2022年河南省开封市中考一模数学试卷

2022年开封市一模数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 的相反数是（    ）

A．2022   B．-2022   C．   D．

2. 2021年，我国国内生产总值（GDP）比上年增长8.1%，达到114.4万亿元，稳居全球第二大经济体，其中114.4万亿用科学记数法表示为（    ）

A．1.144×102  B．1.144×106  C．1.144×1014  D．1.144×1015

3. 下面四种化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（    ）

A．    B．    C．   D．

4. 下列计算正确的是（    ）

A．a+2a=3a2    B．a6÷a2=a3   C．(a3)4=a7   D．-(2a2)3=-8a6

5. 如图，直线a，b被直线l所截，∠1=60°，∠2=120°，求证：a∥b．下面是某同学的证明过程：

则下列描述正确的是：

A．同位角相等，两直线平行       B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行     D．两直线平行，同旁内角互补

6. “冰墩墩”和“雪容融”分别是2022年北京冬、残奥会的吉祥物，小刚在六张卡片（质地均匀，外表无差别）上分别写了“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，将其背面向上洗匀，从中一次性随机抽取两张，则他拿到的恰好是“冰雪”两张的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

7. 数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于一元二次方程ax2+bx-1=0的根的情况是（    ）

A．有两个相等的实数根   B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根      D．只有一个实数根

8. 关于某个函数的表达式，小明、小刚、小华三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．

小明：函数图象经过(1，1)；

小刚：函数图象经过第三象限；

小华：当x＞0时，y随x的增大而减小．

则这个函数表达式是（    ）

A．y=x    B．   C．   D．y=x2

9. 如图，已知直线y1=x+m与y2=kx-1相交于点P(-1，1)，则关于x的不等式x+m＜kx-1的解集是（    ）

A．x＜-1   B．x＞-1   C．x≤-1   D．x≥-1

10. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2 022次得到正方形OA2 022B2 022C2 022，如果点C的坐标为(0，1)，那么点B2 022的坐标为（    ）

A．(0，)  B．(，0)  C．(-1，1)   D．(-1，-1)

二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 赋予“2a”一个实际意义为_______________________．
12. 如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：

步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；

步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，

两弧相交于点D；

步骤3：连接CD，且过A，B作直线

则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是______________．

13. 计算：______________．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=，对角线AC与BD相交于点O，

BE⊥AC，垂足为E，且BE平分∠CBD，则BE的长为__________．

15. 如图，直线y=2x+3与两坐标轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的一个动点，过P作y轴的平行线，交直线y=x+4于Q，△OPQ绕点O逆时针旋转30°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值为_____________．

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16. （10分）

（1）计算；

（2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解：去分母，得：3(2+x)＜2(2x-1)+12      第一步

去括号，得：6+3x＜4x-2+12        第二步

移项，得：3x-4x＜-2+12-6         第三步

合并同类项，得：-x＜4          第四步

系数化为1，得：x＜-4          第五步

任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据_______________进行变形的．

②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________．

任务二：请直接写出该不等式的正确解集：_____________________．

任务三：根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项提出一条合理化建议．

17. （9分）某市按照《关于切实做好2022年初中毕业升学体育考试工作的通知》，要求从“立定跳远”、“篮球运球”、“双手正面实心球”、“足球运球”四个项目任选其一报名考试．某校为了解九年级学生任选项目的报名情况，把上述四个项目依次记为A，B，C，D，根据调查统计结果，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）参与本次问卷调查的总人数为_________人，在图2中C，D所占的圆心角的度数应分别为_________、_________；

（2）请补全图2中的扇形统计图；

（3）若该市九年级有20 000名学生，请估计该市九年级选择“足球运球”的学生人数；

（4）请根据该校九年级目前的选择情况，对学校的相关部门在购置体育训练器材方面提出一条合理化建议．

18. （9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A，C，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B(1，m)．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）直线y=x（x＞0）上有一动点P，过点P作y轴的垂线，交直线y=x+3于点M，过点P作x轴的垂线，交函数y=（x＞0）的图象于点N．当线段PM与PN的长度相等时，求点P的坐标．

19. （9分）北京2022年冬奥会自由式滑雪和单板滑雪比赛的场地首钢滑雪大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB的垂直高度，如图，选取的测量点C，D与AB的底部B在同一水平线上．测得CD的长度为15 m，在C，D处测得跳台顶部A的仰角分别为37.5°，45°，求跳台AB的高度．（结果精确到1 m．参考数据：sin37.5°≈0.609，cos37.5°≈0.793，tan37.5°≈0.767）

20. （9分）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5 m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，AP与⊙O相切．若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米．连接AC，AB．

请解答下列问题：

（1）求证：∠PAC=∠PBA；

（2）请求出水槽AP的长度．

21. （9分）万岁山大宋武侠城是以宋文化、城墙文化和七朝文化为景观核心，以大宋武侠文化为旅游特色，以森林自然为格调，兼具休闲娱乐功能的多主题、多景观的大型游览景区．该景区有A，B两种风格的古代服装深受广大游客喜爱，经了解发现，某商店购进A种服装1件和B种服装2件共需110元；购进A种服装2件和B种服装3件共需190元．

