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2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：方程与不等式（含答案）
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这是一份2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：方程与不等式（含答案），共14页。试卷主要包含了的值为 ，x+ab﹣2＝0等内容，欢迎下载使用。
1．（2020•浙江自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
2．（2010春•泰顺县期末）附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ．
3．（2021秋•阳新县期末）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝ ．
4．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
5．（2015•大邑县模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
6．（2009春•上虞市校级月考）桶内装满了纯酒精溶液，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的，则桶的容积为 升．
7．（2004•厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2，
则正确结论的序号是 ．（在横线上填上所有正确结论的序号）
8．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
9．（2021秋•义乌市月考）如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以5cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距14cm时，则t＝ 秒．
10．夏季到了，学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”．今年3月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元．今年4月，“绿豆冰糕”的销售量与今年3月一样，“奶油冰糕”销量减少一半，“红枣冰糕”的销量是今年3月的3倍，但三种冰糕的总销售量今年4月比今年3月多100支．“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现今年3月“绿豆冰糕”的销售额占今年3月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”今年3、4月总利润是“绿豆冰糕”今年3、4月总利润的．那么，在今年3月的销售中26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多 元．
2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：方程与不等式（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2020•浙江自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 m＝1或m＞2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】分类讨论．
【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．
2．（2010春•泰顺县期末）附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程解的含义，已知m．n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，所以m2+2007m﹣2009＝0①，n2+2007n﹣2009＝0②，将①②变形代入所求代数式即可．
【解答】解：∵m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，
∴m2+2007m﹣2009＝0，n2+2007n﹣2009＝0，
∴m2+2007m＝2009，n2+2007n＝2009，
∴（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）＝（2009﹣2008）（2009﹣2010）＝﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程解的意义，考试时常常利用方程解的意义来求代数式的值．
3．（2021秋•阳新县期末）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝ 0 ．
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x＝1代入方程＝1﹣，得：＝1﹣，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【解答】解：把x＝1代入方程＝1﹣，得：
＝1﹣，
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝6﹣2﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+2a﹣4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2+b＝0，2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
则a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
4．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】探究型；转化思想；运算能力．
【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可．
【解答】解：方程组转化为；
∴由恒等式意义，得
∴x＝3，y＝9
∴方程组的解为
故答案为
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用．
5．（2015•大邑县模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ﹣2≤P＜﹣ ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】新定义．
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴＝﹣2，＝1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）＝≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＞P，解得m＜，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴2＜≤3，
∴﹣2≤P＜﹣，
∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣，
故答案为：﹣2≤P＜﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
6．（2009春•上虞市校级月考）桶内装满了纯酒精溶液，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的，则桶的容积为 25 升．
【考点】分式方程的应用；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】应用题．
【分析】第一次倒出纯酒精溶液为5升，第二次倒出纯酒精溶液为升，两次倒出后桶内剩下纯酒精溶液为x﹣5﹣，关键描述语为：“这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的”；等量关系为：两次倒出后桶内剩下纯酒精溶液＝桶的容积×．
【解答】解：设桶的容积为x升，依题意列方程：
x﹣5﹣
∴x﹣5＝
∴x1＝25，x2＝＜5（舍去）
经检验：x＝25符合题意，
则桶的容积是25升．
【点评】本题要根据每次倒出后桶内剩下纯酒精溶液为线索，计算出每次倒出的纯酒精溶液，用x减去两次倒出的纯酒精溶液，就是最后剩下的纯酒精溶液，建立等量关系．
7．（2004•厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2，
则正确结论的序号是 （1）（3） ．（在横线上填上所有正确结论的序号）
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
（2）根据两根之积就可以判定是否正确；
（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0中，
Δ＝（a+b）2﹣4（ab﹣2）＝（a﹣b）2+8＞0
∴（1）x1≠x2正确；
（2）∵x1x2＝ab﹣2＜ab，故（2）错误；
