分式方程及应用--学案

教学目标：

知识梳理

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)

解分式方程的一般方法和步骤     

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 

(2)解这个整式方程。     

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。 

  注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

典型例题

1.下列方程：（1）=5（2）=（3）=x-1（4）

其中属于分式方程的有             

2.下列运算错误的是(　　)

A. = (c≠0)　　B. =-1　　C. =　　D. =

3.在括号里填上适当的整式,使等式成立:

(1) =;　　(2) =;　　(3) =;　　(4) =.

4.(2011浙江杭州,15(1),★☆☆)已知分式,当x=2时,分式无意义,则a=______.

5.若x+=3 ,则x2+=      

6.分式方程+1=有增根，则m=        

7.(2014江苏靖江期中,6,★★☆)若-=,则--3的值是(　　)

A.-2　　B.2　　C.3　　D.-3

8.解分式方程

练习：

1、=成立的条件是        

2、已知与的和等于，则a=         , b =        

3、若-=2,则的值是______.

4、解下列分式方程

（1）                    （2）

（3）                  （4）

（5）

分式方程的增根问题

例1：分式方程+1=有增根，则m=    

例2：当k的值等于         时，关于x的方程不会产生增根；

例3：若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。

例4：取         时，方程会产生增根；

例5：若关于x的分式方程无解，则m的值为__________。

例6：当k取什么值时？分式方程有增根.

例7：若方程有增根，则m的值是（        ）A．4     B．3     C．-3     D．1

例8：若方程有增根，则增根可能为（    ）

A、0            B、2             C、0或2         D、1

巩固训练

1：如果分式的值为－1，则x的值是          ；

2：要使的值相等，则x=__________。

3：当m=_____时，方程=2的根为.

4：如果方程 的解是x＝5，则a＝      。

5：(1)       (2) 

6:解方程：

7：已知：关于x的方程无解，求a的值。

8：已知关于x的方程的根是正数，求a的取值范围。

9：若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；

10：当m为何值时间？关于的方程的解为负数？

11：解关于的方程

12：解关于x的方程:

13：当a为何值时, 的解是负数?

14：先化简,再求值:,其中x,y满足方程组

15知关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。

分式方程的应用

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

3．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)

分式方程的解法   

1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。  

2．解分式方程的一般方法和步骤     

3．(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 

(4)解这个整式方程。     

(5)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。 

  注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

4. 增根的产生的原因：    对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。 

 一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤： 

 1．审清题意； 

 2．设未知数；  

 3．根据题意找等量关系，列出分式方程；

 4．解分式方程，并验根；  

 5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案 

常见的实际问题中等量关系 

1. 工程问题 

  1．工作量＝工作效率×工作时间 

  2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

2. 营销问题   

1．商品利润＝商品售价一商品成本价； 

2．；  

 3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；  

 4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．

3. 行程问题  

 1．路程＝速度×时间

 2．在航行问题中，其中数量关系是：      顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；     3．航空问题类似于航行问题．

规律方法指导    

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．  

 2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

典型例题

一、营销类应用性问题

例1  某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？

二、工程类应用性问题

例2  某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

三、行程中的应用性问题

例3   甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．

分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．

解：设普通快车车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得

=，解得，

经检验，是方程的根，且符合题意．

∴，，

即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．

列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．

四、轮船顺逆水应用问题

例4  轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度

五、浓度应用性问题

例5  要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．

六、货物运输应用性问题

例6   一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运次、次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．

问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；

⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)

巩固训练

1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）．

2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．

4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（   ）

Ａ．6天   Ｂ．4天   Ｃ．3天   Ｄ．2天

5、炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（  ）

A．  B． C．   D．

6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量．

7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜kg，根据题意，可得方程（  ）

A．    B．  

C．    D．

8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:

9、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？

10、南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固河堤m，则得方程为________．

11、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进价，利润率）

11、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修m，则根据题意可得方程___________

．

13、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？

14、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

15、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．

16、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要天；甲队每天的工作费用为元、乙队每天的工作费用为元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？

17、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

18、轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是______千米/时．