2022年河南省三甲名校中考数学原创押题试卷（四）

这是一份2022年河南省三甲名校中考数学原创押题试卷（四），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）同学们，我们是2022届学生，这个数字2022的相反数是（ ）
A．2022B．12022C．﹣2022D．−12022
2．（3分）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭或功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行约18.2万千米后对接于天和核心舱节点舱面向地球一侧的径向对接口．其中18.2万用科学记数法表示为（ ）
A．1.82×105B．18.2×105C．18.2×104D．0.182×106
3．（3分）如图，从侧面看这个几何体得到的图形是（ ）
A．B．.C．D．
4．（3分）如图将直尺与45°角的三角尺叠放在一起，若α＝20°，则β的度数为（ ）
A．65°B．70°C．60°D．80°
5．（3分）某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差
C．众数、中位数D．众数、方差
6．（3分）若方程ax2+2x+1＝0有实数根．则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
7．（3分）现有四张卡片依次写有“中”、“考”、“必”、“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率是（ ）
A．13B．14C．16D．56
8．（3分）某优秀毕业生向我校赠送1080本课外书，现用A、B两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用B型纸箱比单独使用A型纸箱可少用6个；已知每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本．若设每个A型纸箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．1080x=1080x−15+6B．1080x=1080x−15−6
C．1080x+15=1080x−6D．1080x+15=1080x+6
9．（3分）如图．在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心．大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠C＝52°．则∠CAD的度数是（ ）
A．22°B．24°C．26°D．28°
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为1秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写一个大于﹣2小于﹣1的无理数 ．
12．（3分）在不等式组x−2≥02x≤9的解集中，最大的整数解是 ．
13．（3分）若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y=5x的图象上，则y1 y2（填“＜”、“＞”或“＝”）．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交AB于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝23，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝22，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（a2a−b−2ab−b2a−b）÷a−bab，其中a＝2+3，b＝2−3．
17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 人，n＝ ，a＝ ；
（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；
（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．
18．（9分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
几何定论，是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长、定角、定比、定积等），或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点、定线、定方向等）如图①，点A为⊙O外一点，过点A为⊙O作直线与⊙O相交于点B，C，点B'为点B关于OA的对称点，连接B'C交OA于点M，设⊙O的半径为R．
如图②，当过点A的直线与⊙O相切时，点B，C重合，可得R2＝OA•OM．
如图③，当过点A的直线与⊙O相交时，证明R2＝OA•OM．
证明：如图③，连接OC，CD．
∵B，B′关于OA对称，∴BD=B'D，∴∠1＝∠2（依据）．
任务：
（1）上述证明过程中的依据是 ；
（2）根据以上的证明提示，完成上述证明过程；
（3）如图③，若OA＝5，OM＝1，求⊙O的半径．
19．（9分）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
20．（9分）为纪念一二•九运动86周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：3辆甲型客车与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人．
（1）请帮忙算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
（2）我校八年级师生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，4），且过点（0，13）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（5，y2）是新抛物线上的两点，当n﹣1≤x1≤n时，均有y1≤y2，请直接写出n的取值范围．
22．（10分）如图，在菱形ABDE中，∠ABD＝120°，点C是边AB的中点，点P是对角线AD上的动点（可与点A，D重合），连接PC，PB．已知AD＝6cm，若要PC≤PB，求AP的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP长为xcm，PC长为y1cm，PB长为y2cm，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，表格中的a＝ ；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC≤PB时，估计AP的长度的取值范围是 ；请根据图象估计当AP＝ 时，PC取到最小值．（请保留小数点后两位）