（3）∵x1+x2＝a+b，
即（x1+x2）2＝（a+b）2，x12+x22+2x1x2＝2ab+a2+b2，
∵x1x2＜ab，
∴x12+x22＞a2+b2正确．
故填空答案：（1）（3）．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．
8．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【解答】解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．
9．（2021秋•义乌市月考）如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以5cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距14cm时，则t＝ 2、3、17或18 秒．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设经过ts，P、Q两点相距14cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：共有3种可能：
①7t+10﹣5t＝14，解得：t＝2；
②7t+10﹣5t＝16，解得：t＝3；
③7t+10﹣5t＝44，解得：t＝17；
④7t+10﹣5t＝46，解得：t＝18．
综上所知，t＝2、3、17或18．
故答案为：2、3、17或18．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
10．夏季到了，学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”．今年3月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元．今年4月，“绿豆冰糕”的销售量与今年3月一样，“奶油冰糕”销量减少一半，“红枣冰糕”的销量是今年3月的3倍，但三种冰糕的总销售量今年4月比今年3月多100支．“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现今年3月“绿豆冰糕”的销售额占今年3月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”今年3、4月总利润是“绿豆冰糕”今年3、4月总利润的．那么，在今年3月的销售中26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多 108 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】方程思想；待定系数法；数据分析观念；运算能力．
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，6﹣t＝50%t，解得t＝4．奶油冰糕的成本为4﹣1＝3．再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+c＝300，a+b+c+100＝（2a+a），解的b＝200，c＝100．因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元．奶油冰糕的利润为（x﹣3）×（200+100）＝（2a+a）①，②．而问题是26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多多少元，可表示为26x﹣5n．因此，将上述①、②式子进行化简可以得到26x﹣5n＝108．
【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元，6﹣t＝50%t．
解得t＝4．
∴奶油冰糕的成本为4﹣1＝3．
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则，解得b＝200，c＝100．
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元．
又∵，
由②得a＝200x﹣600③，
将③代入到②式化简得26x﹣5n＝108，
∴26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多108元．
故答案为：108．
【点评】本题考查的是列二元一次方程组，用待定系数法解题，找到不同参考对象之间的联系，列出等式是解这题的关键．
考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
10．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
1．（2020•浙江自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
2．（2010春•泰顺县期末）附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ．
3．（2021秋•阳新县期末）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝ ．
4．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
5．（2015•大邑县模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
6．（2009春•上虞市校级月考）桶内装满了纯酒精溶液，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的，则桶的容积为 升．
7．（2004•厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2，
则正确结论的序号是 ．（在横线上填上所有正确结论的序号）
8．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
9．（2021秋•义乌市月考）如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以5cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距14cm时，则t＝ 秒．
10．夏季到了，学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”．今年3月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元．今年4月，“绿豆冰糕”的销售量与今年3月一样，“奶油冰糕”销量减少一半，“红枣冰糕”的销量是今年3月的3倍，但三种冰糕的总销售量今年4月比今年3月多100支．“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现今年3月“绿豆冰糕”的销售额占今年3月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”今年3、4月总利润是“绿豆冰糕”今年3、4月总利润的．那么，在今年3月的销售中26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多 元．
2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：方程与不等式（10题）
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2020•浙江自主招生）若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 m＝1或m＞2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】分类讨论．
【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．
当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；
当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；
当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，
[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，
∴x1＝，x2＝．
∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，
∴0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2．
综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．
故答案为：m＝1或m＞2．
【点评】考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况讨论求解．
2．（2010春•泰顺县期末）附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程解的含义，已知m．n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，所以m2+2007m﹣2009＝0①，n2+2007n﹣2009＝0②，将①②变形代入所求代数式即可．
