2022届重庆市第十一中学高三上学期12月月考数学试题含解析
展开2022届重庆市第十一中学高三上学期12月月考数学试题
一、单选题
1.若全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】解出集合、,利用交集的定义可求得结果.
【详解】因为或,,
因此,.
故选:D.
2.设复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直接由求解复数
【详解】由,
得,
故选:A
3.已知圆锥的底面圆半径为1,侧面展开图扇形的面积为,那么该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先通过底面圆半径和扇形面积计算出母线长,再计算出高,进而得到圆锥的体积.
【详解】圆锥的底面圆半径为1,底面圆周长为,又侧面展开图扇形的面积为,故母线长为,故圆锥的高,体积为.
故选:D.
4.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】把抛物线方程化为标准方程后可得参数准线方程.
【详解】由已知抛物线的标准方程是,,,
所以准线方程是.
故选:A.
5.已知平面向量,满足,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由向量垂直得数量积为0,从而求得,再由数量积定义求得夹角的余弦值后可得正弦值.
【详解】由,得,
,而,
所以.
故选:D.
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对的大小作出判断.
【详解】解:由题意得:
故选:C
7.文峰塔位于重庆市南岸区黄桷垭的文峰山之巅,笔直挺拔,高插云表、雄姿擎天,巍然屹立.文峰塔建于清道光年间,木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥,其侧面和底面的夹角大小为60°,则该正八棱锥的高和底面边长之比为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】画出几何体的直观图,利用侧面与底面所成的角以及底面多边形的边角关系,转化求解即可.
【详解】解:如图所示:
点为正八棱锥的顶点,点是底面中心,是底面的一条边,是的中点
根据题意可知,又
设,则
又已知侧面和底面的夹角大小为60°,即二面角的大小为.
故
所以该正八棱锥的高和底面边长之比.
故选:A
8.重庆市第十一中学校的学生社团活动丰富多彩,在数学志趣小组活动中,学生对所学的数学知识进行提升活动,对于绝对值的概念:,为复数集,(),当为实数()时,;当Z为虚数时,.对于二项式:(),有,对于,则有( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【分析】根据题目给出的结论,直接代入即可得到答案.
【详解】根据题意,由
则有
故选:A
二、多选题
9.若、、,则下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若且,则 D.
【答案】BCD
【分析】利用特殊值法可判断A选项;利用不等式的性质可判断B选项;利用作差法可判断CD选项.
【详解】对于A选项,取,,则,但,A错;
对于B选项,若,则,所以,,B对;
对于C选项,若且,则,,
所以,,所以,,C对;
对于D选项,,
所以,,故,D对.
故选:BCD.
10.对于定义域内的任意,存在常数,使得恒成立,则称为函数的周期,下列命题正确的是( )
A.,则为周期函数
B.的最小正周期是
C.的最小正周期是
D.的最小正周期是
【答案】ABC
【分析】利用余弦函数的周期性可判断A选项;利用周期性的定义以及图象可判断B选项;利用三角恒等变换结合正弦型函数的周期公式可判断C选项;利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项,函数是最小正周期为的周期函数,A对;
对于B选项,因为,
当时,,
作出函数的图象如下图所示:
结合图象可知,函数的最小正周期为,B对;
对于C选项,
,
为锐角,且,故函数的最小正周期为,C对;
对于D选项,,
,
所以,,D错.
故选:ABC.
11.已知圆,点是圆上的动点,则下列说法正确的有( )
A.圆关于直线对称 B.直线与的相交弦长为
C.的最大值为 D.的最大值为
【答案】ABD
【分析】求出圆心坐标,得圆心过已知直线判断A,由勾股定理求得弦长判断B,把看作直线,由圆心到直线的距离不大于半径得的范围判断C,求出圆心到原点的距离后可得到原点距离的最大值,从而得的最大值,判断D.
【详解】圆标准方程是,圆心为,半径为,
由于,即直线过圆心,A正确;
圆心到直线的距离为,弦长为,B正确;
,即,由,解得,C错;
由,,所以,D正确.
故选:ABD.
12.重庆市第十一中学校高三年级某班组织了《诵经典,获新知》的演讲比赛,本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成,如图①,已知球的体积为,托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成,如图②.则下列结论正确的是( )
A.经过三个顶点、、的球的截面圆的面积为
B.平面平面
C.直线与平面所成的角为
D.球面上的点离球托底面的最大距离为
【答案】AC
【分析】计算出三边边长,结合正弦定理以及圆的面积公式可判断A选项;利用面面平行的判定可判断B选项;利用线面角的定义可判断C选项;求出球面上的点离球托底面的最大距离,可判断D选项.
【详解】对于A选项,分别取、、的中点、、,
连接、、、、、、、、,
易知、、均为等边三角形,
因为为的中点,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以,平面,且,
同理可知平面,平面,且,
故且,
所以,四边形为平行四边形,则,
因为、分别为、的中点,则,
同理可得,是边长为的等边三角形,
所以,的外接圆半径为,
经过三个顶点、、的球的截面圆的面积为,A对;
对于B选项,因为且,故四边形为平行四边形,故,
因为、分别为、的中点,则,故,
平面,平面,平面,
,平面,平面,平面,
,所以,平面平面,
因为过直线有且只有一个平面与平面平行,
显然平面与平面不重合,故平面与平面不平行,B错;
对于C选项,因为平面,则与平面所成的角为,C对;
对于D选项,设球的半径为,则,可得,
球心到平面的距离为,
所以,球面上的点离球托底面的最大距离为,D错.
故选:AC.
三、填空题
13.已知平面向量,若,则________.
【答案】
【分析】由得,按照数量积的坐标运算计算即可.
【详解】易知,由得,即,解得.