23．（11分）问题提出
如图（1），△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出表示AF，BF，CF之间的数量关系的等式： ；
（2）再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C作CG⊥CF，交BF于点G）
问题拓展
如图3，若△ABC和△DEC都是含30°的直角三角形，有∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
2022年河南省三甲名校中考数学原创押题试卷（四）
答案与详解
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）同学们，我们是2022届学生，这个数字2022的相反数是（ ）
A．2022B．12022C．﹣2022D．−12022
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的相反数是﹣2022，
故选：C．
2．（3分）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭或功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行约18.2万千米后对接于天和核心舱节点舱面向地球一侧的径向对接口．其中18.2万用科学记数法表示为（ ）
A．1.82×105B．18.2×105C．18.2×104D．0.182×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：18.2万＝182000＝1.82×105．
故选：A．
3．（3分）如图，从侧面看这个几何体得到的图形是（ ）
A．B．.C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形．
故选：A．
4．（3分）如图将直尺与45°角的三角尺叠放在一起，若α＝20°，则β的度数为（ ）
A．65°B．70°C．60°D．80°
【分析】由已知条件可求得∠ABC＝65°，再由平行线的性质可得∠BCD的度数，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠α＝20°，∠EBC＝45°，
∴∠ABC＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝115°，
∴∠β＝115°﹣45°＝70°．
故选：B．
5．（3分）某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差
C．众数、中位数D．众数、方差
【分析】由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为14，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+14﹣x＝14，而14岁人数有15人，
故该组数据的众数为14岁，
中位数为：（14+14）÷2＝14（岁）．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
6．（3分）若方程ax2+2x+1＝0有实数根．则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0
【分析】当a≠0时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得Δ＝22﹣4a×1＝4﹣4a≥0，然后解不等式；当a＝0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．
【解答】解：当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴Δ＝22﹣4a×1＝4﹣4a≥0，
∴a≤1；
当a＝0时，2x+1＝0是一元一次方程，有实数根．
故选：B．
7．（3分）现有四张卡片依次写有“中”、“考”、“必”、“胜”四个字（四张卡片除字不同外其它均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从中随机抽取两张，则抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率是（ ）
A．13B．14C．16D．56
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的有2种结果，
所以抽到的汉字恰好是“必”、“胜”的概率为212=16，
故选：C．
8．（3分）某优秀毕业生向我校赠送1080本课外书，现用A、B两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用B型纸箱比单独使用A型纸箱可少用6个；已知每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本．若设每个A型纸箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．1080x=1080x−15+6B．1080x=1080x−15−6
C．1080x+15=1080x−6D．1080x+15=1080x+6
【分析】由每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本及每个A型纸箱可以装书x本，可得出每个B型纸箱可以装书（x+15）本，利用所需纸箱的数量＝赠送课外书的总数÷每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用B型纸箱比单独使用A型纸箱可少用6个，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本，且每个A型纸箱可以装书x本，
∴每个B型纸箱可以装书（x+15）本．
依题意得：1080x+15=1080x−6．
故选：C．
9．（3分）如图．在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心．大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠C＝52°．则∠CAD的度数是（ ）
