备战中考初中数学导练学案50讲—第26讲图形的相似与位似（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第26讲 图形的相似与位似
【疑难点拨】
1. 三角形相似的“基本图形”：几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.
（1）平行线型： 如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型的基本图形.

（2）相交线型：如图3、图4,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.

图3 图4
（3）母子型：将图5中的DE向下平移至点C,则得图5,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=,CD则为斜边上高(如图6), 则有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋转型：将图7中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.

2.正确运用相似三角形的“对应”关系：在证两个三角形相似时，和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边．（1）有的根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确，具有结论的不确定性，因而应分两种情况解答此题．（2）因为题设只要求两个直角三角形相似，并没有指明具体的对应关系．同样具有结论的不确定性，因此本题应分两种情况解答．
3. 怎样寻找相似三角形：证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，常见的几种策略：
（1）三点定型法，基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论；
（2）等线段代换法，有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，这时，我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形；
（3）等式代换法，当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形．
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）

A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
2. ．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．B．C．D．
3. 如图，△ABC经过位似变换得到△DEF ， 点O是位似中心且OA=AD ， 则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A、1：6 B、1：5 C、1：4 D、1：2
4. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：
6. （2018•山东菏泽•3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　 　．

7. （2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　．

8. （2018·四川宜宾·3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于 .

三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？





10. 定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．





【能力篇】
一、选择题：
11. 如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF ， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（　　）.

A、5 B、10 C、 D、
12. （2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．① C．①② D．②③
13. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：
14. 已知点A（0，1），B（-2，0），以坐标原点O为位似中心，将线段AB放大2倍，放大后的线段A′B′与线段AB在同一侧，则两个端点A′，B′的坐标分别为________.
​
15. （2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是　 （写出所有正确结论的序号）
①当E为线段AB中点时，AF∥CE；
②当E为线段AB中点时，AF=；
③当A、F、C三点共线时，AE=；
④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．

三、解答与计算题：
16. 如图，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ， 动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ， 使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．












17. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）









18. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．







【探究篇】
19. （2018·浙江宁波·12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．






















20. （2018·山东潍坊·12分）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．















第26讲 图形的相似与位似
【疑难点拨】
1. 三角形相似的“基本图形”：几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.
（1）平行线型： 如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型的基本图形.

（2）相交线型：如图3、图4,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.

图3 图4
（3）母子型：将图5中的DE向下平移至点C,则得图5,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=,CD则为斜边上高(如图6), 则有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋转型：将图7中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.

2.正确运用相似三角形的“对应”关系：在证两个三角形相似时，和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边．（1）有的根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确，具有结论的不确定性，因而应分两种情况解答此题．（2）因为题设只要求两个直角三角形相似，并没有指明具体的对应关系．同样具有结论的不确定性，因此本题应分两种情况解答．
3. 怎样寻找相似三角形：证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，常见的几种策略：
（1）三点定型法，基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论；
（2）等线段代换法，有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，这时，我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形；
（3）等式代换法，当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形．
【基础篇】
一、选择题：
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）

A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
即=，
解得EC=8．
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
2. ．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．B．C．D．
分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得选项A，B，C，D各三角形的三边的长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．熟悉三组对应边的比相等的两个三角形相似定理是解答此题的关键．
解析：解答：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、，
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：B．
3. 如图，△ABC经过位似变换得到△DEF ， 点O是位似中心且OA=AD ， 则△ABC与△DEF的面积比是（　　）
A、1：6 B、1：5 C、1：4 D、1：2
【考点】位似变换
【解析】【解答】∵△ABC经过位似变换得到△DEF ， 点O是位似中心且OA=AD ， ∴AC∥DF ，
∴△OAC∽△ODF ，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：4.
故选C.
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF ， 点O是位似中心且OA=AD ， 根据位似图形的性质，即可得AC∥DF ， 即可求得AC：DF=OA：OD=1：2，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比.
4. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
答案：A
解析：解答：甲：根据题意得：AB∥，AC∥，BC∥，
∴∠A=∠，∠B=∠，
∴△ABC∽△，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则==3+2=5，==5+2=7，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．

分析：甲：根据题意得：AB∥，AC∥，BC∥，可证得∠A=∠，∠B=∠，由两角对应相等两三角形相似得△ABC∽△；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则=C′D′=3+2=5，A′D′= =5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．
5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
二、填空题：
6. （2018•山东菏泽•3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是　（2，2）　．

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，
∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO=8，
故OC=4，
则FO=2，CF=CO•cos30°=4×=2，
故点C的坐标是：（2，2）．
故答案为：（2，2）．

【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
7. （2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　　．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠F=∠DBF，
∴DB=DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：DE=，
∵DF=DB=2，
∴EF=DF﹣DE=2﹣，
故答案为：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．
8. （2018·四川宜宾·3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于 .