故答案为:.
14.展开式的各项系数和为_______.
【答案】
【分析】求二项式展开式的各项系数之和,令二项式中的,求值即可.
【详解】令,即得各项系数之和为.
故答案为:
15.已知p:,q:,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【分析】首先化简命题,找到满足命题所对应实数的集合或,命题所对应实数的集合或,再根据是的充分不必要条件知,是的真子集可求解.
【详解】已知,解得或,命题所对应实数的集合或;
已知:,解得或,命题所对应实数的集合或,
因为是的充分不必要条件,是的真子集,
所以,当或时,,故.
故答案为:
16.已知双曲线的离心率为3,为双曲线的左右焦点,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点,的内切圆半径为,则=________.
【答案】
【分析】先根据条件写出所在的直线方程,和曲线方程联立,便可求得A点坐标,然后根据离心率及双曲线的定义可得之间的关系,利用面积法求得内切圆的半径,即可求得答案.
【详解】解:由题意得:
双曲线的左右焦点分别为
设双曲线的一条渐近线方程为,可知所在的直线方程为:
联立双曲线和直线方程:
又双曲线的离心率为3
,,即,
故点的坐标为
故的底边所对应的高为
于是
设,三角形内切圆的半径为
在三角形中,令,即为直线的倾斜角
,
故
于是可得
由双曲线的定义可知:
由三角形面积等积法可知:
于是
故答案为:
四、解答题
17.在①;②,这两个条件中任选一个,补全下列试题后并完成解答(选择多个条件并分别解答的按第1个给分)设等差数列的前项和为,且___________.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选条件①退位相减即可,选条件②利用条件计算公差,再算通项;
(2)按照裂项相消求和即可.
【详解】(1)选条件①, 当,
当,,
经检验符合.
选条件②,;
(2),
.
18.将函数图象上所有点向右平移个单位长度,然后横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递减区间;
(2)在中,内角的对边分别为,若,,,求的面积.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)先化简的解析式,由三角函数图像变换得到的解析式,再由正弦函数的性质求出的单调区间.
(2)由题意先求出边,由余弦定理求出边,从而可得面积.
【详解】(1)由
由的图象上所有点向右平移,得到,
再将横坐标伸长为原来的2倍,得
由,即
的单调递减区间为;
(2),由余弦定理可得
解得,则
19.2021年3月6日,习近平总书记强调,教育是国之大计、党之大计.要从党和国家事业发展全局的高度,坚守为党育人、为国育才,把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节,贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域,体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面,培根铸魂、启智润心.重庆十一中某年级将立德树人融入到教育的各个环节,开展“职业体验,导航人生”的社会实践教育活动,让学生站在课程“中央”.为了更好了解学生的喜好情况,根据学校实际将职业体验分为:救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型,在某班10名学生中调查,调查结果如下:
类型 | 救死扶伤的医务类 | 除暴安良的警察类 | 百花齐放的文化类 | 公平正义的法律类 |
人数 | 3 | 2 | 2 | 3 |
在这10名学生中,随机抽取了3名学生.
(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率;
(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数X,求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
【分析】(1)由题意分类求出这3名学生中都有选择的选法总数,由古典概率公式可得答案.
(2)由题意分别求出对应的概率,得到分别布列,由期望公式可得答案.
【详解】(1)救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有包括:
1名死扶伤的医务类,2名除暴安良的警察;
2名死扶伤的医务类,1名除暴安良的警察;
1名死扶伤的医务类,1名除暴安良的警察;其他1名.三种情况,共有种选法.
所以
(2)由题意
所以的分布列为
故的期望为.
20.圆柱中,为圆的直径,、、都是圆柱的母线,.
(1)求证平面;
(2)若,求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)证明出平面平面,再利用面面平行的性质可证得结论成立;
(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得锐二面角的余弦值.
【详解】(1)证明:在圆柱中,因为、、都是圆柱的母线,则,
平面,平面,所以,平面,
因为,则四边形为菱形,则,
平面,平面,故平面,
因为,、平面,
所以平面平面,
因为平面,因此,平面.
(2)解:因为平面,且点是圆上异于、的一点,是的直径,则,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
连接,则,故为等边三角形,同理可知也为等边三角形,
则、、,,,
设面的法向量,则,
取,可得,
又面的一个法向量为,,
因此,锐二面角的余弦值为.
21.椭圆的两焦点分别为,,椭圆与轴正半轴交于点,.
(1)求曲线的方程;
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线,切点分别为,直线与椭圆交于两点,为坐标原点,求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件求得,由此求得曲线的方程.
(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式求得的表达式,再结合导数求得的取值范围.
【详解】(1),
椭圆方程为.
(2)设,线段的中点为,
,,
以为直径的圆的半径为,
以为直径的圆的方程为,
即,又圆,
两式相减,
由 ,消去并化简得,
,,
,
,
,
由于,所以,,
对于函数,在上递增.
,
所以,
,
,
.
【点睛】求解椭圆中三角形面积的取值范围,关键步骤有两个,一个是利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式.二个是利用基本不等式、导数、二次函数等知识来求面积的取值范围.
22.已知函数
(1)当,研究的单调性;
(2)令,若存在使得,求证.
【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)求出导函数,由的正负确定单调区间;
(2)求出,,由导数确定的单调性,函数的变化趋势,从而得出的范围,由的关系,设,把都用表示,则可表示的函数,同样利用导数得出新函数是增函数,得出,再由对数函数的性质得证不等式成立.
【详解】(1),,在上单调递增,且,所以时,,时,,
在上单调递减,在上单调递增;
(2),(),
时,递增,时,,递减,
时,,
存在使得,则,令,,
,令,
则,在上单调递增,,,
,,.
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