A．22°B．24°C．26°D．28°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DAB＝∠B，再利用等腰三角形的性质和三角形内内角和计算出∠BAC＝76°，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣2×52°＝76°，
∵∠DAB＝∠B＝52°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝76°﹣52°＝24°．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为1秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∴BD＝2AD＝6，
当点P在AD上时，S=12•（8﹣2t）•（4﹣t）•sin60°=32（4﹣t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，S=12（16﹣2t）•32（t﹣4）=−32t2+63t﹣163（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写一个大于﹣2小于﹣1的无理数 −π2 ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：写一个大于﹣2小于﹣1的无理数−π2（答案不唯一），
故答案为：−π2．
12．（3分）在不等式组x−2≥02x≤9的解集中，最大的整数解是 x＝4 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【解答】解：x−2≥0①2x≤9②，
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x≤92，
所以不等式组的解集是2≤x≤92，
所以最大整数解是4，
故答案为：x＝4．
13．（3分）若点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y=5x的图象上，则y1 ＞ y2（填“＜”、“＞”或“＝”）．
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小．
【解答】解：反比例函数y=5x中，k＝5＞0，
∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
14．（3分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交AB于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝23，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 π−3 ．
【分析】如图，过点B作BH⊥OA于H，交OC于点D′．当B，D，E′共线且与BH重合时，BD+DE的值最小，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥OA于H，交OC于点D′．
∵OC平分∠AOB，
∴点E关于OC的对称点E′在OA上，连接DE′，
∵DE+DB＝BD+DE′≥BH，
∴当B，D，E′共线且与BH重合时，BD+DE的值最小，
此时S阴＝S扇形OBC﹣S△OBD′
=30π×(23)2360−12×23×1
＝π−3，
故答案为：π−3．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝22，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D．则当△A'DF是直角三角形时，FD的长是 322或22−1 ．
【分析】当△A'DF是直角三角形时，分两种情况进行讨论，∠DA'F＝90°或∠A'FD＝90°．依据相似三角形的判定与性质以及折叠的性质，即可得到DF的长．
【解答】解：如图①所示，当∠DA'F＝90°时，∵∠EA'F＝∠A＝90°，
∴E，A'，D在同一直线上，
由题可得，AD＝BC=22，AE=12AB＝1＝A'E，
Rt△ADE中，DE=AE2+AD2=12+(22)2=3，
∴A'D＝3﹣1＝2，
∵∠DA'F＝∠A，∠A'DF＝∠ADE，
∴△ADE∽△A'DF，
∴DFDE=DA'DA，即DF3=222，
解得DF=322；
如图②所示，当∠A'FD＝90°，∠AFA'＝90°，
由题可得，∠AFE=12∠AFA'=45°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AF＝AE＝1，
∴DF＝AD﹣AF=22−1；
综上所述，DF的长为322或22−1．
故答案为：322或22−1．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（a2a−b−2ab−b2a−b）÷a−bab，其中a＝2+3，b＝2−3．
【分析】原式先计算小括号内的减法，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式=a2−2ab+b2a−b⋅aba−b
=(a−b)2a−b⋅aba−b
＝ab，
当a＝2+3，b＝2−3时，
原式＝（2+3）（2−3）
＝4﹣3
＝1．
17．（9分）为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
请根据以上的信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生有 200 人，n＝ 54 ，a＝ 25 ；
（2）请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；
（3）我校有学生2400人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．
【分析】（1）由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用360°乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得n，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得a的值；
（2）先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；
（3）用总人数乘以样本中参加乒乓球社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．
【解答】解：（1）抽取的学生有80÷40%＝200（人），
360°×30200=54°，
∴n＝54，
50200×100%＝25%，
