2020-2021年湖北省麻城市某校高二（下）月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021年湖北省麻城市某校高二（下）月考数学（理）试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 圆心为C−1,1，半径为2的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x−2y−2=0B.x2+y2−2x+2y−2=0
C.x2+y2+2x−2y=0D.x2+y2−2x+2y=0

2. 命题“∃x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2+2x+2>0B.∀x∈R,x2+2x+2≤0
C.∃x∈R,x2+2x+2>0D.∃x∈R,x2+2x+2≥0

3. 下列说法正确的是( )
A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有64种
B.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是12，14，则题被解出的概率是18
C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取60名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人
D.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12

4. 从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么56是( )
A.2个球不都是白球的概率
B.2个球都不是白球的概率
C.2个球都是白球的概率
D.2个球恰好有一个球是白球的概率

5. 如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN→=13AC1→，用a→，b→，c→表示向量MN→的结果是( )

A.12a→+b→+c→B.15a→+15b→+45c→
C.15a→−310b→−15c→D.13a→−23b→−16c→

6. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A.12种B.24种C.30种D.36种

7. 若2xx−15的展开式中x3的系数是( )
A.10B.−10C.40D.−40

8. 已知离散型随机变量X的分布列为
则D(X)的最大值是( )
A.29 B.59 C.89 D.209
二、多选题

某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法错误的是( )

A.销售额y与年份序号x呈正相关关系
B.根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元
C.销售额y与年份序号x线性相关不显著
D.三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

下列各结论：
①“xy>0”是“xy>0”的充要条件；②“x>1”是“1x<1”的充要条件；
③“a=b”是“a2+b2≥2ab”的充分不必要条件；④“二次函数y=ax2+bx+c 图象过点1,0”是a+b+c=0”的充要条件．其中正确的结论有( )
A.①B.②C.③D.④

下列说法中正确的是( )
A.“a>1，b>1”是ab>1”成立的充分条件
B.命题p:∀x∈R，x2>0，则¬p:∃x∈R，x2<0
C.命题“若a>b>0，则1a<1b”的否定是假命题
D.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件

下列判断正确的是( )
A.若随机变量ξ服从正态分布N1,σ2， Pξ≤4=0.79，则Pξ≤−2=0.21
B.已知直线l⊥平面α，直线m//平面β，则“α//β”是“l⊥m”的充要条件
C.若随机变量ξ服从二项分布： ξ∼B4,14，则Eξ=1
D.12x−2y5的展开式中含x2y3项的系数为20
三、填空题

若(3x2−a)(2x−1x)5的展开式中x3的系数为−80，则a=________．

若随机变量X∼N(μ, σ2)，且P(X>5)=P(X<−1)=0.2，则P(2
已知m→，n→是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cs=−12，则l与α所成的角为________.

命题“∃x∈−1,2，有14x−m2x+1≥0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________.
四、解答题

已知圆C经过A3,4 ，P3,6，Q5,6三点．
(1)求圆C的方程；

(2)过点3,0的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程．

在二项式x−123xn的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求项数n；

(2)求展开式中的常数项与二项式系数最大的项．

为了了解居民的用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量（单位：kW⋅h），并将样本数据分组为[160, 180)，[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]，其频率分布直方图如图所示．

(1)若样本中月均用电量在[240, 260)的居民有30户，求样本容量；

(2)求月均用电量的中位数；

(3)在月均用电量为[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]的四组居民中，用分层随机抽样法抽取22户居民，则月均用电量在[260, 280)的居民应抽取多少户？

某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，⋯，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
(1)求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数η的方差是多少？

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2.

(1)证明：平面AEC⊥平面PCD；

(2)若二面角A−PC−E的平面角θ满足csθ=24，求四棱锥P−ABCD的体积.

在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下2×2列联表：

(1)请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

(2)在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，其中每周线上学习时间不足5小时的人数为X，求X的分布列及其数学期望．
（下面的临界值表供参考）
（参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）
参考答案与试题解析
2020-2021年湖北省麻城市某校高二（下）月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的标准方程
【解析】
由题意先求出圆的标准方程，再把它化为一般方程，即可得答案．
【解答】
解：圆心为C−1,1，半径为2的圆的方程为
x+12+y−12=4，
即x2+y2+2x−2y−2=0.
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
利用特称命题的否定应该是全称命题进行求解即可.

