2020-2021学年安徽省某校高二（下）4月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年安徽省某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知fx=ln2x+1−ax，且f′2=−1，则a=( )
A.−35B.65C.75D.−45

2. 曲线x2=4y在点2,t处的切线方程为( )
A.y=−2x+5B.y=2x−3C.y=−x+3D.y=x−1

3. 下列推理是类比推理的是( )
A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πab
C.由a1=1，an=3n−1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
D.以上均不正确

4. 有一段演绎推理是这样的“若函数fx的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且f′x0=0，则fx在点x0处取得极值；已知函数fx=x3在R上是一条连续不断的曲线，且f′0=0，则fx在点x=0处取得极值”对于以上推理，说法正确的是( )
A.推理形式错误，结论错误B.小前提错误，结论错误
C.大前提错误，结论错误D.该段演绎推理正确，结论正确

5. 设函数fx=1+sin2x，则limΔx→0f(Δx)−f(0)Δx等于( )
A.−2B.2C.3D.0

6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著. 在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推，在这个问题中，长儿的年龄为( )
A.35B.32C.23D.38

7. 如图，两曲线y=3−x2与y=x2−2x−1所围成的图形面积是( )

A.6B.3C.12D.9

8. 已知函数f(x)=ex(a−csx)在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.(−∞,−2]C.[1, +∞)D.(−∞, −1]

9. 如图是导函数y=f′(x)的图象，在标记的点( )处，函数y=f(x)有极大值．

A.x2B.x4C.x5D.x3

10. 设a为正实数，函数fx=x3−3ax2+2a2，若∀x∈a,2a，fx<0，则a的取值范围是( )
A.0,1B.0,+∞C.[1,+∞）D.0,23

11. 用数学归纳法证明不等式“1+12+13+⋯+12n>n+22（n≥2，n∈N+）的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是( )
A.12k+1B.12k+1+12k+2+⋯+12k+1
C.12k+1+12k+2+⋯+12k+kD.12k+1

12. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x∈R)，f(12)=e（e为自然对数的底数），则不等式f(lnx)A.(0, e2)B.(0, e)C.(1e, e2)D.(e2, e)
二、填空题

−111−x2+sinx1+x2+x2dx=_________.

观察下列式子，ln2>13，ln3>13+15，ln4>13+15+17，⋯⋯，根据上述规律，第n个不等式应该为________.


设n为正整数，fn=1+12+13+⋯+1n，计算得f2=32，f4>2，f8>52，f16>3，观察上述结果，按照上面规律，可推测f128>________.

已知函数f(x)=x−2f′(1)ln(x+1)−f(0)ex，则f(x)的单调递减区间为________．
三、解答题

请在综合法，分析法，反证法中选择两种不同的方法证明：
(1)求证：对于任意角θ，cs4θ−sin4θ=cs2θ；

(2)22−7>10−3.

已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=−1和x=3处取得极值．
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)在[−4, 4]内的最值．

随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生．若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式y=ax−12+4x−162，其中12(1)求a的值；

(2)假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）

已知函数fx=ax+a−x2，gx=ax−a−x2（其中a>0，且a≠1），
(1)若f1⋅g2+f2⋅g1=gk，求实数k的值；

(2)能否从(1)的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．

已知数列{an}满足a1=−23，an=−1an−1+2(n≥2, n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4；

