2022北京丰台区高三下学期一模数学含答案

北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）

高三数学 2022.03

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】D

2. 已知命题：，，那么是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【2题答案】

【答案】B

3. 若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【3题答案】

【答案】B

4. 已知圆，则圆心到直线的距离等于（）

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】C

5. 若数列满足，且，则数列的前项和等于（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】C

6. 在△中，，则（）

A.  B.  C.  D. 或

【6题答案】

【答案】A

7. 在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）

A. 19种 B. 20种 C. 30种 D. 60种

【7题答案】

【答案】A

8. 已知是双曲线的一个焦点，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点．若，则△的面积为（）

A B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

9. 已知函数无最小值，则的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】D

10. 对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为，且，则的最小值为（）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【10题答案】

【答案】C

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数=的定义域是_________.

【11题答案】

【答案】

12. 已知向量，．若，则______．

【12题答案】

【答案】4

13. 设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是__________.

【13题答案】

【答案】，，（答案不唯一）

14. 已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，则______．

【14题答案】

【答案】    ①.     ②. 5

15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①平面截正方体所得的截面图形是五边形；

②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；

④△面积的最小值是．

其中所有正确结论的序号是______．

【15题答案】

【答案】①③

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．

（1）求的解析式；

（2）设函数，求在区间上的最大值．

条件①：的最小正周期为；

条件②：为奇函数；

条件③：图象的一条对称轴为．

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．

【16~17题答案】

【答案】（1）

（2）

17. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【17~18题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）存在；

18. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：

假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．

（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；

（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；

（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）

【18~20题答案】

【答案】（1）

（2）分布列见解析；期望为

（3）

19. 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围．

【19~20题答案】

【答案】（1）

（2）

20. 已知函数．

（1）当时，求曲线的斜率为1的切线方程；

（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．

【20~21题答案】

【答案】（1）

（2）

21. 已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．

（1）判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；

①；②．

（2）若是的3元完美子集，求的最小值；

（3）若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．

【21~23题答案】

【答案】（1）不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由见解析

（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是且