广东省中山大学附中2019-2020学年高二下学期期中线上考试数学试题 Word版含解析

2019-2020第二学期中大附中高二数学期中线上考试

一、单选题（本题共12小题，每小题5分.共60分）

1.复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出的值，根据复数的几何意义可得结果．

【详解】∵，

∴复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，

故选A.

【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.已知复数满足，，则(    )

A.  B.  C.  D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

运用复数代数形式的除法运算求出复数z，然后求模即可.

【详解】，

.

故选：C

【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的模，属于基础题.

3.若满足，则(    )

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出，按照复数相等的充要条件列出方程组即可求得a.

详解】，

.

故选：B

【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.

4.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为(    )

A. 4 B.  C. 24 D. 48

【答案】C

【解析】

【分析】

4个学校进行排列，直接利用排列数公式计算即可.

【详解】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为.

故选：C

【点睛】本题考查简单的排列计数问题，属于基础题.

5.已经知道函数在上，则下列说法不正确的是(    )

A. 最大值为9 B. 最小值为

C. 函数在区间上单调递增 D. 是它的极大值点

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数导数并判断导数符号，可推出当，时函数单调递增，当时函数单调递减，即可逐项判断正误.

【详解】，令，解得或，

所以当，时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，C错误；

所以是它的极大值点，D正确；

因为，所以函数的最大值为9，A正确；

因为，所以函数的最小值为，B正确.

故选：C

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数判断函数的单调性、极值点及求解最值，属于中档题.

6.若，则(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过对x进行赋值可求得及.

【详解】令可得，

令可得，

因为，所以.

故选：D

【点睛】本题考查二项式定理展开式的项的系数和系数和，一般采用通项公式和赋值法，属于基础题.

7.若离散型随机变量的分布列如下，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据概率和为1列出等式，再利用基本不等式即可得解.

【详解】由概率的性质可得，且，则，

所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.

故选：A

【点睛】本题考查概率的基本性质，基本不等式求积的最大值，属于基础题.

8.若的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二项展开式中只有第6项的二项式系数最大知，再令即可求得可得展开式的各项系数的绝对值之和.

【详解】根据题意知的展开式共有11项，，

，

令可得展开式的各项系数的绝对值之和为.

故选：C

【点睛】本题考查二项展开式各项的系数和，属于中档题.

9.已知函数是的导函数，则函数的图象可能为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数的导函数，令，利用导数判断函数在上的单调性即可排除CD，再根据排除A.

【详解】，令，则，

当时，，单调递增，即函数单调递增，排除CD；

当时，，，排除A，选B.

故选：B

【点睛】本题考查函数与导函数图象的综合问题，导数在研究函数中的应用，属于中档题.

10.有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为(    )

A. 336 B. 320 C. 240 D. 216

【答案】A

【解析】

【分析】

分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.

【详解】3个球分别放到不同盒子里的放法有种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有种，所以总共有336种放法.

故选：A

【点睛】本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.

11.是定义在上的减函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得，则，构造函数，利用导数证明函数在上单调递增，从而可得，整理所得不等式即可得解.

【详解】因为是定义在上的减函数，所以，

因为，所以，

令，则，函数在上单调递增，

所以，即.

故选：B

【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般的函数值比较大小可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，利用新函数的单调性比较函数值的大小，本题属于中档题.

12.设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

令，，作出函数图象，数形结合、分类讨论当、、时满足条件的a的取值范围.

【详解】令，，则，

，令，解得或，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

函数恒过点，作出函数图象如图所示：

①当时，单调递增，若，则只存在唯一非负整数，使得，则即，解得，所以；

②当时，，由图可知仅存在唯一非负整数1使得，满足题意；

③当时，单调递减，，，不满足题意；

综上所述.

故选：A

【点睛】本题考查函数图象的综合应用，利用导数判断函数单调性，考查分类讨论、数形结合的思想，属于较难题.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分.共20分）

13.的展开式中，的系数为___________.（用数字作答）

【答案】40

【解析】

【分析】

求出的展开式的通项，即可求得的展开式中含的项.

【详解】的展开式的通项为，

所以的展开式中含的项为，的系数为40.

故答案为：40

【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数，属于中档题.

14.已知函数，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据导数运算法则求出函数的导数，令即可求得.

【详解】，

【点睛】本题考查导数运算法则，属于基础题.

15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年.那么，第15行第13个数是_____.（用数字作答）

【答案】455

【解析】

【分析】

将第1、2、3、4行中的数写为组合数形式，观察可得第n行第r个数为，则第15行第13个数为.

【详解】第1行：，，第2行：，第3行：，第4行：，

观察可得第n行第r个数为，

所以第15行第13个数为.

故答案为：455

【点睛】本题考查杨辉三角中所包含的二项式定理的性质，合情推理，属于中档题.