【解答】
解：特称命题的否定是全称命题，
命题“∃∈R,x2+2x+2≤0”的否定是∀x∈R,x2+2x+2>0.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
分层抽样方法
排列、组合及简单计数问题
命题的真假判断与应用
【解析】
利用概率及分层抽样的的知识，逐个判断即可.
【解答】
解：A，每位同学都可随机选到三类书，4位同学，
则不同的结果有3×3×3×3=81种，故选项A错误；
B，∵ 他们各自解出题的概率分别是12，14，
∴ 此题不能解出的概率为1−12×1−14=38，
∴ 此题能解出的概率为1−38=58，故选项B错误；
C，高级教师应抽取60×20%=12人，故选项C错误；
D，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数为24，
两位女士不相邻包含的基本事件个数为12，
∴ 两位女生不相邻的概率P=1224=12，故选项D正确．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
两个球不都是白球的对立事件是两个球都是白球，从甲口袋内摸出1个白球和从乙口袋内摸出1个白球是相互独立事件，根据对立事件和相互独立事件的公式得到结果．
【解答】
解：∵ “两个球不都是白球”的对立事件是“两个球都是白球”，
两者是相互独立的，
∴ 两个球都是白球的概率P=12×13=16，
∴ 两个球不都是白球的概率是1−16=56.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据M是D1D的中点，AN→=13AC1→即可得出MN→=−12DD1→−AD→+13AC1→=−12AA1→−AD→+13(AA1→+AD→+AB→)，然后进行向量的数乘运算即可．
【解答】
解：∵ M是D1D的中点，且AN→=13AC1→，
∴ MN→=MD→+DA→+AN→
=−12DD1→−AD→+13AC1→
=−12AA1→−AD→+13(AA1→+AD→+AB→)
=13AB→−23AD→−16AA1→
=13a→−23b→−16c→．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
计数原理的应用
排列、组合及简单计数问题
【解析】
本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．
【解答】
解：∵ 恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，
∴ 余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，
根据分步计数原理知，共有6×4=24种结果.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数．
【解答】
解：∵ (2xx−1)5展开式的通项公式为
Tr+1=C5r⋅(2xx)5−r−1r=C5r·25−r⋅−1r⋅x3(5−r)2，
令35−r2=3，可得r=3，
∴ 展开式中x3的系数为C53⋅22⋅−13=−40.
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
【解答】
解：由b+13−a+a=1，得b=23，
E(X)=1×23+2×13−a+3×a=43+a，
f(a)=D(X)=23×43+a−12
+13−a×43+a−22+a×43+a−32，
即fa=−a2+73a+29，0≤a≤13，
对称轴a0=76 ，故DXmax=f13=89．
故选C．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
散点图
利用散点图识别两变量之间关系
回归分析的初步应用
【解析】
采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可．
【解答】
解：A，散点从左下到右上分布，
所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，
故选项A正确，不符合题意；
B，令x=10，由三次多项式函数得y=2684.54，
所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，
故选项B错误，符合题意；
C，因为相关系数r2=0.936，非常接近1，
所以销售额y与年份序号x线性相关显著，
故选项C错误，符合题意；
D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数R2=0.999，
而回归直线拟合的相关指数R2=0.936，
相关指数越大，拟合效果越好，故选项D正确，不符合题意．
故选BC．
【答案】
A,C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
二次函数的图象
【解析】
根据充要条件、充分不必要条件以及二次函数的相关性质进行解答即可.
【解答】
解：①由xy>0可得xy>0成立，
由xy>0可得xy>0成立，
故“xy>0”是“xy>0”的充要条件，故①正确；
②由x>1可得1x<1成立，
当x<0时，满足1x<1，但x>1不成立，
故“x>1”是“1x<1”的充分不必要条件，故②错误；
