2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：四边形（含答案）

这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：四边形（含答案），共29页。试卷主要包含了，DF＝ 等内容，欢迎下载使用。
1．（2021•安徽三模）如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3．AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED ．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝ ．

2．（2021•锦江区校级模拟）正方形ABCD的边长为4，F是AD上的动点，将△FCD沿着CF折叠，当△AEF是等腰三角形（EF是腰），DF＝ ．

3．（2021•郫都区模拟）如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 ．

4．（2021•沂源县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为 ．

5．（2022•龙岗区一模）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED•AD；④当AD＝MD时，则．其中正确结论的序号是 ．

6．（2022•济南一模）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 .（只填序号）

7．（2021•安徽二模）如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为F．
（1）＝ ；
（2）如图（2），点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接FG，EH，则＝ ．

8．（2021•沈河区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是 ．

9．（2020•岳麓区校级二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，且DE＝1，F为BC边上一动点，过
点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为2﹣2．其中正确的有 ．

10．（2020•青羊区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝ ．

2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：四边形（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2021•安徽三模）如图，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3．AC＝6，点D是AC上一个动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E．
（1）当四边形ADFE为菱形时，则∠AED 60° ．
（2）当△DEF为直角三角形时，则CD＝ 3或4.8 ．

【考点】四边形综合题．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得∠ABC＝90°，利用菱形的性质即可得出答案；
（2）利用分类讨论结合①当∠DFE＝90°时．②当∠FDE＝90°时，③当∠DEF＝90°时，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）∵AB＝3，BC＝3．AC＝6，
∴32+（3）2＝36＝62，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝30°，∠A＝60°，
∵四边形ADFE为菱形，
∴∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AED＝AEF＝60°．
故答案为：60°；
（2）讨论：
①当∠DFE＝90°时．
∵FE∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∴∠DFE＝180°﹣90°﹣30°＝60°≠90°，
∴这种情况不存在，
②当∠FDE＝90°时，如图2，

∵DF⊥BC，∠B＝90°，
∴∠DFC＝∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∵EF∥AC，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
∵∠DFC＝∠FDE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，∠AED＝∠B＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝（6﹣CD），
即CD＝（6﹣CD），
解得：CD＝3，
③当∠DEF＝90°时，如图3，

∵EF∥AC，∠C＝30°，
∴∠EFB＝∠C＝30°，
∵∠DFC＝90°，
∴∠DFE＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FDE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠FEB＝60°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠AED＝30°，
∴∠ADE＝90°，∠AED＝∠FDE＝30°，
∴FD∥AE，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE＝DF＝CD，
在Rt△ADE中，
∠ADE＝90°，∠AED＝30°，
∴AD＝AE，
即6﹣CD＝CD，
解得：t＝4.8．
综上所述，当△FED是直角三角形时，t的值为3或4.8．
故答案为：3或4.8．
【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质、菱形的判定等知识，根据题意结合分类讨论得出当△FED是直角三角形时求出CD的值是解题关键．
2．（2021•锦江区校级模拟）正方形ABCD的边长为4，F是AD上的动点，将△FCD沿着CF折叠，当△AEF是等腰三角形（EF是腰），DF＝ 2或4 ．

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；两点间的距离公式；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】对等腰△AEF分两种情况，利用正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求解出DF的长度．
【解答】解：当△AEF是等腰三角形（EF是腰）时，此题有两种情况：
①如图1，当AF＝EF时，
由折叠得：EF＝DF，

∴AF＝DF，
又∵正方形ABCD的边长为4，
∴DF＝AD＝2；
②如图2，当点E在AC上时，过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，

∴AM＝FM，∠AEM＝∠FEM
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM＝EM，AE＝EF，
设DF＝a，则FM＝AM＝EM＝（4﹣a），
由折叠得EF＝DF＝a，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：EF2＝EM2+FM2，
∴＝a2，
解得：a1＝﹣4（不符题意，舍去），a2＝4﹣4，
∵DF＝4﹣4；
综上所述，DF＝2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是对△AEF哪两条边相等进行分类讨论．
3．（2021•郫都区模拟）如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为 4 ．

