高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.3 球的表面积和体积同步练习题

《球的表面积与体积》同步测试

1．用与球心距离为

8 π

．

1 的平面去截球，所得截面圆的面积为          π，则球的表面积为    （        ）

32 π

3

C． 8 π                                                              D．

解析：选     C    设球的半径为      R，则截面圆的半径为

R2 －1 ，∴截面圆的面积为        S＝

π(  R2 － 1)2＝（ R2 －1）  π＝  π，∴ R2＝ 2，∴球的表面积

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为

（         ）

A．  16 π                                                           B． 20 π

S＝4 πR2＝ 8 π．

3，体积为    6，则这个球的表面积为

C． 24 π                                                            D． 32 π

解析：选  A     设正四棱锥的高为     h，底面边长为    a，由  V ＝a2h ＝a2＝ 6，得  a ＝   6．由

题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为

则  S 球＝ 4 πr2＝ 16 π．故选  A．

3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（

r ，则 （3 －r）2 ＋（   3） 2 ＝r2 ，解得  r ＝2，

）

A． 72 π

C． 30 π

B． 48 π

D． 24 π

解析：选   C    由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．

3 π×23×4＋ 2×3π×33＝30  π．

4．等体积的球和正方体的表面积

A． S 正方体 >S 球

C． S 正方体  ＝S 球

解析：选    A    设正方体的棱长为

S 球与 S 正方体  的大小关系是（

B． S 正方体<S 球

D ．无法确定

a，球的半径为     R，由题意，得

）

4 πR3 ＝a3 ，∴ a＝

V， R ＝      4 π，∴ S 正方体  ＝6a2 ＝63 V2 ＝ 3 216V2，  S球＝ 4 πR2 ＝ 3 36 πV2<3 216V2．

5．球的表面积

．

．

S1 与它的内接正方体的表面积       S2 的比值是（           ）

．

D．  π

解析：选   C    设球的内接正方体的棱长为       a，球的半径为     R，则   3a2＝ 4R2 ，所以   a2＝ 4

R2，球的表面积    S1 ＝4 πR2 ，正方体的表面积     S2＝ 6a2＝ 6×3R2 ＝8R2 ，所以 S2＝ 2．

6．已知正方体的棱长为      2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是

解析：过正方体的对角面作截面如图．

故球的半径   r ＝   2，

∴其表面积   S＝4 π×（    2） 2＝ 8 π．

答案：    8 π

7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为           a，则球的表面积为

________

________

解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面             （正方形）    的中心，经过四

个切点及球心作截面，如图，

所以有  2r1 ＝a，  r1＝   ，所以   S1 ＝4 πr＝ πa2．

答案：     πa2

8．圆柱形容器的内壁底半径是        10  cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这

个铁球，测得容器的水面下降了       5  cm，则这个铁球的表面积为     ________cm 2．

解析：设该铁球的半径为       r，则由题意得

铁球的表面积    S＝4 π×25＝ 100π（ cm2）．

答案：    100π

3 πr3 ＝ π×120×3，解得

9．若三个球的表面积之比为       1 ∶4 ∶ 9，求这三个球的体积之比．

解：设三个球的半径分别为

∵三个球的表面积之比为

∴4 πR ∶4 πR2  ∶4 πR ＝ 1 ∶ 即 R ∶R ∶ R ＝ 1 ∶4 ∶9，

R1， R2， R3，

1 ∶4 ∶9，

4 ∶9，

∴R1  ∶R2  ∶R3＝ 1 ∶2 ∶3，得  R ∶R ∶ R3 ＝ 1 ∶8 ∶27，

∴V1  ∶V2  ∶V3＝ 3πR1  ∶ πR ∶ πR＝ R ∶ R ∶ R＝ 1 ∶8 ∶27．

10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中                   r

＝ 1， l ＝ 3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积

S＝4 πr2＋ 2 πrl ＝4 π×21＋ 2 π× 1×＝310 π，该组合体的体积      V＝ πr3＋ πr2l ＝ π3 ＋ π×21×3

13 π

3