【解答】解：∵m，n都是方程x2+2007x﹣2009＝0的根，
∴m2+2007m﹣2009＝0，n2+2007n﹣2009＝0，
∴m2+2007m＝2009，n2+2007n＝2009，
∴（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）＝（2009﹣2008）（2009﹣2010）＝﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程解的意义，考试时常常利用方程解的意义来求代数式的值．
3．（2021秋•阳新县期末）已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝ 0 ．
【考点】一元一次方程的解．
【分析】把x＝1代入方程＝1﹣，得：＝1﹣，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【解答】解：把x＝1代入方程＝1﹣，得：
＝1﹣，
2（k+a）＝6﹣（2+bk），
2k+2a＝6﹣2﹣bk，
2k+bk+2a﹣4＝0，
（2+b）k+2a﹣4＝0，
∵无论k为何值，它的解总是1，
∴2+b＝0，2a﹣4＝0，
解得：b＝﹣2，a＝2．
则a+b＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
4．（2021春•海淀区校级期末）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】探究型；转化思想；运算能力．
【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可．
【解答】解：方程组转化为；
∴由恒等式意义，得
∴x＝3，y＝9
∴方程组的解为
故答案为
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用．
5．（2015•大邑县模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ﹣2≤P＜﹣ ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】新定义．
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴＝﹣2，＝1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）＝≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＞P，解得m＜，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴2＜≤3，
∴﹣2≤P＜﹣，
∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣，
故答案为：﹣2≤P＜﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
6．（2009春•上虞市校级月考）桶内装满了纯酒精溶液，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的，则桶的容积为 25 升．
【考点】分式方程的应用；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】应用题．
【分析】第一次倒出纯酒精溶液为5升，第二次倒出纯酒精溶液为升，两次倒出后桶内剩下纯酒精溶液为x﹣5﹣，关键描述语为：“这时桶内酒精溶液的体积分数是原来的”；等量关系为：两次倒出后桶内剩下纯酒精溶液＝桶的容积×．
【解答】解：设桶的容积为x升，依题意列方程：
x﹣5﹣
∴x﹣5＝
∴x1＝25，x2＝＜5（舍去）
经检验：x＝25符合题意，
则桶的容积是25升．
【点评】本题要根据每次倒出后桶内剩下纯酒精溶液为线索，计算出每次倒出的纯酒精溶液，用x减去两次倒出的纯酒精溶液，就是最后剩下的纯酒精溶液，建立等量关系．
7．（2004•厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：
（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3）x12+x22＞a2+b2，
则正确结论的序号是 （1）（3） ．（在横线上填上所有正确结论的序号）
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
（2）根据两根之积就可以判定是否正确；
（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2＝0中，
Δ＝（a+b）2﹣4（ab﹣2）＝（a﹣b）2+8＞0
∴（1）x1≠x2正确；
（2）∵x1x2＝ab﹣2＜ab，故（2）错误；
（3）∵x1+x2＝a+b，
即（x1+x2）2＝（a+b）2，x12+x22+2x1x2＝2ab+a2+b2，
∵x1x2＜ab，
∴x12+x22＞a2+b2正确．
故填空答案：（1）（3）．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握．
8．（2020•黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【解答】解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．
9．（2021秋•义乌市月考）如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以5cm/s的速度，按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距14cm时，则t＝ 2、3、17或18 秒．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设经过ts，P、Q两点相距14cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：共有3种可能：
①7t+10﹣5t＝14，解得：t＝2；
②7t+10﹣5t＝16，解得：t＝3；
③7t+10﹣5t＝44，解得：t＝17；
④7t+10﹣5t＝46，解得：t＝18．
综上所知，t＝2、3、17或18．
故答案为：2、3、17或18．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
10．夏季到了，学校门口某商店新增销售“绿豆冰糕”、“奶油冰糕”、“红枣冰糕”．今年3月，“奶油冰糕”和“红枣冰糕”共销售了300支，已知“绿豆冰糕”每支的售价为6元，每支利润率为50%，且它每支的成本比“奶油冰糕”每支的成本多1元．今年4月，“绿豆冰糕”的销售量与今年3月一样，“奶油冰糕”销量减少一半，“红枣冰糕”的销量是今年3月的3倍，但三种冰糕的总销售量今年4月比今年3月多100支．“绿豆冰糕”的成本没变，售价减少了1元，“奶油冰糕”售价、成本均未改变，发现今年3月“绿豆冰糕”的销售额占今年3月三种冰糕总销售额的，同时，“奶油冰糕”今年3、4月总利润是“绿豆冰糕”今年3、4月总利润的．那么，在今年3月的销售中26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多 108 元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】方程思想；待定系数法；数据分析观念；运算能力．
【分析】设绿豆冰糕的成本为t元，6﹣t＝50%t，解得t＝4．奶油冰糕的成本为4﹣1＝3．再设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，则b+c＝300，a+b+c+100＝（2a+a），解的b＝200，c＝100．因此绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元．奶油冰糕的利润为（x﹣3）×（200+100）＝（2a+a）①，②．而问题是26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多多少元，可表示为26x﹣5n．因此，将上述①、②式子进行化简可以得到26x﹣5n＝108．
【解答】解：由题意设绿豆冰糕的成本为t元，6﹣t＝50%t．
解得t＝4．
∴奶油冰糕的成本为4﹣1＝3．
由题意可设绿豆冰糕3月份销量为a，奶油冰糕3月份的销量为b、售价为x、红豆冰糕3月份的销量c、成本为m，售价为n，
则，解得b＝200，c＝100．
∴绿豆冰糕4月份销售量为a支，奶油冰糕4月份销量为100支，红豆冰糕4月份销量为300元．
又∵，
由②得a＝200x﹣600③，
将③代入到②式化简得26x﹣5n＝108，
∴26支“奶油冰糕”的销售额比5支“红枣冰糕”的销售额多108元．
故答案为：108．
【点评】本题考查的是列二元一次方程组，用待定系数法解题，找到不同参考对象之间的联系，列出等式是解这题的关键．
考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
10．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
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