【考点】Q2：平移的性质．
【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．
【解答】解：如图，

∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）2=，即（）2=，
解得A′D=2或A′D=﹣（舍），
【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
三、解答与计算题：
9. 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

答案：2秒｜0.8秒
解析：解答：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，解得t=2（s）；
当时，△BPQ∽△BCA，
即，解得t=0.8（s）；
综合上述，经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
分析：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，△BPQ∽△BAC；当时，△BPQ∽△BCA．
10. 定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

【考点】黄金分割．
【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．
【能力篇】
一、选择题：
11. 如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF ， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（　　）.

A、5 B、10 C、 D、
【考点】相似三角形的性质
【分析】要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．
【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2， ， ，
要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是 ，
所以这两，相似三角形的相似比是 : = :5
△ABC的面积为2×1÷2=1，
所以△DEF的最大面积是5．故选A ．
12. （2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．① C．①② D．②③
【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
13. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理可得出结论．此题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
解答：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．

如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．
故选：D．
二、填空题：
14. 已知点A（0，1），B（-2，0），以坐标原点O为位似中心，将线段AB放大2倍，放大后的线段A′B′与线段AB在同一侧，则两个端点A′，B′的坐标分别为________.
​

【考点】位似变换
【分析】由题意，根据位似图形的性质，即可求得两个端点A′，B′的坐标.
​【解析】【解答】∵以坐标原点O为位似中心，将线段AB放大2倍，且点A（0，1），B（-2，0），
∴两个端点A、B的对应点坐标分别为：（0，2）（-4，0）或（0，-2）（4，0），
∵放大后的线段A′B′与线段AB在同一侧，
∴两个端点A′、B′的坐标分别为：（0，2）（-4，0）.
故答案为：（0，2）（-4，0）.
15. （2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序号）
①当E为线段AB中点时，AF∥CE；
②当E为线段AB中点时，AF=；
③当A、F、C三点共线时，AE=；
④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：如图1中，当AE=EB时，

∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正确，
作EM⊥AF，则AM=FM，
在Rt△ECB中，EC==，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴=，
∴=，
∴AM=，
∴AF=2AM=，故②正确，
如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．

则EB=EF=3﹣x，AF=﹣2，
在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，
∴x=，
∴AE=，故③正确，
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答与计算题：
16. 如图，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ， 动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ， 使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】【分析】首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【答案】解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）
设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），
①当MN∥BC时，△AMN∽△ABC ，
则 ＝ ，即 ＝ ，
解得t=3；
②当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC ，
则 ＝ ，即 = ，
解得t=4.8；
故所求t的值为3秒或4.8秒．
17. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O如图所示；

（2）作OH⊥BC于H．

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中

∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==

【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
【探究篇】
19. （2018·浙江宁波·12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；
（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；
（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，
①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；
②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；
③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；
所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；

（2）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠BAC=∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴=，即CA2=BC•AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴CA2=BC•AB，
∴△ABC是比例三角形；

（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB=AD，
∴BH=BD，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BHA=∠BCD=90°，
又∵∠ABH=∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴=，即AB•BC=BH•DB，
∴AB•BC=BD2，
又∵AB•BC=AC2，
∴BD2=AC2，
∴=．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．
20. （2018·山东潍坊·12分）如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．
（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．
①求四边形BHMM′的面积；
②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．
（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

【分析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；
（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．
【解答】解：（1）①在▱ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，
又BF：FA=1：5，
∴AH=2，
∵Rt△AHD∽Rt△MHF，
∴，
即，
∴HM=1.5，
根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，
四边形BHMM′的面积=；
②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，

∵直线EF垂直平分CD，
∴CN=DN，
∵MH=1.5，
∴DM=2.5，
在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，
∴MC2=62+（2.5）2，
即MC=6.5，
∵MN+DN=MN+CN=MC，
∴△DNM周长的最小值为9．
（2）∵BF∥CE，
∴，
∴QF=2，
∴PK=PK'=6，
过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，

当点P在线段CE上时，
在Rt△PK'E'中，
PE'2=PK'2﹣E'K'2，
∴，
∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，
∴，
即，
解得：，
∴PE=PE'﹣EE'=，
∴，
同理可得，当点P在线段DE上时，，如图4，

综上所述，CP的长为或．
【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析．