【考点】平行四边形的性质；胡不归问题．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【分析】如图，在直线DB的上方作∠BDT＝60°，且使得DT＝2BC．过点T作TH⊥AD交AD的延长线于H．首先利用相似三角形的性质证明DT＝2CF，解直角三角形求出AT，根据AE+2CF＝AE+ET，推出AE+2CF≥4，即可解决问题．
【解答】解：如图，在直线DB的上方作∠BDT＝60°，且使得DT＝2BC．过点T作TH⊥AD交AD的延长线于H．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC＝4，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠CBF＝∠TDE，
∵＝＝，
∴△CBF∽△TDE，
∴＝＝，
∴ET＝2CF，
∵∠TDH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠H＝90°，DT＝2BC＝8，
∴DH＝DT•cs60°＝4，HT＝DH＝4，
∴AH＝AD+DH＝8，
∴AT＝＝＝4，
∵AE+2CF＝AE+ET，AE+ET≥AT，
∴AE+2CF≥4，
∴AE+2CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查平行四边形的性质，胡不归问题，解直角三角形等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2021•沂源县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为 ．

【考点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【解答】解：∵A（5，0），B（0，3），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC＝OB＝3，OA＝BC＝5，∠OBC＝∠C＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴BK＝AK＝AB＝，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD＝AO＝5，
如图，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，

当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，
最大面积＝×D′E′×KD′＝×3×（5+）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2022•龙岗区一模）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED•AD；④当AD＝MD时，则．其中正确结论的序号是 ①②④ ．

【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ABM≌△DAN，可得∠ABM＝∠ADN＝45°，可证DN⊥BD，故①正确；通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠MAE＝∠DNE，故②正确；通过证明△AEN∽△AND，可得MN2＝2AD•AE，故③错误；通过证明△ANE∽△MDE，可得＝2﹣，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，
∴AM＝AN，∠MAN＝90°＝∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAN，
∴△ABM≌△DAN（SAS），
∴∠ABM＝∠ADN＝45°，
∴∠BDN＝∠ADB+∠ADN＝90°，
∴DN⊥BD，故①正确；
∵∠MAN＝∠MDN＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠MAE＝∠DNE，故②正确；
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴MN2＝AM2+AN2＝2AN2，∠ANM＝45°，
∵∠DAN＝∠NAE，∠ANM＝∠ADN＝45°，
∴△AEN∽△AND，
∴，
∴AN2＝AD•AE，
∴MN2＝2AD•AE，故③错误；
设AB＝AD＝a，则BD＝a，
∵AD＝MD＝a，
∴BM＝（﹣1）a＝DN，
∴MN2＝DN2+MD2＝2AN2，
∴AN2＝（2﹣）a2，
∵点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠DAN＝∠DMN，∠ANM＝∠ADM，
∴△ANE∽△MDE，
∴＝（）2＝2﹣，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．（2022•济南一模）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：
①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．
其中正确的是 ①③④⑤ .（只填序号）

【考点】四边形综合题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，故①正确；由直角三角形的性质可得AN＝NE，即可得AO＞OE，故②错误；通过证明△ABF∽△ECD，可得∠CED＝∠FBG，作FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出tan∠FAG，可求tan∠CED＝，故④正确；根据三角形的面积公式计算，可判断⑤，设BM＝2x，MC＝4x，可求MN＝x，CN＝3x，可得CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，
∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴＝＝1，
∴CN＝BN，DN＝EN，故①正确；
如图，连接AN，

∵DN＝NE，∠DAE＝90°，
∴AN＝NE，
∵AO＞AN，NE＞OE，
∴AO＞OE，故②错误；
∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，
∴∠BCE＝45°，BF＝CE＝BE，FB＝FE，BF⊥EC，
∴∠BCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∴∠ABF＝∠ECD，
∵，
∴△ABF∽△ECD，
∴∠CED＝∠FBG，
如图，作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，
∴，
∴tan∠FAG＝，
∴tan∠CED＝，故④正确；
∵tan∠FAG＝，
∴＝，
∴，
∴S△FBM＝S△FCM，
∵F是CE的中点，
∴S△FBC＝S△FBE，
∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故⑤正确；
∵，
∴设BM＝2x，MC＝4x，
∴BC＝6x，
∴CN＝BN＝3x，
∴MN＝x，
∴CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；
故答案为：①③④⑤．