(2)猜想数列通项公式an，并用数学归纳法给出证明．

已知函数fx=1x+alnx，a∈R．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)当x∈12,1时， fx的最小值是0，求实数a的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
可根据基本初等函数和复合函数的求导公式得出f′x=22x+1−a，然后根据f(2)=−1即可求出a的值．
【解答】
解：f′x=22x+1−a，
∴f′2=25−a=−1，解得a=75．
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，求出t，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】
解：由x2=4y，得y=x24，y′=x2，
∴ y′|x=2 =1，又t=224=1，
∴ 曲线x2=4y在点(2, t)处的切线方程为y−1=1×(x−2)，
即y=x−1．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
类比推理
【解析】
根据归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，
对答案中的四个推理进行判断，即可得到答案
【解答】
解：对于A，A，B为定点，若动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|（其中a为常数），则点P的轨迹为椭圆，是演绎推理．
对于B，由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=πab，是类比推理；
对于C，由a1=1，an=3n−1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式，是归纳推理.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
演绎推理的基本方法
【解析】
当函数fx为常值函数时，则fx在点x0处取得极值不正确，故大前提错误．
【解答】
解：当函数fx为常值函数时，
则若函数fx的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且f′x0=0，
则fx在点x0处取得极值不正确，
故大前提错误，则其结论也错误．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
本题考查导数运算及定义．
【解答】
解：f(x)=1+sin2x，
∴f′(x)=2cs2x，f′(0)=2，
limΔx→0f(Δx)−f(0)Δx=f′(0)=2.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意得，这位公公的儿子的年龄成等差数列，
且公差d=−3，前9项和S9=207，
因为Sn=na1+n(n−1)2d，
所以S9=9a1+9×82×(−3)
=9a1−108=207，
解得a1=35.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
定积分
定积分的简单应用
【解析】
依据图形得到积分从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】
解：对于y=3−x2，当y=0时，x=±3，
对于y=x2−2x−1，当y=0时，x=1±2，
联立方程得到y=3−x2，y=x2−2x−1， 解得x=−1或x=2，
∴ 两曲线y=3−x2与y=x2−2x−1所围成的图形面积
S=−33 (3−x2)dx−1−21+2 (x2−2x−1)dx
−−3−1 (3−x2)dx−−11−2 (x2−2x−1)dx
+32 (3−x2)dx+21+2 (x2−2x−1)dx
=103+23−83+62+83−23+173−62=9.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
由题意可得f′(x)＝ex(a−csx+sinx)≥0恒成立，分离系数可得a≥csx−sinx，结合不等式的恒成立与最值的最值的相互转化关系可求．
【解答】
解：因为f(x)=ex(a−csx)在R上单调递增，
所以f′(x)=ex(a−csx+sinx)≥0恒成立，
即a≥csx−sinx．
令g(x)=csx−sinx，
又g(x)=csx−sinx=2cs(x+π4)，
即g(x)∈[−2,2]，
所以a≥2．
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
由导函数y=f′(x)的图象，分析出函数y=f(x)的单调性，进而根据极大值的定义得到答案．
【解答】
解：由导函数y=f′(x)的图象，可得
当x0，此时函数y=f(x)为增函数；
当x3当x>x5时，f′(x)>0，此时函数y=f(x)为增函数；
故当x=x3时，函数y=f(x)有极大值．
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知f′(x)=3x2−6ax=3x(x−2a)，
当x∈(a,2a)时，f′x<0，函数fx在区间(a,2a)上单调递减，
又∀x∈a,2a，fx<0，
所以f(a)=a3−3a⋅a2+2a2=2a2(1−a)≤0，即a≥1．
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当n=k时，左边=1+12+13+⋯+12k，
当n=k+1时，左边=1+12+13+⋯+12k+12k+1+12k+2+⋯+12k+1，
即不等式的左边增加的式子是12k+1+12k+2+⋯+12k+1.
故选B.
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数F(x)=f(x)e2x，求出导数，判断F(x)在R上递增．原不等式等价为F(lnx)【解答】
解：可构造函数F(x)=f(x)e2x，
F′(x)=f′(x)e2x−2f(x)e2x(e2x)2=f′(x)−2f(x)e2x，
由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R上递增．
不等式f(lnx)0)，即f(lnx)e2lnx<1，x>0．