∴a＝25，
故答案为：200，54，25；
（2）参加朗诵社团活动的学生人数为200﹣（50+30+80）＝40（人），
补全条形统计图如图：
；
（3）估计参加乒乓球社团活动的学生人数为2400×40%＝960（人）．
答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数960人．
18．（9分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
几何定论，是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长、定角、定比、定积等），或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点、定线、定方向等）如图①，点A为⊙O外一点，过点A为⊙O作直线与⊙O相交于点B，C，点B'为点B关于OA的对称点，连接B'C交OA于点M，设⊙O的半径为R．
如图②，当过点A的直线与⊙O相切时，点B，C重合，可得R2＝OA•OM．
如图③，当过点A的直线与⊙O相交时，证明R2＝OA•OM．
证明：如图③，连接OC，CD．
∵B，B′关于OA对称，∴BD=B'D，∴∠1＝∠2（依据）．
任务：
（1）上述证明过程中的依据是 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ；
（2）根据以上的证明提示，完成上述证明过程；
（3）如图③，若OA＝5，OM＝1，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案；
（2）通过两个角分别相等来证明△OCM∽△OAC，得OCOA=OMOC，即OC2＝OA•OM；
（3）由（2）得：R2＝OA•OM，将OA＝5，OM＝1代入即可．
【解答】（1）故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）证明：如图③，
∵B，B'关于OA对称，
∴BD=B'D，
∴∠1＝∠2，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠ODC是△ADC的外角，
∴∠ODC＝∠A+∠1，
∵∠OCD＝∠2+∠OCM，
∴∠A+∠1＝∠OCM+∠2，
∴∠A＝∠OCM，
又∵∠O＝∠O，
∴△OCM∽△OAC，
∴OCOA=OMOC，
∴OC2＝OA•OM，
∵OC＝R，
∴R2＝OA•OM；
（3）由（2）得：R2＝OA•OM，
∵OA＝5，OM＝1，
∴R2＝5×1＝5，
∵R＞0，
∴R=5，
故⊙O的半径为：5．
19．（9分）某商场从安全和便利的角度出发，提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义求出AC，根据题意计算即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝6m，
∴AB＝2AD＝12m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝16°，AD＝6m，
∴AC=ADsin∠ACD≈60.28≈21.42（m），
则AC﹣AB＝21.42﹣12≈9.4（m），
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC相比改造前AB增加的长度约为9.4m．
20．（9分）为纪念一二•九运动86周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：3辆甲型客车与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人．
（1）请帮忙算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
（2）我校八年级师生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【分析】（1）根据3辆甲型客车与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人，可以列出相应的二元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出总费用和甲型客车数量关系式，然后根据一次函数的性质和甲型客车数量的取值范围，可以最低的总费用即此时的租车方案．
【解答】解：（1）设1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是a人、b人，
由题意可得：3a+4b=2762a+3b=199，
解得a=32b=45，
答：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是32人、45人；
（2）设租用甲型客车x辆，则租用乙型客车（20﹣x）辆，总费用为w元，
w＝800x+1000（20﹣x）＝﹣200x+20000，
∴w随x的增大而减小，
∵我校八年级学生共850人，
∴32x+45（20﹣x）≥850，
解得x≤31113，
∵x为整数，
∴当x＝3时，w取得最小值，此时w＝19400，20﹣x＝17，
答：最节省费用的租车方案是租用甲型客车3辆，乙型客车17辆，最低费用是19400元．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，4），且过点（0，13）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（5，y2）是新抛物线上的两点，当n﹣1≤x1≤n时，均有y1≤y2，请直接写出n的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设y＝a（x﹣3）2+4，将点（0，13）代入即可求解；
（Ⅱ）①求出平移后函数解析式y＝（x﹣1）2+4﹣m，分两种情况：当A点在x轴负半轴时，求出OA=m−4−1，OB=m−4+1，再由题意可得m＝8；当A点在x轴正半轴时，求出OA＝1−m−4，OB=m−4+1，再由题意可得m=174；
②新抛物线对称轴与P点的距离为|1﹣x1|，对称轴与Q点的距离为4，由题意可得|1﹣x1|≤4，则﹣3≤x1≤5，再由当n﹣1≤x1≤n时，均有y1≤y2，可得n﹣1≥﹣3，n≤5，即可求﹣2≤n≤5．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，4），
设y＝a（x﹣3）2+4，
将点（0，13）代入y＝a（x﹣3）2+4，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣6x+13；
