备战中考初中数学导练学案50讲—第43讲三角形与图形变换（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第43讲 三角形与图形变换
【疑难点拨】
1．熟练掌握三角形中的轴对称、平移、及其的旋转的基本性质和基本方法．
2．结合具体三角形问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．
3．注重三角形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．
【基础篇】
1. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（　　）

A．S△ACB= B．AB=A′B′
C．AB∥A′B′，A′C′∥AC，BC∥B′C′ D．=S△ACO
2. （2018•山西•3分）如 图 ，在 Rt△ ABC 中 ，∠ ACB=90°，∠ A=60°，AC=6，将 △ ABC 绕 点 C 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到
△ A’ B’ C， 此 时 点 A’ 恰好在 AB 边 上 ， 则 点 B’ 与点 B 之 间 的 距 离 是 （ ）
A. 12 B. 6 C.6 D. 6

3. （2017山东聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）

A．30° B．60° C．90° D．180°
5. （2017•玉林）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　）

A．240° B．360° C．480° D．540°
6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．

A．20° B．30° C．150° D．25°
7. （2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
8. （2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为　　．

9. （2018•山东淄博•4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
10. （2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=　 　．

【能力篇】
一、选择题：
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)

12. 如图，已知在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.
(1)求证：AM＝BN；
(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

13. 在等边△ABC中：

图1　　　　　　　　　图2　　　
(1)如图1，P、Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM.
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.
……
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．







14. （2017江苏徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC=　4　；
（2）求线段DB的长度．






15. 有一根直尺，短边的长为4 cm，长边的长为10 cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16 cm.如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3，设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.

(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；
(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26 cm2？若存在，请求出此时x的值．







16. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．








17. 如图所示，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于点F，若AB＝3 cm.
(1)试说明BD′平分∠ABC；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)直接写出点D′到BC的距离．






18. 如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．
（1）如图1，连接CE并延长CE交AB于点F，若∠CBD=15°，AB=4，求CE的长；
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，交BC于G，连接CF，求证：BG=CG．






【探究篇】
19. （2018·四川自贡·12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．














20. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．
    
（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．
如图②，当α=90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）

















第43讲 三角形与图形变换
【疑难点拨】
1．熟练掌握三角形中的轴对称、平移、及其的旋转的基本性质和基本方法．
2．结合具体三角形问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．
3．注重三角形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．
【基础篇】
1. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，则下列说法不正确的是（　　）

A．S△ACB= B．AB=A′B′
C．AB∥A′B′，A′C′∥AC，BC∥B′C′ D．=S△ACO
【分析】根据中心对称图形的性质，结合选项作出判断即可．
【解答】解：A、根据中心对称的两个图形全等，即可得到，故本选项正确；
B、成中心对称的两图形全等，对应线段相等，故本选项正确；
C、根据对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，故本选项正确；
D、=S△ABO≠S△ACO，本选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的性质，要求同学们掌握中心对称图形全等，且对称点到对称中心的距离相等等性质．
2. （2018•山西•3分）如 图 ，在 Rt△ ABC 中 ，∠ ACB=90°，∠ A=60°，AC=6，将 △ ABC 绕 点 C 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到
△ A’ B’ C， 此 时 点 A’ 恰好在 AB 边 上 ， 则 点 B’ 与点 B 之 间 的 距 离 是 （ ）
A. 12 B. 6 C.6 D. 6

【答案】 D
【考点】 旋 转 ， 等 边 三 角 形 性 质
【解析 】连接 BB’ ，由 旋 转 可 知 AC=A’ C，BC=B’ C，∵ ∠ A=60°，∴ △ ACA’ 为 等 边 三 角 形 ，
∴∠ ACA’ =60°， ∴ ∠ BCB’ =60°∴ △ BCB’ 为 等 边 三 角 形 ， ∴ BB’ =BC= 6 3 .

