备战中考初中数学导练学案50讲—第03讲整式与因式分解（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第03讲 整式与因式分解
【疑难点拨】
1. (am)n与am·an的区别：易把同底数幂的乘法和幂的乘方相混淆,如x2·x3=x5和(x3)3=x9,即(am)n和am·an混淆.
2. 因式分解的步骤.易错原因:一是提不出公因式和不能正确运用公式;二是因式分解不彻底;三是因式分解与整式乘法相混淆.
3. 整式运算中常见的错误：最常见的错误:(1)去括号时符号出错;(2)完全平方公式不熟悉.
4. 整式的运算.(1)进行整式的运算时,一要注意合理选择运算法则,二要注意结果的符号.(2)整式的运算顺序是:先计算乘除,再做整式的加减,整式加减的实质就是合并同类项,其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算.
5. 因式分解的应用：(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式,关键要能准确计算阴影部分的面积.(2)利用因式分解进行计算与化简,先把要求的代数式进行因式分解,再代入已知条件计算.
6. 整式的创新应用：解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用,从分析图形的结构入手,分析图形结构的形成过程,从简单到复杂,进行归纳猜想,从而获得隐含的数学规律,并用代数式进行描述.
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖北省武汉·3分）计算3x2﹣x2的结果是（　　）
A．2 B．2x2 C．2x D．4x2
2. （2018•山东淄博•4分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
3. （2018•山东枣庄•3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2 C．a•2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6
4. （2018·湖北省武汉·3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（　　）
A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6
5. （2018·重庆(A)·4分）按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（ ）.
A. B. C. D.

二、填空题：
6.（2018四川省泸州市3分）分解因式：3a2﹣3=　 　．
7. （2018•山东菏泽•3分）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
8. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2018次输出的结果为__________．

三、解答与计算题：
9. （2018·湖北省宜昌·6分）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．




10. （2018秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．








【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）

A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
12. （2018·山东威海·3分）已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（　　）
A． B．1 C． D．
13. （2018·湖北省宜昌·3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（　　）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20
C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6
二、填空题：
14. （2018·浙江宁波·4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为 .
15. （2018·浙江宁波·4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 　.
三、解答与计算题：
16.计算：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2

（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）


17. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　 　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．


18. 千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．






【探究篇】
19. （2018·浙江衢州·6分）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：





20. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．








备战2019中考初中数学导练学案50讲
第03讲 整式与因式分解
【疑难点拨】
1. (am)n与am·an的区别：易把同底数幂的乘法和幂的乘方相混淆,如x2·x3=x5和(x3)3=x9,即(am)n和am·an混淆.
2. 因式分解的步骤.易错原因:一是提不出公因式和不能正确运用公式;二是因式分解不彻底;三是因式分解与整式乘法相混淆.
3. 整式运算中常见的错误：最常见的错误:(1)去括号时符号出错;(2)完全平方公式不熟悉.
4. 整式的运算.(1)进行整式的运算时,一要注意合理选择运算法则,二要注意结果的符号.(2)整式的运算顺序是:先计算乘除,再做整式的加减,整式加减的实质就是合并同类项,其中能运用乘法公式计算的应采用乘法公式进行计算.
5. 因式分解的应用：(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式,关键要能准确计算阴影部分的面积.(2)利用因式分解进行计算与化简,先把要求的代数式进行因式分解,再代入已知条件计算.
6. 整式的创新应用：解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用,从分析图形的结构入手,分析图形结构的形成过程,从简单到复杂,进行归纳猜想,从而获得隐含的数学规律,并用代数式进行描述.
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖北省武汉·3分）计算3x2﹣x2的结果是（　　）
A．2 B．2x2 C．2x D．4x2
【分析】根据合并同类项解答即可．
【解答】解：3x2﹣x2=2x2，
故选：B．
【点评】此题考查合并同类项，关键是根据合并同类项的法则解答．
2. （2018•山东淄博•4分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
【考点】35：合并同类项；42：单项式．
【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．
【解答】解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，
∴单项式am﹣1b2与是同类项，
∴m﹣1=2，n=2，
∴m=3，n=2，
∴nm=8．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．
3. （2018•山东枣庄•3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a5+a5=a10 B．a3÷a﹣1=a2 C．a•2a2=2a4 D．（﹣a2）3=﹣a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：a5+a5=2a5，A错误；
a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，B错误；
a•2a2=2a3，C错误；
（﹣a2）3=﹣a6，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
4. （2018·湖北省武汉·3分）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（　　）
A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6
【分析】根据多项式的乘法解答即可．
【解答】解：（a﹣2）（a+3）=a2+a﹣6，
故选：B．
【点评】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答．
5. （2018·重庆(A)·4分）按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是（ ）.
A. B. C. D.