16.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

将问题转化为在上有两个解，令，利用导数判断的单调性及最值，数形结合即可求得a的范围.

【详解】令可得，

令，则，

因为当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时取得最小值，

又，所以，

因为在上有两个解，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查函数零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.

三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其它每题均12分.共70分）

17.已知曲线在点处切线方程为.

（1）求的值，以及和的值；

（2）求此函数的单调区间.

【答案】(1) ;; (2) 单调递增区间为，单调递减区间为.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的导数，由等于切线的斜率及点在直线上列出方程组即可求得a，b；（2）解导函数不等式即可求解单调区间

【详解】（1），因为在点处的切线方程为，

所以①，

又点在直线上，所以②，

联立①②可得；

（2），令解得或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

【点睛】本题考查已知曲线在某点处的切线方程求参数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

【分析】

18.盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.

（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？

（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

【答案】(1)14400; (2)28; (3)56.

【解析】

【分析】

（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有；（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.

【详解】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有种；

（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球，共有种；

（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，共有种.

【点睛】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列与组合，属于基础题.

19.已知函数.

（1）求此函数的极大值，并请直接写出此函数的零点个数；

（2）若函数，且此函数在区间内单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1) 极大值；2个零点；(2).

【解析】

【分析】

（1）利用导数判断函数单调性从而确定极大值，由，且在上单调递减知在定义域内有两个零点；（2）由题意得对任意的恒成立，则，利用导数求出函数的最大值即可求得a的范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

则在处取得极大值，

因为，所以为函数的一个零点，

又，，且在上单调递减，

所以在上有一个零点，所以函数在定义域内有两个零点；

（2），则，

若函数在区间内单调递增，则对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

，令，故，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时，，所以.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数研究函数的单调性、极值及最值、函数的零点，属于中档题.

20.某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同班级.现要随机选3名学生参加活动.

（1）求“选出的3名学生中，至多有2名来自同一班级”的概率；

（2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量，求的分布列.

【答案】(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1) 设选出的3名学生中至多有2名来自同一班级为事件A，则表示3名学生均来自同一班级，；（2），列出随机变量X的分布列即可.

【详解】(1)设选出的3名学生中至多有2名来自同一班级为事件A，则表示3名学生均来自同一班级，所以；

(2)，

，，

，，

的分布列为

【点睛】本题考查利用古典概型概率公式求概率，常见分布列的求解，属于中档题.

21.某学校科技节需要同学设计一幅矩形纸板宣传画，要求画面的面积为（如图中的阴影部分），画面的上、下各留空白，左、右各留空白.

（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使整个宣传画所用纸张面积最小？

（2）如果按照第一问这样制作整个宣传画，在科技节结束以后，这整个宣传画纸板可再次作为某实验道具，并要求从整个宣传画板的四个角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.问截下的小正方形的边长（也就是该容器的高）是多少时，该容器的容积最大？

【答案】(1)当画面高为cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为; (2) 当小正方形的边长为10cm时该容器的容积最大为18000.

【解析】

【分析】

（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm) ，求出宣传画所用纸张面积S的表达式，利用将表达式转化为关于k的函数，利用基本不等式即可得解；（2）设该容器的高为x cm，求出容器体积的表达式，利用导数研究函数的单调性从而求函数最大值.

【详解】（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm)，则，

宣传画所用纸张面积为

当且仅当时取等号，此时，

所以当画面高为cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为.

（2）设该容器的高为x cm，则容器的底面长为cm，宽为cm，

该容器的体积为

，令或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

，即当小正方形的边长为10cm时该容器的容积最大为18000.

【点睛】本题考查函数的应用，涉及基本不等式求和的最小值，利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于中档题.

22.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间存在一个，使得成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】

【分析】

(1)求出的导数，令，分、、三种情况讨论导数的符号从而确定的单调区间；(2) 由整理得，令，设函数的零点为可得，分析的单调性从而求出最小值，根据不等式成立的充要条件即可求得a的取值范围.

【详解】(1)，

令，，

①若即，

则二次函数开口向下且与轴无交点，

当时，即，

函数在上单调递减；

②若即，

当时，开口向下且对称轴为，

当时，即，

函数在上单调递减；

当时，开口向下且对称轴为，

当时，即，

函数在上单调递减；

③若即或，

方程的根为，

当时，因为开口向下，

，

所以当时，即，函数单调递减；

当时，因为，

所以当，时，

即，函数单调递减；

当时，

即，函数单调递增；

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在区间上单调递增，

在区间，上单调递减.

(2)根据题意，若，

则，

化简得，令，

，令可得即，

设函数的零点为，则，

由在单调递增，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增，

，

所以.

【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用，二次函数的图象与性质，不等式成立求参数的取值范围，涉及利用导数研究函数的单调性及求函数的最值，属于较难题.