3. （2017山东聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（　　）

A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．
【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，
∵CB=CB'，
∴∠B=∠BB'C，
又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，
∴∠A'CB'=2∠B，
又∵∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB=2∠B，故B正确；
∵∠A′B′C=∠B，
∴∠A′B′C=∠BB′C，
∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；
故选C．

4. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）

A．30° B．60° C．90° D．180°
【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据旋转的性质即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，
∴旋转角最小是∠CAC1，
∴∠CAC1=180°，
故选：D．
【点评】此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
5. （2017•玉林）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　）

A．240° B．360° C．480° D．540°
【考点】MI：三角形的内切圆与内心；KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质．.
【分析】根据正三角形的性质分别得出点O转动的角度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正三角形的性质以及旋转的性质，分别得出旋转角度是解题关键．
6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．

【分析】先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B=（180°﹣∠BAD）=15°，
故答案为：15°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．
7. （2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．

8. （2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为　　．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵62+82=102，
∴PP′2+AP2=P′A2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．

9. （2018•山东淄博•4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，

∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
10. （2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=　 　．

【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=，
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根据勾股定理得：AB2=，
∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；
依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为（）n．
故答案为：（）n．
【能力篇】
一、选择题：
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)

解：如图，△EDC即为所求．连接AD.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，
∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.
∴AD＝＝3.
12. 如图，已知在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM，BN.
(1)求证：AM＝BN；
(2)当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

解：(1)证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，
∴CE＝CF.
根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α.
在△AMC和△BNC中，
∴△AMC≌△BNC(SAS)．
∴AM＝BN.
(2)∵MA∥CN，
∴∠ACN＝∠CAM.
∵∠ACN＋∠NCB＝90°，
∴∠ACN＋∠ACM＝90°.
∴∠CAM＋∠ACM＝90°.
∴∠AMC＝90°.
∴cosα＝＝＝.
13. 在等边△ABC中：

图1　　　　　　　　　图2　　　
(1)如图1，P、Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P、Q是BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM.
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.
……
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM(一种方法即可)．
解：(1)∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APC.
又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，
∴∠AQB＝80°.
(2)①如图所示．
②证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.
∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.
∵Q，M关于AC对称
∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.
∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.
又∵PA＝QA＝MA，
∴△APM为正三角形．
∴PA＝PM.
14. （2017江苏徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC=　4　；
（2）求线段DB的长度．

【考点】R2：旋转的性质．
【分析】（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；
（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=DC=2，
CE=DC•cos30°=4×=2，
∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．
∴Rt△BDE中，BD===．

15. 有一根直尺，短边的长为4 cm，长边的长为10 cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16 cm.如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3，设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.

(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；
(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26 cm2？若存在，请求出此时x的值．
解：存在．
当S＝26 cm2时，4＜x＜12，
∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，
即×16×8－x2－(16－x－4)2＝26.
解得x1＝6－，x2＝6＋.
故当x1＝6－，x2＝6＋时，阴影部分面积为26 cm2.
16. （2018·浙江宁波·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
17. 如图所示，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于点F，若AB＝3 cm.
(1)试说明BD′平分∠ABC；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)直接写出点D′到BC的距离．

解：(1)连接CD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，D′H⊥AB于点H，∵∠DAC＝90°，点E为CD边上的中点，∴AE＝CE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝60°，∠ECA＝∠EAC＝30°，∵将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E, D′E交AC于点F，∴∠DAE＝∠EAD′＝60°， AD＝AD′，∠FAD′＝30°，∴AC垂直平分ED′，　
∴CE＝CD′＝AD′，∴∠ACD′＝30°，∴∠D′AH＝∠D′CG，在△AHD′和△CGD′中，

∴△AHD′≌△CGD′.∴D′H＝D′G.
∴BD′平分∠ABC.
(2)∵AC所在的直线垂直平分线段ED′，
∴点E，D′关于直线AC对称，
连接DD′交AC于点P，
∴此时DP ＋EP值为最小，且DP＋EP＝DD′.
∵AB＝3，∴AC＝6.
∴AD＝2.∴DD′＝2·AD＝6.
即DP＋EP最小值为6 cm.
(3)∵∠D′HB＝∠HBG＝∠BGD′＝90°，
D′H＝D′G，∴四边形D′HBG是正方形．
∴D′G＝GB.
设D′G长为x cm，则CG长为(3－x) cm，
在Rt△GD′C中，x2＋(3－x)2＝(2)2，
解得x1＝(舍去)，x2＝.