【考点】代数式的运算
【解析】由题可知,代入、值前需先判断的正负，再进行运算方式选择。选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；选项，故将、代入，输出结果为，选项正确；选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；最终答案为选项。
【点评】本题为代数计算题型，根据运算程序，先进行的正负判断，选择对应运算方式，进行运算即可，难度简单。
二、填空题：
6.（2018四川省泸州市3分）分解因式：3a2﹣3=　 　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣3，
=3（a2﹣1），
=3（a+1）（a﹣1）．
故答案为：3（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7. （2018•山东菏泽•3分）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
8. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2018次输出的结果为__________．

【答案】1
【解析】【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】当x=625时,
当x=125时,=25，
当x=25时,=5，
当x=5时,=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时,=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时,=1，
…
(2018−3)÷2=1007…1，
即输出的结果是1，
故答案为：1.
【点评】考查代数式的求值，找出其中的规律是解题的关键.
三、解答与计算题：
9. （2018·湖北省宜昌·6分）先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=﹣4．
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：x（x+1）+（2+x）（2﹣x）
=x2+x+4﹣x2
=x+4，
当x=﹣4时，原式=﹣4+4=．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．
10. （2018秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定．
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a﹣b=0且b﹣c=0
即a=b=c，故该三角形是等边三角形．
【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）

A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长﹣边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有
3a﹣2b+2b×2
=3a﹣2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
12. （2018·山东威海·3分）已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出52x﹣3y的值为多少即可．
【解答】解：∵5x=3，5y=2，
∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x﹣3y==．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
13. （2018·湖北省宜昌·3分）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（　　）

A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20
C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，
∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得a、b、c的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，
∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
二、填空题：
14. （2018·浙江宁波·4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为 .

【考点】整式的混合运算
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
15. （2018·浙江宁波·4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 　.
【考点】因式分解
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）
=﹣3×5
=﹣15
故答案为：﹣15
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
三、解答与计算题：
16.计算：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
【解答】解：（1）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2
=﹣8a3﹣（﹣a）•9a2
=﹣8a3+9a3
=a3；
（2）（2a﹣3b）2﹣4a（a﹣2b）
=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+8ab
=﹣4ab+9b2．
17. 下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　 　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】阅读型．
【分析】（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（3）设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2﹣2x+1）2，
=（x﹣1）4．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
18. 千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．

考点： 多项式乘多项式．
分析： 根据矩形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案．
解答： 解：由题意，得
（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，5a2+3ab=5×32+3×3×2=63，
答：绿化的面积是5a2+3ab平方米，
当a=3，b=2时的绿化面积是63m2．
点评： 本题考查了多项式成多项式，利用了多项式乘多项式法则．
【探究篇】
19. （2018·浙江衢州·6分）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【考点】完全平方公式
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2+==a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
7. （2018·重庆(A)·5分）计算：
【考点】整式的乘除
【分析】 先进行单项式乘多项式，然后逆用平方差公式进行运算，再合并同类项.
解： 原式=
=
点评】本题考查了整式的乘除运算。
20. 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
考点： 因式分解的应用．
专题： 阅读型．
分析： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解答： 解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．
点评： 此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．