（1）分别求出A种服装和B种服装的单价；

（2）若该商店决定要购进这两种服装共100件，其中A种服装的数量不低于B种服装数量的，在购进时，商家为了促销每件A种服装优惠5元，请问如何购进A，B两种服装，使得所需费用最低，并求出最低费用．

22. （10分）已知抛物线y=x2+bx+c的图象开口向上，且经过点A(0，3)，B(，)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M向下平移t（t＞0）个单位长度时与直线BC只有一个交点，求t的取值范围．

23. （10分）阅读理解：

如图1，在△ABC中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，与BC和BA分别交于点X，Y；再分别以点X，Y为圆心，大于XY的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线BD与AC交于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

观察思考：

依据上述操作可得：

①∠ABE与∠CBE的大小关系为______________；

②BF与EF的数量关系为______________．

拓展延伸：

如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线交于点D，过D作

DF∥BC分别交AC，AB于点E，F，请判断EF与BF，CE之间的数量关系，并说明理由．

问题解决：

如图3，在□ABCD中，∠A=30°，AD=，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在直线DC上方的A'处，当△A'DC是直角三角形时，请直接写出线段AB的长度．

参考答案

一、选择题

1. D
2. C
3. B
4. D
5. C
6. A
7. B
8. B
9. A
10. C

二、填空题

11. 答案不唯一，如：每斤青菜2元，2a表示购买该青菜a斤的费用．
12. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

三、解答题

16. （1）解：原式=1+2-1-6=-4．

（2）任务一：①不等式的两边乘同一个正数，不等号的方向不变．

②五；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变．

任务二：x＞-4．

任务三：答案不唯一，合理即可．

17. （1）1 000，108°，144°；

（2）如图所示为补全图形：

（3）20 000×40%=8 000（人）；

答：该市九年级选择“足球运球”的学生人数为8 000人．

（4）答案不唯一，合理即可。如：多购进足球器材等．

18. 解：（1）将B(1，m)代入y=x+3得m=1+3=4，

∴B(1，4)．

将B(1，4)代入得k=4，

∴反比例函数解析式为；

（2）设P(a，a)（a＞0），

∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，

∴M(a-3，a)，N(a，)，

∴PM=a-(a-3)=3，．

∵PM=PN，

∴．

当时，a2-3a-4=0，a1=4，a2=-1（舍去），

∴P(4，4)．

当时，a2+3a-4=0，a1=1，a2=-4（舍去），

∴P(1，1)．

即当PM=PN时，点P的坐标为(1，1)或(4，4)．

19. 解：由已知可得AB⊥BC，∠ADB=45°．

∴AB=BD．

设AB=BD=x，

∵CD=15，

∴BC=x+15．

在Rt△BCA中，AB=BCtan∠BCA，∠ACB=37.5°，

∴x=(x+15)tan37.5°．

∵tan37.5°≈0.767，

∴x≈0.767(x+15)，

∴x≈49，即跳台AB的高度为49米．

20. 解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF．

∵AF是直径，

∴∠ABF=90°．

∴∠FBC+∠PBA=90°．

∵AP为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°．

∴∠PAC+∠FAC=90°．

∵∠FBC=∠FAC，

∴∠PAC=∠PBA．

（2）连接OB，OC，过点O作OG⊥BC于点G，则OG=5-2=3（米）．

又∵OB=OC，

∴BG=CG．

在Rt△OGB中，BG==4（米），

∴BC=8米．

∴PB=32+8=40（米）

由（1）知∠PAC=∠PBA，

又∵∠APC=∠BPA，

∴△PAC∽△PBA，

∴，AP2=PB·PC，

∴AP==（米），

答：水槽AP的长度为米．

21. 解：（1）设A种服装单价x元，B种服装单价y元．

由题意可知：，

解得，

答：A种服装单价50元，B种服装单价30元．

（2）设购A种服装a件，B种服装(100-a)件，总费用为W元．

W=(50-5)a+30(100-a)=15a+3 000，

∵，

∴a≥25，

∵15＞0，

∴W随a的增大而增大．

∴当a最小为25时，W最小为15×25+3 000=3 375（元）

即购进A种服装25件，B种服装75件，费用最低为3 375元．

22. 解：（1）由题意，把A(0，3)和B(，)代入y=x2+bx+c中：

得，

解得．

∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+3．

（2）y=x2-2x+3=(x-1)2+2，

抛物线顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1．

（3）由题意知：C(2，3)，D(4，11)，

又∵B(，)，

∴直线BC的解析式为y=x+2．

与y轴的交点A′坐标为(0，2)，抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，图象G向下平移1个单位时，图象G′与直线BC有2个公共点，

不合题意，如图所示：

当D向下平移到直线BC上时，点D的坐标为(4，11)，

如图所示：继续向下平移则没有交点，此时11-4=7，

∴当1＜t≤7时，图像G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点．

23. 解：（1）①∠ABE=∠CBE；

②BF=EF．

（2）EF=BF-CE．

理由如下：

∵EF//BC，

∴∠CBD=∠FDB，∠GCD=∠FDC．

∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACG，

∴∠FBD=∠CBD，∠GCD=∠ECD．

∴∠FBD=∠FDB，∠FDC=∠ECD．

∴FB=FD，ED=EC．

∴EF=FD-ED=BF-CE，即EF=BF-CE．

（3）AB=4或6．