（Ⅱ）①∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度，
∴y＝（x﹣1）2+4﹣m，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4，
令y＝0，则x=m−4+1或x=−m−4+1，
∵点A在点B的左侧，当A在x轴负半轴时，
∴OA=m−4−1，OB=m−4+1，
∵OB＝3OA，
∴3m−4−3=m−4+1，
∴2m−4=4，
∴m−4=2，
∴m＝8；
当A在x轴正半轴时，
∴OA＝1−m−4，OB=m−4+1，
∵OB＝3OA，
∴3﹣3m−4=m−4+1，
∴4m−4=2，
∴m−4=12，
∴m=174；
综上所述：m的值为8或174；
②∵新抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴对称轴与P点的距离为|1﹣x1|，对称轴与Q点的距离为4，
∵y1≤y2，
∴|1﹣x1|≤4，
∴﹣3≤x1≤5，
∵当n﹣1≤x1≤n时，均有y1≤y2，
∴n﹣1≥﹣3，n≤5，
∴﹣2≤n≤5．
22．（10分）如图，在菱形ABDE中，∠ABD＝120°，点C是边AB的中点，点P是对角线AD上的动点（可与点A，D重合），连接PC，PB．已知AD＝6cm，若要PC≤PB，求AP的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP长为xcm，PC长为y1cm，PB长为y2cm，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，表格中的a＝ 1.73 ；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC≤PB时，估计AP的长度的取值范围是 0≤AP≤3 ；请根据图象估计当AP＝ 1.50 时，PC取到最小值．（请保留小数点后两位）
【分析】（1）由AD＝6cm，AP＝3cm，可知P为对角线AD与BE的交点，即得∠APB＝90°，CP=12AB，而∠ABD＝120°，可得BP=12AB，故CP＝BP＝1.73，即可得答案；
（2）根据表格描点，连线即可得到函数y1的图象；
（3）观察函数图象即可得答案．
【解答】解：（1）如图：
x＝3时，
∵AD＝6cm，AP＝x＝3cm，
∴P是AD中点，
∵四边形ABDE是菱形，
∴P为对角线AD与BE的交点，
∴∠APB＝90°，
∵C是AB中点，
∴CP=12AB，
∵∠ABD＝120°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP=12AB，
∴CP＝BP＝y2＝1.73，即a＝1.73，
故答案为：1.73；
（2）画出函数y1的图象如图：
（3）由图象可知，当PC≤PB时，估计AP的长度的取值范围是0≤AP≤3，
根据图象估计当AP＝1.50时，PC取到最小值，
故答案为：0≤AP≤3，1.50．
23．（11分）问题提出
如图（1），△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出表示AF，BF，CF之间的数量关系的等式： BF﹣AF=2CF ；
（2）再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．（提示：过点C作CG⊥CF，交BF于点G）
问题拓展
如图3，若△ABC和△DEC都是含30°的直角三角形，有∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝30°，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．
【分析】问题探究：（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），则△CDE为等腰直角三角形，故DE＝EF=2CF，进而求解；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），再证明△BCG≌△ACF（ASA），得到△GCF为等腰直角三角形，则GF=2CF，即可求解；
问题拓展：证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到BGAF=BCAC=GCCF=13，则BG=33AF，GC=33FC，进而求解．
【解答】问题探究：（1）解：结论：BF﹣AF=2CF；
理由：如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，
而点D、F重合，故BE＝AD＝AF，
而△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF=2CF，
则BF＝BD＝BE+ED＝AF+2CF；
即BF﹣AF=2CF；
故答案为：BF﹣AF=2CF；
（2）证明：如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，则GF=2CF，
则BF＝BG+GF＝AF+2CF，
即BF﹣AF=2CF；
问题拓展：解：结论：BF=33AF+233FC．
理由：∵△ABC和△DEC都是含30°的直角三角形，
∴BC=3AC，EC=3CD，
∴BCAC=ECCD=3，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
由（2）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴BGAF=BCAC=GCCF=13，
则BG=13AF，GC=13FC，
在Rt△CGF中，GF=GC2+FC2=2CF，
FG=233CF
则BF＝BG+GF=33AF+233FC，
即BF=33AF+233FC．
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
12
15
x
14﹣x
9
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
1.73
1.00
1.00
a
2.64
3.61
4.58
y2/cm
3.46
2.64
2.00
1.73
2.00
2.64
3.46
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
12
15
x
14﹣x
9
中
考
必
胜
中
考，中
必，中
胜，中
考
中，考
必，考
胜，考
必
中，必
考，必
胜，必
胜
中，胜
考，胜
必，胜
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
1.73
1.00
1.00
a
2.64
3.61
4.58
y2/cm
3.46
2.64
2.00
1.73
2.00
2.64
3.46