2022年河南省三甲名校中考数学原创押题试卷（四）（含解析）

2022年河南省三甲名校中考数学原创押题试卷（四）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 同学们，我们是届学生，这个数字的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 北京时间年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约秒后，神舟十三号载人飞船与火箭或功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富名航天员送入太空，飞行约万千米后对接于天和核心舱节点舱面向地球一侧的径向对接口．其中万用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，从侧面看这个几何体得到的图形是

A.
B. ．
C.
D.

4. 如图将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 某校足球社团有名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是

A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差
C. 众数、中位数 D. 众数、方差

6. 若方程有实数根．则实数的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 现有四张卡片依次写有“中”、“考”、“必”、“胜”四个字四张卡片除字不同外其它均相同，把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 某优秀毕业生向我校赠送本课外书，现用、两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用个；已知每个型纸箱比每个型纸箱可多装本．若设每个型纸箱可以装书本，则根据题意列得方程为

A.  B.
C.  D.

9. 如图．在中，，分别以点，为圆心．大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交、于点和点，若则的度数是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，，，动点沿折线运动到点，同时动点沿折线运动到点，点，在矩形边上的运动速度为每秒个单位长度，点，在矩形对角线上的运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 写一个大于小于的无理数______．
12. 在不等式组的解集中，最大的整数解是______．
13. 若点、都在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”、“”或“”．
14. 如图，扇形中，，平分交于点，点，分别是，上的动点，若，当最小时阴影部分的面积为______．
    
     

15. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）

17. 为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
    请根据以上的信息，回答下列问题：
    抽取的学生有______人，______，______；
    请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；
    我校有学生人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．

18. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
    几何定论，是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变如定长、定角、定比、定积等，或几何元素间的某些性质或位置关系不变如定点、定线、定方向等如图，点为外一点，过点为作直线与相交于点，，点为点关于的对称点，连接交于点，设的半径为．
    
    如图，当过点的直线与相切时，点，重合，可得．
    如图，当过点的直线与相交时，证明．
    证明：如图，连接，．
    ，关于对称，，依据．
    任务：
    上述证明过程中的依据是______；
    根据以上的证明提示，完成上述证明过程；
    如图，若，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
19. 某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯相比改造前增加的长度．结果精确到，参考数据：，，

20. 为纪念一二九运动周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：辆甲型客车与辆乙型客车的总载客量为人，辆甲型客车与辆乙型客车的总载客量为人．
    请帮忙算一算：辆甲型客车与辆乙型客车的载客量分别是多少人？
    我校八年级学生共人，拟租用甲、乙两型客车共辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲型客车的租金为元，每辆乙型客车的租金为元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线的顶点为，且过点．
    Ⅰ求抛物线的解析式；
    Ⅱ将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到新抛物线．
    若新抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，且，求的值；
    若，是新抛物线上的两点，当时，均有，请直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点可与点，重合，连接，已知，若要，求的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设长为，长为，长为，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：
    按照表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，表格中的______；

在同一平面直角坐标系中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
结合函数图象，解决问题：当时，估计的长度的取值范围是______；请根据图象估计当______时，取到最小值．请保留小数点后两位

23. 问题提出
    如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，点在内部，直线与交于点线段，，之间存在怎样的数量关系？
    问题探究
    先将问题特殊化如图，当点，重合时，直接写出表示，，之间的数量关系的等式：______；
    再探究一般情形如图，当点，不重合时，证明中的结论仍然成立．提示：过点作，交于点
    问题拓展
    如图，若和都是含的直角三角形，有，，点在内部，直线与交于点直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
由已知条件可求得，再由平行线的性质可得的度数，再利用三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，而岁人数有人，
故该组数据的众数为岁，
中位数为：岁．
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：．
由频数分布表可知年龄岁和年龄岁的两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：当时，是一元二次方程，
原方程有实数根，
，
；
当时，是一元一次方程，有实数根．
故选：．
当时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得，然后解不等式；当时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．进行分类讨论是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的有种结果，
所以抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】
 

【解析】解：每个型纸箱比每个型纸箱可多装本，且每个型纸箱可以装书本，
每个型纸箱可以装书本．
依题意得：．
故选：．
由每个型纸箱比每个型纸箱可多装本及每个型纸箱可以装书本，可得出每个型纸箱可以装书本，利用所需纸箱的数量赠送课外书的总数每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用型纸箱比单独使用型纸箱可少用个，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内内角和计算出，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
当点在上时，，