∴D′到BC边的距离为 cm.
18. 如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．
（1）如图1，连接CE并延长CE交AB于点F，若∠CBD=15°，AB=4，求CE的长；
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，交BC于G，连接CF，求证：BG=CG．

【分析】（1）由∠CBD=15°可得∠ABE=45°且AE⊥BD，可得AE=BE且AC=BC，所以CF是AB的垂直平分线，由AB=4可求EF，CF的长，即可求CE的长．
（2）过点M作CM∥BD，通过将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，可得AE=AF，∠BAE=∠CAF，所以可以证明△ABE≌△ACF，可得BE=CF，
∠BEM=150°，∠CFM=30°，由CM∥BD，可证∠CME=150°，即∠FMC=30°，可证CF=CM=BE，然后可证△BEG≌△CMG．所以结论可得．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC=4，∠BAC=60°且∠DBC=15°∴∠ABE=45°且AE⊥BD∴∠BAE=∠ABE=45°∴AE=BE，且AC=BC
∴CF垂直平分AB即AF=BF=2，CF⊥AB∵∠ABE=45°∴∠FEB=∠ABE=45°∴BF=EF=2，∵Rt△BCF中，CF==2∴CE=2﹣2
（2）如图2：过点M作CM∥BD

∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形
∴∠AFE=∠AEF=60°
∴∠FAC+∠EAC=60°，且∠BAE+∠EAC=60°
∴∠BAE=∠CAF，且AB=AC，AE=AF
∴△ABE≌△ACF
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°
∴∠BEF=150°，∠MFC=30°
∵MC∥BD
∴∠BEF=∠GMC=150°，
∴∠CMF=30°=∠CFM
∴CM=CF且CF=BE
∴BE=CM且∠BGE=∠CGM，∠BEG=∠CMG
∴△BGE≌△GMC
∴BG=GC
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定，关键是通过角度相等证明CM=CF．
【探究篇】
19. （2018·四川自贡·12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，
同理：OE=OC，
∴OD+OD=OC；

（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣OD=OC．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0， ），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．
    
（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；
（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．
如图②，当α=90°时，求点M的坐标；
②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）
【答案】解：（Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H．

∵∠HOA′=α=30°，
∴∠OHA′=90°，
∴OH=OA′•cos30°= ，B′H=OB′•cos30°= ，
∴B′（ ， ）．
（Ⅱ）①∵OA=OA′，
∴Rt△OAA′是等腰直角三角形，
∵OB=OB′，
∴Rt△OBB′也是等腰直角三角形，
显然△AMB′是等腰直角三角形，
作MN⊥OA于N，

∵OB′=OA+AB′=1+2AN= ，
∴MN=AN= ，
∴M（ ， ）．
②如图③中，

∵∠AOA′=∠BOB′，OA=OA′，OB=OB′，
∴∠OAA′=∠OA′A=∠OBB′=∠OB′B，
∵∠OAA′+∠OAM=180°，
∴∠OBB′+∠OAM=180°，
∴∠AOB+∠AMB=180°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AMB=90°，
∴点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，
当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′﹣ AB= ﹣1．
【解析】【分析】 （Ⅰ）记A′B′与x轴交于点H，利用解直角三角形出OH，B′H即可解决问题。
（Ⅱ）①作MN⊥OA于N，易证Rt△OAA′、Rt△OBB′、△AMB′都是等腰直角三角形，再求出ON，MN的长，即可解决问题。
②根据题意易证点M的运动轨迹为以AB为直径的⊙O′，当C、M、O′共线时，CM的值最小，最小值=CO′-AB，即可解答。