③a2+b2≥2ab，即a2+b2−2ab≥0，
得(a−b)2≥0，a=b不成立，
由a=b可得a2+b2≥2ab成立，
故“a=b”是“a2+b2≥2ab”的充分不必要条件，故③正确；
④二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1, 0)，
即当x=1时，y=0，得a+b+c=0，反之也成立，
故“二次函数y=ax2+bx+c图象过点(1, 0)”是
“a+b+c=0”的充要条件，故④正确.
所以综上，正确的结论有①③④.
故选ACD.
【答案】
A,C
【考点】
复合命题及其真假判断
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项A，a>1，b>1时，易得ab>1，故A正确；
对于选项B，全称命题的否定为特称命题，
所以命题p:∀x∈R，x2>0的否定为¬p:∃x∈R，x2≤0，故B错误；
对于选项C，“若a>b>0，则1a<1b”为真命题，所以其否定为假命题，故C正确；
对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a=1，b=−1，故D错误.
故选AC．
【答案】
A,C
【考点】
正态分布的密度曲线
离散型随机变量的期望与方差
二项式定理的应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
A，根据正态分布概率的性质，计算即可；
B，判断充分性与必要性是否成立即可；
C，根据二项分布计算即可；
D，二项式展开式计算可得．
【解答】
解：对于A，随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，
所以图象关于x=1对称，
根据Pξ≤4=0.79，可得Pξ≥4=1−Pξ≤4=0.21，
所以Pξ≤−2=Pξ≥4=0.21，
故A正确；
对于B，直线l⊥平面α，直线m//平面β，
若α//β，则l⊥m，是真命题；
若l⊥m，则α//β，是假命题；
所以“α//β”是“l⊥m“的充分不必要条件，
故B错误；
对于C，随机变量ξ服从二项分布：ξ∼B4,14，
则Eξ=4×14=1，
故C正确；
对于D，对12x−2y5，
则展开式的通项为Tr+1=C5r12x5−r−2yr，
令r=3，则T4=C53(12x)2(−2y)3=−20x2y3，
故D错误．
故选AC．
三、填空题
【答案】
−4
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
把(2x−1x)5按照二项式定理展开，可得(3x2−a)(2x−1x)5的展开式中x3的系数，再根据(3x2−a)(2x−1x)5的展开式中x3的系数为−80，求得a的值．
【解答】
解：∵ (2x−1x)5=C50⋅32x5−C51⋅16x3+C52⋅8x
−C53⋅4⋅1x+C54⋅2⋅1x3−C55⋅1x5，
∴ (3x2−a)(2x−1x)5的展开式中x3的系数为
3⋅8⋅C52−a⋅(−C51⋅16)=240+80a=−80，
∴ a=−4.
故答案为：−4.
【答案】
0.3
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
由条件求得μ=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．求得P(−15)的值，再根据P(−1【解答】
解：∵ 随机变量X∼N(μ, σ2)，
P(X>5)=P(X<−1)=0.2，
∴ μ=5+(−1)2=2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称，
∴ P(−1∴ P(2故答案为：0.3．
【答案】
30∘
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角和线面角的关系可求
【解答】
解：设l与α所成的角为θ，
则sinθ=|cs⟨m→,n→⟩|=12，
故θ=30∘
故答案为：30∘.
【答案】
174,+∞
【考点】
全称命题与特称命题
函数的最值及其几何意义
【解析】
写出原命题的否定，由这个否定是真命题求解．分离参数后转化为求函数最值．
【解答】
解：由题意∀x∈−1,2，不等式14x−m2x+1<0恒成立，
则m>2x+12x对∀x∈−1,2恒成立.
令fx=2x+12x，x∈−1,2，
令t=2x，t∈12,4，
则f(t)=t+1t，t∈12,4，
由对勾函数性质得2≤y<174，
故m≥174.
故答案为：174,+∞.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意可知，圆心C在AP的中垂线y=5上，
也在PQ的中垂线x=4上，
∴ 圆C的圆心为C4,5，
半径r=|AC|=3−42+4−52=2，
∴ 圆C的方程为x−42+y−52=2.
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x−3)即kx−y−3k=0,
∵ 过点(3,0)的直线l截圆所得的弦长为2，
∴ d=|4k−5−3k|1+k2=1，则k=125，
∴ 直线l的方程为12x−5y−36=0，
当直线l的斜率不存在时，直线l为x=3，
此时弦长为2符合题意,
