高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.2 等差数列教案，共8页。教案主要包含了等差数列的概念，等差数列中的基本计算，等差数列的判定与证明等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算.2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属鸡的居多一些，同样是属鸡的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列．
一、等差数列的概念
问题 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，…
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？
提示 对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律．
知识梳理
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列．
例1 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
①1,3,5,7,9，…；
②9,6,3,0，－3，…；
③1,3,4,5,6，…；
④7,7,7,7,7，…；
⑤1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，….
解 ①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是．
反思感悟 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2
答案 ABC
解析 由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
C项d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
二、等差数列中的基本计算
例2 (教材130页例2改编)(1)若eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，a，eq \f(1,\r(3)－\r(2))成等差数列，则a＝________.
答案 eq \r(3)
解析 由等差数列的定义可知a－eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))－a，解得a＝eq \r(3).
(2)若－1，a，b，c,7成等差数列，求a，b，c的值．
解 由等差数列的定义eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝b－a，,b－a＝c－b，,c－b＝7－c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，,c＝5.))
反思感悟 若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量．
跟踪训练2 若m,4,2n成等差数列，2m,5，n也成等差数列，试求m，n的值．
解 由等差数列的定义可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－m＝2n－4，,5－2m＝n－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝2.))
三、等差数列的判定与证明
例3 数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列．
证明 ∵nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
∴eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(an,n)＋1，
∴eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是以1为首项，以1为公差的等差数列．
反思感悟 (1)一般地，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，如果对于任意的n≥2，都有2an＝an－1＋an＋1，则我们称数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列，反之也能成立，我们把an称为an－1与an＋1的等差中项．
(2)常见的等差数列变形有：eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝d；eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝d；aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝d；lg an－lg an－1＝d；eq \r(an)－eq \r(an－1)＝d等，其中d为任意的常数．
跟踪训练3 设数列{an}满足当n＞1时，an＝eq \f(an－1,1＋4an－1)，且a1＝eq \f(1,5).求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))为等差数列．
证明 根据题意a1＝eq \f(1,5)及递推关系知an≠0.因为an＝eq \f(an－1,1＋4an－1).取倒数得eq \f(1,an)＝eq \f(1,an－1)＋4，
即eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4(n＞1)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为5，公差为4的等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列的概念．
(2)等差数列的基本运算．
(3)利用定义证明等差数列．
2．方法归纳：定义法，列方程组法．
3．常见误区：等差数列的下标与n的取值范围易出错．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2
答案 ABD
解析 A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．
2．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))也一定是等差数列的是( )
A．bn＝aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n) B．bn＝aeq \\al(3,n＋1)－eq \(a,\s\up6(·))eq \\al(3,n)
C．bn＝eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an) D．bn＝anan＋1
答案 A
解析 A中，设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公差为d，由bn＝aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1＋an))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1－an))＝deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1＋an))，又由bn＋1－bn＝d(an＋2＋an＋1)－deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1＋an))＝deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋2－an))＝2d2，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))也一定是等差数列．
取an＝n，则
B中，bn＝aeq \\al(3,n＋1)－aeq \\al(3,n)＝(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，不是等差数列，
C中，bn＝eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n)＝－eq \f(1,nn＋1)，不是等差数列，
D中，bn＝anan＋1＝n(n＋1)＝n2＋n，不是等差数列．
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
答案 C
解析 由等差数列的定义可知：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5＝y－x，,y－x＝z－y，,z－y＝21－z))解得x＋y＋z＝39.
4．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d＝_______.
答案 2
解析 由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
课时对点练
1．(多选)下列数列中，是等差数列的有( )
A．4,5,6,7,8，… B．3,0，－3,0，－6，…
C．0,0,0,0，… D.eq \f(1,10)，eq \f(2,10)，eq \f(3,10)，eq \f(4,10)，…
答案 ACD
解析 A是以4为首项，以1为公差的等差数列；B后一项减前一项的差不是同一个常数，所以不是等差数列；C是常数列，所以是等差数列；D是以eq \f(1,10)为首项，以eq \f(1,10)为公差的等差数列．
2．已知( )，5,9成等差数列，则括号内应填的数字是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 设括号内的数字为x，则有5－x＝9－5，故x＝1.