即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)由F(x)在R上递增，可得lnx<12，解得0故不等式的解集为(0, e).
故选B.
二、填空题
【答案】
π2+23
【考点】
定积分
微积分基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设y=sinx1+x2在−1,1上为奇函数，故−11sinx1+x2dx=0，
−111−x2dx表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，故−111−x2dx=π2，
−11x2dx=13x3|−11=23，
所以−111−x2+sinx1+x2+x2dx=π2+23.
故答案为： π2+23.
【答案】
ln(n+1)>13+15+17+⋯+12n+1
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于第一个不等式，ln2>13，则有ln(1+1)>12×1+1，
对于第二个不等式，ln3>13+15，则有ln(2+1)>13+12×2+1，
对于第三个不等式，ln4>13+15+17，则有ln(3+1)>13+15+12×3+1，
⋯⋯
依此类推：
第n个不等式为：ln(n+1)>13+15+17+⋯+12n+1.
故答案为：ln(n+1)>13+15+17+⋯+12n+1.
【答案】
92
【考点】
归纳推理
【解析】
（1）利用已知式子进行转化，寻找相应的规律，进而求解即可.
【解答】
解：已知f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3 ，
可得f(21)=1+22，f(22)>2+22 ，f(23)>3+22，f(24)>4+22 ，
以此类推可得f(2n)≥n+22，
已知27=128，
所以f(128)>7+22=92.
故答案为：92.
【答案】
(−1, 0]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
导数的运算
【解析】
先求导，再令x＝1，求出函数的解析式，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出．
【解答】
解：∵ f(x)=x−2f′(1)ln(x+1)−f(0)ex，
∴ f′(x)=1−2f′(1)⋅1x+1−f(0)ex，
令x=1可得f′(1)=1−2f′(1)⋅12−f(0)e，
由f(0)=−f(0)，
∴ f(0)=0，
∴ f′(1)=1−f′(1)，
∴ f′(1)=12，
∴ f(x)=x−ln(x+1)，x>−1，
∴ f′(x)=1−1x+1≤0，
解得−1故答案为：(−1, 0]．
三、解答题
【答案】
证明：(1)（分析法）要证cs4θ−sin4θ=cs2θ，
只需证(cs2θ+sin2θ)(cs2θ−sin2θ)=cs2θ，
即证cs2θ−sin2θ=cs2θ，显然成立，问题得证.
（综合法）左边=cs4θ−sin4θ=(cs2θ+sin2θ)(cs2θ−sin2θ)
=cs2θ−sin2θ，
右边=cs2θ=cs2θ−sin2θ=左边，问题得证.
(2)（分析法）要证22−7>10−3，
即证22+3>10+7，
即证22+32>10+72，
即证17+122>17+270，
即证122>270，
即证62>70，
即证622=72>702=70，显然成立，问题得证．
（综合法）由22−7=122+7，且10−3=110+3，
由22<10，7<3，可得22+7<10+3，
可得122+7>110+3，即22−7>10−3成立．
【考点】
综合法与分析法
【解析】
（1）运用分析法和综合法，结合基本不等式即可得证；
（2）运用分析法，考虑移项和平方，可得证明；运用分子有理化和不等式的性质，即可得证．
【解答】
证明：(1)（分析法）要证cs4θ−sin4θ=cs2θ，
只需证(cs2θ+sin2θ)(cs2θ−sin2θ)=cs2θ，
即证cs2θ−sin2θ=cs2θ，显然成立，问题得证.
（综合法）左边=cs4θ−sin4θ=(cs2θ+sin2θ)(cs2θ−sin2θ)
=cs2θ−sin2θ，
右边=cs2θ=cs2θ−sin2θ=左边，问题得证.
(2)（分析法）要证22−7>10−3，
即证22+3>10+7，
即证22+32>10+72，
即证17+122>17+270，
即证122>270，
即证62>70，
即证622=72>702=70，显然成立，问题得证．
（综合法）由22−7=122+7，且10−3=110+3，
由22<10，7<3，可得22+7<10+3，
可得122+7>110+3，即22−7>10−3成立．
【答案】
解：(1)f′(x)=3ax2+2bx−3，
由题意可得f′(x)=3ax2+2bx−3=0的两个根为−1和3，
则−1+3=−2b3a,−1×3=−1a,
解可得a=13，b=−1.
(2)由(1)知，f′(x)=(x−3)(x+1)，
易得f(x)在(−∞, −1)，(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减，
又f(−4)=−763，f(−1)=53，f(3)=−9，f(4)=−203，
所以f(x)min=f(−4)=−763，f(x)max=f(−1)=53．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）先对函数求导，由题意可得f′(x)＝3ax2+2bx−3＝0的两个根为−1和3，结合方程的根与系数关系可求，
（2）由（1）可求f′(x)，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值．
【解答】
解：(1)f′(x)=3ax2+2bx−3，
由题意可得f′(x)=3ax2+2bx−3=0的两个根为−1和3，
则−1+3=−2b3a,−1×3=−1a,
解可得a=13，b=−1.
(2)由(1)f′(x)=(x−3)(x+1)，
易得f(x)在(−∞, −1)，(3, +∞)上单调递增，在(−1, 3)上单调递减，
又f(−4)=−763，f(−1)=53，f(3)=−9，f(4)=−203，
所以f(x)min=f(−4)=−763，f(x)max=f(−1)=53．
【答案】
解：(1)因为x=14时，y=21，
代入关系式y=ax−12+4x−162，
得a2+16=21，解得a=10.
(2)由(1)可知，外卖便当每日的销售量y=10x−12+4x−162，