当点在线段上时，，

观察图象可知，选项D满足条件，
故选：．
分别求出点在，上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了无理数和估算无理数的大小．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】
解：写一个大于小于的无理数：可以是，
故答案为．  

12.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以最大整数解是，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象在第一、二象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
，
，
故答案为．
根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得与的大小．
考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于，在每个象限内，随的增大而减小．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于，交于点．

平分，
点关于的对称点在上，连接，
，
当，，共线且与重合时，的值最小，
此时

，
故答案为：．
如图，过点作于，交于点当，，共线且与重合时，的值最小，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
本题考查扇形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：如图所示，当时，，
，，在同一直线上，
由题可得，，，
中，，
，
，，
∽，
，即，
解得；
如图所示，当，，
由题可得，，
，
，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
当是直角三角形时，分两种情况进行讨论，或依据相似三角形的判定与性质以及折叠的性质，即可得到的长．
本题属于折叠问题，主要考查了勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题的关键是利用对应边和对应角相等．
 

16.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

．
 

【解析】原式先计算小括号内的减法，再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则以及平方差公式的结构是解题关键．
 

17.【答案】   
 

【解析】解：抽取的学生有人，
，
，
，
，
故答案为：，，；
参加朗诵社团活动的学生人数为人，
补全条形统计图如图：
；
估计参加乒乓球社团活动的学生人数为人．
答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数人．
由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得的值；
先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；
用总人数乘以样本中参加乒乓球社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

18.【答案】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
 

【解析】故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
证明：如图，
，关于对称，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
；
由得：，
，，
，
，
，
故的半径为：．
根据圆周角定理即可得出答案；
通过两个角分别相等来证明∽，得，即；
由得：，将，代入即可．
本题主要考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
则，
答：改造后的斜坡式自动扶梯相比改造前增加的长度约为．
 

【解析】根据含角的直角三角形的性质求出，根据正弦的定义求出，根据题意计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设辆甲型客车与辆乙型客车的载客量分别是人、人，
由题意可得：，
解得，
答：辆甲型客车与辆乙型客车的载客量分别是人、人；
设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，总费用为元，
，
随的增大而减小，
我校八年级学生共人，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：最节省费用的租车方案是租用甲型客车辆，乙型客车辆，最低费用是元．
 

【解析】根据辆甲型客车与辆乙型客车的总载客量为人，辆甲型客车与辆乙型客车的总载客量为人，可以列出相应的二元一次方程，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以写出总费用和甲型客车数量关系式，然后根据一次函数的性质和甲型客车数量的取值范围，可以最低的总费用即此时的租车方案．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

21.【答案】解：Ⅰ抛物线的顶点为，
设，
将点代入，
解得，
；
Ⅱ抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
令，则或，
点在点的左侧，
，，
，
，
，
，
；
新抛物线的对称轴为直线，
对称轴与点的距离为，对称轴与点的距离为，
，
，
，
当时，均有，
，，
．
 

【解析】Ⅰ设，将点代入即可求解；
Ⅱ求出平移后函数解析式，求出，，再由题意可得；
新抛物线对称轴与点的距离为，对称轴与点的距离为，由题意可得，则，再由当时，均有，可得，，即可求．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，正确求解不等式是解题的关键．
 

22.【答案】   
 

【解析】解：如图：

时，
，，
是中点，
四边形是菱形，
为对角线与的交点，
，
是中点，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
画出函数的图象如图：

由图象可知，当时，估计的长度的取值范围是，
根据图象估计当时，取到最小值，
故答案为：，．
由，，可知为对角线与的交点，即得，，而，可得，故C，即可得答案；
根据表格描点，连线即可得到函数的图象；
观察函数图象即可得答案．
本题考查函数的图象及菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】
 

【解析】问题探究：解：结论：；
理由：如图，，，
，
，，
≌，
，，
而点、重合，故BE，
而为等腰直角三角形，
故DE，
则；
即；
故答案为：；

证明：如图，由知，≌，

，，
过点作交于点，
，，
，
，，
≌，
，，
故为等腰直角三角形，则，
则，
即；

问题拓展：解：结论：．
理由：和都是含的直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
，
过点作交于点，

由知，，
∽，
，
则，，
在中，，
则，
即．
问题探究：证明≌，则为等腰直角三角形，故DE，进而求解；
由知，≌，再证明≌，得到为等腰直角三角形，则，即可求解；
问题拓展：证明∽和∽，得到，则，，进而求解．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．