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
答案 C
解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
4．已知在各项均不为零的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，满足a1＋a3＝aeq \\al(2,2)，则a2等于( )
A．0 B．1 C．2 D. 4
答案 C
解析 ∵an为等差数列，∴a2－a1＝a3－a2，
∴a1＋a3＝2a2，
∴2a2＝aeq \\al(2,2)，解得a2＝2(a2＝0舍去)．
5．(多选)已知an＋1－an＝0，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))一定是( )
A．等差数列 B．常数列
C．递增数列 D．递减数列
答案 AB
解析 因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列．
因为公差为0，所以是常数列．
6．(多选)已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是( )
A．an＝1－3n B．an＝2n－3
C．an＝2n D．an＝3
答案 ABD
解析 当n≥2时，
对于A，an－an－1＝1－3n－[1－3(n－1)]＝－3是等差数列；对于B，an－an－1＝2n－3－[2(n－1)－3]＝2是等差数列；对于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常数，不是等差数列；对于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差数列．
7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
答案 3
解析 由等差数列的定义可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3＝b－a，,b－a＝6－b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝3，))所以d＝3.
8．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则a3＝__________.
答案 3
解析 由等差数列的定义可知aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝4，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\\al(2,n)))是以4为公差的等差数列，所以aeq \\al(2,2)＝aeq \\al(2,1)＋4＝5，aeq \\al(2,3)＝aeq \\al(2,2)＋4＝9，所以a3＝3.
9．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列．
(1)如果a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
(2)如果a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
(3)如果a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
解 (1)由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以a2＝4，d＝4.
(2)由定义可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以d＝3，a1＝0.
(3)a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
10．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a3＝9，a5＝5，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，试判断数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是否为等差数列，若是，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的首项和公差，若不是，请说明理由．
解 因为an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，说明这个数列从第2项起，后一项减前一项所得的差始终相等，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是等差数列．
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
11．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而仅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能断定“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列”成立，必须满足对任何的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等差数列”的必要不充分条件．
12．在数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，eq \f(2,an)＝eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*，n≥2))且a2 020＝eq \f(2,3)，a2 022＝eq \f(2,5)，则a2 023等于( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(2,7) C.eq \f(1,3) D．3
答案 C
解析 由eq \f(2,an)＝eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*，n≥2))知，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，则其公差d＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2 022)－\f(1,a2 020)))＝eq \f(1,2).
因此eq \f(1,a2 023)＝eq \f(1,a2 022)＋d＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3，所以a2 023＝eq \f(1,3).
13．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 ∵b是x,2x的等差中项，
∴b＝eq \f(x＋2x,2)＝eq \f(3x,2)，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
∴a＝eq \f(x,2)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,3).
14．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是________．
答案 a＝－b或a＝3b
解析 由等差中项的定义知，x＝eq \f(a＋b,2)，x2＝eq \f(a2－b2,2)，
∴eq \f(a2－b2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，b＝2，则a＋c的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，4)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，2\r(3)))
答案 B
解析 在△ABC中，由A，B，C成等差数列，
可得2B＝A＋C，
由A＋B＋C＝π，
得3B＝π，B＝eq \f(π,3)，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
可得4＝a2＋c2－2ac·cs eq \f(π,3)，
即4＝a2＋c2－ac＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))2－3ac，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))2－4＝3ac≤eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))2，
解得－4≤a＋c≤4，
又a＋c>b＝2，
∴a＋c的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4)).
16．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a1＝－1，an＋1＝eq \f(1,2－an)，证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是等差数列．
证明 ∵an＋1＝eq \f(1,2－an)， ∴eq \f(1,an＋1－1)＝eq \f(1,\f(1,2－an)－1)＝eq \f(2－an,an－1)＝eq \f(1,an－1)－1，即eq \f(1,an＋1－1)－eq \f(1,an－1)＝－1，
又a1＝－1，则eq \f(1,a1－1)＝－eq \f(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))是首项为－eq \f(1,2)，公差为－1的等差数列．