【点评】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2021•安徽二模）如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为F．
（1）＝ +1 ；
（2）如图（2），点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接FG，EH，则＝ ．

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由正方形的性质得到∠CDA＝90°，再由翻折的性质得到△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，进而证明△AFE为等腰直角三角形，设AF＝EF＝x，解得正方形的边长为（+1）x，继而求解；
（2）由折叠的性质可得△CDE≌△CFE≌△ABG≌AHG，设AF＝EF＝HG＝HC＝x，由（1）可知，AB＝（+1）x，继而证明四边形EFGH是平行四边形，分别解得S正方形ABCD，S四边形EFGH的值即可解题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CDA＝90°，∠DAC＝90°，
由折叠的的性质得：△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，
∴△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF，
设AF＝EF＝x，则AE＝x，DE＝EF＝x，
∴CD＝AD＝AE+DE＝（+1）x，
∴＝＝+1；
故答案为：+1；
（2）由折叠的的性质得：△CDE≌△CFE，△ABG≌AHG，∠DCE＝∠ECF，∠GAB＝∠GAC，
∵∠DCA＝∠CAB＝45°，
∴∠DCE＝∠GAB＝22.5°，
∵AB＝CD，∠EDC＝∠GBA＝90°，
∴△CDE≌△ABG≌△AHG≌△CFE，
∴EF＝HG，
∵∠EFA＝∠GHC＝90°，∠EAF＝∠GCH，
∴△EAF≌△GCH（AAS），且△EAF和△GCH都为等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝HC＝HG，
设EF＝AF＝HC＝HG＝x，由（1）可知，AB＝（+1）x，
∴AC＝AB＝（2+）x，
∴FH＝AC﹣2AF＝x，
∵△AHG≌△CFE，
∴∠EFC＝∠GHA，
∴EF∥HG，
∵EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴S四边形EFGH＝FH•HG＝x2，
S正方形ABCD＝[（+1）x]2＝（+1）2x2，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，翻折等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到△CDE≌△CFE≌△ABG≌AHG．
8．（2021•沈河区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是 2 ．

【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的性质可得AB、AC的长，根据“点P、Q分别在线段AO、BC上”可分三种情况进行讨论：①当P1在A点时，AP＝0，②当P2在O点时，AP3＝4＝AO，③当P2在AO中点时，AP2＝2，当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2＝90°，连接P3Q2，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理可得问题的答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴AC＝＝8，
∴AO＝4，

①当P1在A点时，AP＝0，
∴BQ＝AP＝0，
∴Q点在B点处，此时，∠BAO＝∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3＝4＝AO，
∴BQ＝AP＝4，
∴Q3点在C点处，此时，∠ACD＝∠CP3M3＝45°，∠P3M3C＝90°，
即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2＝2，
∴BQ＝AP＝2，
∴Q2点在BC中点处，M2点在P3M3中点处，证明如下：
当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2＝90°，
连接P3Q2，
∵P3、Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2＝AB＝2＝OM3，
∴OM2＝＝，
∴Q2M2＝＝＝，
过点P2作P2G⊥BC，此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，
即在△ABC中，，
∵CP2＝AC﹣AP2＝6，
即，
∴P2G＝3，
同理可得，CG＝3，GQ2＝，
∴P2Q2＝＝＝，
∴P2M2＝＝，
故M2点在OM3是中点处，即M点在OM3上运动，
∴OM3＝DC＝2．
【点评】此题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，考虑问题要全面，通过分析情况讨论所有发问进行分析得到最终结论．
9．（2020•岳麓区校级二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，且DE＝1，F为BC边上一动点，过
点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为2﹣2．其中正确的有 ①② ．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图所示：

连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC，
故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E、P、F、C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，
故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．
因此BF＝1或7，
故③错误；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当OC最小时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣AE，
∵OC＝＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∴PC的最小值为﹣，故④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2020•青羊区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝ ．

【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．

∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝2，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT•cs30°＝3，AN＝PA•cs30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝3，
∴BN＝AB﹣AN＝，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
考点卡片
1．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．

说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
2．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
7．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
10．四边形综合题
四边形综合题．
11．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
12．胡不归问题
著名的几何最值问题
13．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
14．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．