向量为，
则，令得，
又为正方形，，故平面，
为平面的一个法向量，
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18.解：(1)由
得
即
由正弦定理得
所以
所以
(2)由正弦定理
所以
因为,且为锐角三角形
所以,即
所以
所以
所以的取值范围为.
19.解：(1)因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
(2)由（1）知数列，则由得，
所以，
所以
.
20.解：(1)记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，
事件“甲在第i局比赛中未胜”.
显然，，.
记事件“甲夺得冠军”，
则.
(2)设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.
则，
故.
记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.
因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.
由题意知比赛前盒内有6颗新球.
比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，
此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，
故下次必取得新球.即.
于是
.
故X的分布列为
X | 3 | 4 | 5 |
P |
故X的数学期望.
21.解：(1)设动圆的圆心为 ，因为经过（-4,0），则 ，半径为a+4，
圆的方程为 ，与x轴的另一个交点为B ，
与y轴的交点为 ，即 ，
，即 的方程为 ；
(2)由（1）作下图：
设过F点的直线方程为 ，显然m是存在的，联立方程：
，得 ， ①， ②
设 ，代入①②得 …③
则直线OP的方程为 ，直线OQ的方程为 ，联立方程：
，解得 ，同理 ，
， ，
，
④，
由③得 ，代入④得：，
显然当m=0时最大，最大值为 ；
综上， 的方程为， 与 的面积之比的最大值为.
22.解：，
由得；由得，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以时，有极小值，为，无极大值；
定义域为．
．
当时，，在单调递增；
当时，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在单调递增；
，
，
即方程有两个不等实根．
，，．且，．
从而．
由不等式恒成立，
得恒成立．
令
当时，恒成立，
所以函数在上单调递减，
故实数的取值范围是．
2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高二下学期期中考试数学试题含答案： 这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第六十八中学高二下学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，证明题，问答题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析： 这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市第八中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆乌鲁木齐第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析： 这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
