2023届高考一轮复习加练必刷题第64练　空间向量的概念与运算【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第64练　空间向量的概念与运算【解析版】，共7页。试卷主要包含了下列命题中正确的个数是等内容，欢迎下载使用。
考点一 空间向量的线性运算
1．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(2,3)c B．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c D.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c
答案 B
解析 因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a，
又点N为BC的中点，所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
故eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c－eq \f(2,3)a＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
2．(2022·宜春模拟)设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点M，则M为BC的中点，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))), eq \(AG1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
∵OG＝3GG1，∴eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(→))＝3(eq \(OG1,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→)))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(→)).
则eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))，
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
考点二 空间向量基本定理及其应用
3．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；
③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc；
④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}是空间向量的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②当a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面或在同一平面内，故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当a，b不共线且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)时，a，b，c共面，故④错误．
4．(2022·厦门一中模拟)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有eq \(PQ,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))＋meq \(CP,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A．0 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 因为eq \(PQ,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))－meq \(PC,\s\up6(→))，
动点Q在△ABC所在平面内运动，
所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.
考点三 空间向量数量积及其应用
5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，下列结论正确的有( )
A.eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))
B.eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量
D.eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 由题意，向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，
对于A，由eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，可得eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以A正确；
对于B，由eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，所以B正确；
对于C，由eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，可得向量eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；
对于D，由eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一个法向量，可得eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，所以D不正确．
6．(2022·长治市第二中学月考)如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AC＝6，AB＝4，BD＝8，则CD的长为( )
A.eq \r(17) B．7 C．2eq \r(17) D．9
答案 C
解析 因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，因为二面角为60°，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|·|eq \(BD,\s\up6(→))|·cs 60°＝6×8×eq \f(1,2)＝24，即eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－24，所以|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝eq \(CD,\s\up6(→))2＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))2 ＝
eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BD,\s\up6(→))|2＋2(eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→)))＝36＋16＋64＋0－48＋0＝68，
所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(17)，即CD的长为2eq \r(17).
7．已知a＝(5,3,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(52,15)))
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))＝3t－eq \f(52,5).
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.
由a·b＜0，得3t－eq \f(52,5)＜0，所以t＜eq \f(52,15).
若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，
即(5,3,1)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，t，－\f(2,5)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝λ·－2，,3＝λt，,1＝λ·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)))，))
解得t＝－eq \f(6,5)，即t