综上所述，直线l的方程为x=3或12x−5y−36=0.
【考点】
直线和圆的方程的应用
直线与圆相交时的弦长问题
圆的标准方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可知，圆心C在AP的中垂线y=5上，
也在PQ的中垂线x=4上，
∴ 圆C的圆心为C4,5，
半径r=|AC|=3−42+4−52=2，
∴ 圆C的方程为x−42+y−52=2.
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k(x−3)即kx−y−3k=0,
∵ 过点(3,0)的直线l截圆所得的弦长为2，
∴ d=|4k−5−3k|1+k2=1，则k=125，
∴ 直线l的方程为12x−5y−36=0，
当直线l的斜率不存在时，直线l为x=3，
此时弦长为2符合题意,
综上所述，直线l的方程为x=3或12x−5y−36=0.
【答案】
解：(1)二项式x−123xn的展开式的通项公式为
Tr+1=Cnr⋅xn−r⋅−123xr=−12r⋅Cnr⋅xn−r⋅x−13r
=−12r⋅Cnr⋅xn−43r，
所以第一项系数为−120⋅Cn0=1，
第二项系数为−121⋅Cn1=−n2，
第三项系数为−122⋅Cn2=Cn24=nn−18，
即前三项系数的绝对值分别为1，n2，nn−18.
因为前三项系数的绝对值成等差数列，
所以2×n2=1+nn−18，
即n2−9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去），
所以二项式的项数n=8.
(2)由(1)可知，二项式x−123x8的通项公式为
Tr+1=−12r⋅C8r⋅x8−43r.
令8−4r3=0，可得r=6，
所以展开式的常数项为T7=C86⋅−126=716，
因为二项式系数为C8r，
所以当r=4时，二项式系数最大，
即第五项二项式系数最大，该项为T5=C84⋅116x83=70x83 .
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
（1）等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n
（2）写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项．
【解答】
解：(1)二项式x−123xn的展开式的通项公式为
Tr+1=Cnr⋅xn−r⋅−123xr=−12r⋅Cnr⋅xn−r⋅x−13r
=−12r⋅Cnr⋅xn−43r，
所以第一项系数为−120⋅Cn0=1，
第二项系数为−121⋅Cn1=−n2，
第三项系数为−122⋅Cn2=Cn24=nn−18，
即前三项系数的绝对值分别为1，n2，nn−18.
因为前三项系数的绝对值成等差数列，
所以2×n2=1+nn−18，
即n2−9n+8=0，
解得n=8或n=1（舍去），
所以二项式的项数n=8.
(2)由(1)可知，二项式x−123x8的通项公式为
Tr+1=−12r⋅C8r⋅x8−43r.
令8−4r3=0，可得r=6，
所以展开式的常数项为T7=C86⋅−126=716，
因为二项式系数为C8r，
所以当r=4时，二项式系数最大，
即第五项二项式系数最大，该项为T5=C84⋅116x83=70x83 .
【答案】
解：(1)∵ (0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x
+0.0050+0.0025)×20=1，
解得x=0.0075，
∴ 月均用电量在[240, 260)的频率为0.0075×20=0.15.
设样本容量为N，则0.15N=30，
解得N=200，
故样本容量为200.
(2)∵ (0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5，
∴ 月均用电量的中位数在[220, 240)内.
设中位数为a，
则0.45+0.0125×(a−220)=0.5，
解得a=224，
故中位数为224．
(3)∵ 月均用电量为[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，
[280, 300]的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，
∴ 月均用电量在[260, 280)的用户中应抽取
22×+0.15+0.1+0.05=4户．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
【解析】
(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出月平均用电量在[240, 260)的频率，设样本容量为N，则0.15N＝30，由此能求出N的值．
(Ⅱ)由(0.0020+0.0095+0.0110)×20＝0.45<0.5，得月平均用电量的中位数[220, 240)内，由此能求出中位数．
(Ⅲ)月平均用电量为[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300)的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，由此能求出月平均用电量在[260, 280)的用户中应抽取的户数．