所以每日销售外卖便当所获得的利润
fx=x−1210x−12+4x−162=10+4x−12x−162，
从而f′x=4x−163x−40，
令f′x=0，得x=403，
且在12,403上，f′x>0，函数fx单调递增；
在403,16上，f′x<0，函数fx单调递减，
所以x=403是函数f(x)在12,16内的极大值点，也是最大值点，
所以当x=403≈13.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为13.3元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大.
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）x=14时，y=21，代入关系式y=mx−12+4x−162得m2+16=21，解得m=10．
（2）先求出每日销售外卖便当所获得的利润fx=10+4x−12x−162，再利用导数求它的最大值．
【解答】
解：(1)因为x=14时，y=21，
代入关系式y=ax−12+4x−162，
得a2+16=21，解得a=10.
(2)由(1)可知，外卖便当每日的销售量y=10x−12+4x−162，
所以每日销售外卖便当所获得的利润
fx=x−1210x−12+4x−162=10+4x−12x−162，
从而f′x=4x−163x−40，
令f′x=0，得x=403，
且在12,403上，f′x>0，函数fx单调递增；
在403,16上，f′x<0，函数fx单调递减，
所以x=403是函数f(x)在12,16内的极大值点，也是最大值点，
所以当x=403≈13.3时，函数f(x)取得最大值．
故当销售价格为13.3元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大.
【答案】
解：(1)f1⋅g2+f2⋅g1
=a+a−12×a2−a−22+a2+a−22×a−a−12
=a3−a−1+a−a−34+a3−a+a−1−a−34
=a3−a−32=g3.
∵ 函数gx是单调函数，
∴ k=3．
(2)由g3=g1+2=f1⋅g2+f2⋅g1，
猜想：gx+y=fx⋅gy+fy⋅gx.
证明：fx⋅gy+fy⋅gx
=ax+a−x2×ay−a−y2+ay+a−y2×ax−a−x2
=ax+y+ay−x−ax−y−a−(x+y)4
+ax+y−ay−x+ax−y−a−(x+y)4
=ax+y−a−(x+y)2=gx+y.
所以gx+y=fx⋅gy+fy⋅gx．
【考点】
函数的求值
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f1⋅g2+f2⋅g1
=a+a−12×a2−a−22+a2+a−22×a−a−12
=a3−a−1+a−a−34+a3−a+a−1−a−34
=a3−a−32=g3.
∵ 函数gx是单调函数，
∴ k=3．
(2)由g3=g1+2=f1⋅g2+f2⋅g1，
猜想：gx+y=fx⋅gy+fy⋅gx.
证明：fx⋅gy+fy⋅gx
=ax+a−x2×ay−a−y2+ay+a−y2×ax−a−x2
=ax+y+ay−x−ax−y−a−(x+y)4
+ax+y−ay−x+ax−y−a−(x+y)4
=ax+y−a−(x+y)2=gx+y.
所以gx+y=fx⋅gy+fy⋅gx．
【答案】
解：(1)数列an满足a1=−23，an=−1an−1+2n≥2，n∈N*．
则a2=−1a1+2=−1−23+2=−34，
a3=−1−34+2=−45，
a4=−1−45+2=−56．
(2)猜想数列通项公式an=−n+1n+2．
用数学归纳法证明：(i)当n=1时，a1=−23=−1+11+2成立，
(ii)假设n=k∈N*时成立，ak=−k+1k+2．
则n=k+1时，
ak+1=−1ak+2=−1−k+1k+2+2
=−k+2k+3=−k+1+1k+1+2．
因此n=k+1时，猜想成立．
综上可得，数列通项公式为an=−n+1n+2，n∈N*．
【考点】
数学归纳法
【解析】
本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：(1)数列an满足a1=−23，an=−1an−1+2n≥2，n∈N*．
则a2=−1a1+2=−1−23+2=−34，
a3=−1−34+2=−45，
a4=−1−45+2=−56．
(2)猜想数列通项公式an=−n+1n+2．
用数学归纳法证明：(i)当n=1时，a1=−23=−1+11+2成立，
(ii)假设n=k∈N*时成立，ak=−k+1k+2．
则n=k+1时，
ak+1=−1ak+2=−1−k+1k+2+2
=−k+2k+3=−k+1+1k+1+2．
因此n=k+1时，猜想成立．
综上可得，数列通项公式为an=−n+1n+2，n∈N*．
【答案】
解：(1)f′x=ax−1x2，x>0，
当a≤0时， f′x<0在0,+∞上恒成立，
则fx的单调递减区间为0,+∞，
当a>0时，令f′x<0得： 0则fx的单调递减区间为0,1a．
综上：当a≤0时， fx的单调递减区间为0,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为0,1a．
(2)f′x=ax−1x2，当x∈12,1时，
①a≤1时，f′x≤0，fx在12,1上单调递减，
fxmin=f1=1≠0，不符合题意；
②a≥2时，fx在12,1上单调递增，
fxmin=f12=2+aln12=0，
解得： a=2ln2≥2，符合题意；
③1∴ fxmin=f1a=a+aln1a=0，
解得： a=e，舍去.
综上，a=2ln2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
【解答】
解：(1)f′x=ax−1x2，x>0，
当a≤0时， f′x<0在0,+∞上恒成立，
则fx的单调递减区间为0,+∞，
当a>0时，令f′x<0得： 0则fx的单调递减区间为0,1a．
综上：当a≤0时， fx的单调递减区间为0,+∞；
当a>0时，fx的单调递减区间为0,1a．
(2)f′x=ax−1x2，当x∈12,1时，
①a≤1时，f′x≤0，fx在12,1上单调递减，
fxmin=f1=1≠0，不符合题意；
②a≥2时，fx在12,1上单调递增，
fxmin=f12=2+aln12=0，
解得： a=2ln2≥2，符合题意；
③1∴ fxmin=f1a=a+aln1a=0，
解得： a=e，舍去.
综上，a=2ln2．