【解答】
解：(1)∵ (0.0020+0.0095+0.0110+0.0125+x
+0.0050+0.0025)×20=1，
解得x=0.0075，
∴ 月均用电量在[240, 260)的频率为0.0075×20=0.15.
设样本容量为N，则0.15N=30，
解得N=200，
故样本容量为200.
(2)∵ (0.0020+0.0095+0.0110)×20=0.45<0.5，
∴ 月均用电量的中位数在[220, 240)内.
设中位数为a，
则0.45+0.0125×(a−220)=0.5，
解得a=224，
故中位数为224．
(3)∵ 月均用电量为[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，
[280, 300]的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，
∴ 月均用电量在[260, 280)的用户中应抽取
22×+0.15+0.1+0.05=4户．
【答案】
解：(1)由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴ 一等奖的概率P(ξ=240)=1120，
P(ξ=60)=8120=115，
P(ξ=30)=7×2+6×7120=715，
P(ξ=0)=1−1120−115−715=1124，
∴ 变量ξ的分布列是
∴ E(ξ)=30×715+60×115+240×1120=20.
(2)由(1)可得乙一次抽奖中奖的概率是1−1124=1324，
四次抽奖是相互独立的，
∴ 中奖次数η∼B(4，1324)，
∴ Dη=4×1324×1124=143144.
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的分布列及性质
【解析】
（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果．
【解答】
解：(1)由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴ 一等奖的概率P(ξ=240)=1120，
P(ξ=60)=8120=115，
P(ξ=30)=7×2+6×7120=715，
P(ξ=0)=1−1120−115−715=1124，
∴ 变量ξ的分布列是
∴ E(ξ)=30×715+60×115+240×1120=20.
(2)由(1)可得乙一次抽奖中奖的概率是1−1124=1324，
四次抽奖是相互独立的，
∴ 中奖次数η∼B(4，1324)，
∴ Dη=4×1324×1124=143144.
【答案】
(1)证明：取AD中点为O,BC中点为F，如图，
由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD知，
PO⊥平面ABCD，
故FO⊥PO，
又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，
所以FO⊥AE，
又CD//FO，则CD⊥AE，
又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面AEC，
故平面AEC⊥平面PCD.
(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
令AB=a，则P(0,0,3),A(1,0,0),C(−1,a,0).
由(1)知EA→=32,0,−32为平面PCE的法向量，
令n→=(1,y,z)为平面PAC的法向量，
由于PA→=(1,0,−3),CA→=(2,−a,0)均与n→垂直，
故n→⋅PA→=0，n→⋅CA→=0，
即1−3z=0，2−ay=0，
解得y=2a，z=33,
故n→=1,2a,33，
由csθ=EA→⋅n→|EA→|⋅|n→|=13⋅43+4a2=24，
解得a=3.
故四棱锥P−ABCD的体积
V=13SABCD⋅PO=13⋅2⋅3⋅3=2.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取AD中点为O,BC中点为F，如图，
由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD知，
PO⊥平面ABCD，
故FO⊥PO，
又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，
所以FO⊥AE，
又CD//FO，则CD⊥AE，
又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面AEC，
故平面AEC⊥平面PCD.
(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz，
令AB=a，则P(0,0,3),A(1,0,0),C(−1,a,0).
由(1)知EA→=32,0,−32为平面PCE的法向量，
令n→=(1,y,z)为平面PAC的法向量，
由于PA→=(1,0,−3),CA→=(2,−a,0)均与n→垂直，
故n→⋅PA→=0，n→⋅CA→=0，
即1−3z=0，2−ay=0，
解得y=2a，z=33,
故n→=1,2a,33，
由csθ=EA→⋅n→|EA→|⋅|n→|=13⋅43+4a2=24，
解得a=3.
故四棱锥P−ABCD的体积
V=13SABCD⋅PO=13⋅2⋅3⋅3=2.
【答案】
解：(1)补全列联表如下：
因为K2=45×15×16−10×4225×20×19×26≈7.29>6.635，
所以有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
(2)抽到线上学习时间不少于5小时的学生有5×1525=3人，
线上学习时间不足5小时的学生有2人，
所以X的取值为0，1，2，
X的分布列如图所示：
所以X的数学期望
EX=0×310+1×610+2×110=45.
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的分布列及性质
【解析】
（1）根据已知条件补充完整2×2列联表，由K”的公式计算出观测值，并与临界值进行对比即可作出判断；
（2）确定X的可能取值为0，1，2，再结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列
，从而可求出数学期望．
【解答】
解：(1)补全列联表如下：
因为K2=45×15×16−10×4225×20×19×26≈7.29>6.635，
所以有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
(2)抽到线上学习时间不少于5小时的学生有5×1525=3人，
线上学习时间不足5小时的学生有2人，
所以X的取值为0，1，2，
X的分布列如图所示：
所以X的数学期望
EX=0×310+1×610+2×110=45.X
1
2
3
P
b
13−a
a
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
10
合计
45
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
ξ
0
30
60
240
P
1124
715
115
1120
ξ
0
30
60
240
P
1124
715
115
1120
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45
X
0
1
2
P
310
610
110
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45
X
0
1
2
P
310
610
110