2022年甘肃省酒泉市瓜州二中中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2022年甘肃省酒泉市瓜州二中中考数学模拟试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）

A．①② B．①③ C．② D．②④
3．（3分）一张普通A4纸的厚度约为0.000104m，用科学记数法表示0.000104，正确的结果为（ ）
A．1.04×10﹣4 B．1.04×10﹣3 C．1.04×10﹣2 D．0.104×10﹣3
4．（3分）下列计算结果是x5的是（ ）
A．x5﹣x B．x2•x3 C．（x2）3 D．x10÷x2
5．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）

A．36° B．144° C．108° D．126°
6．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（ ）

A．35° B．55° C．65° D．70°
9．（3分）某品牌连衣裙经过两次降价，每件零售价由1200元降为700元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．1200x2＝700 B．1200（1+x）2＝700
C．1200（1﹣x）2＝700 D．1200（1﹣x%）2＝700
10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣a＝ ．
12．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 ．
13．（3分）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是 ．
14．（3分）使代数式有意义的实数x的取值范围为 ．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 ．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为 ．

17．（3分）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝kx+b的图象交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式kx+b＜﹣x﹣2的解集为 ．

18．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个黑色三角形，第②个图形中一共有8个黑色三角形，第③个图形中一共有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中黑色三角形的个数是 ．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：（）﹣2﹣（π﹣1）0+|1﹣|+2cs30°
20．（4分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．
21．（6分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
22．（6分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
23．（7分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．

24．（6分）酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门﹣晋城门，它是东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度（如图），他们在地面一条水平道路MP上架设测角仪，先在点M处测得晋城门最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．
（1）求晋城门最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，晋城门的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△AOB的面积．

26．（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

28．（10分）如图，抛物线y＝经过点A（3，0），B（0，2），连接AB，点P是第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，判断是否存在点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．

2022年甘肃省酒泉市瓜州二中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）我国冬奥会将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）

A．①② B．①③ C．② D．②④
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：图形①③④均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
图形②能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）一张普通A4纸的厚度约为0.000104m，用科学记数法表示0.000104，正确的结果为（ ）
A．1.04×10﹣4 B．1.04×10﹣3 C．1.04×10﹣2 D．0.104×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000104＝1.04×10﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）下列计算结果是x5的是（ ）
A．x5﹣x B．x2•x3 C．（x2）3 D．x10÷x2
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，逐一判断即可．
【解答】解：A．x5与x不是同类项，故本选项不合题意；
B．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
C．（x2）3＝x6，故本选项不符合题意；
D．x10÷x2＝x8，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）

A．36° B．144° C．108° D．126°
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
6．（3分）若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解；
【解答】解：＝＝x﹣1＝0，
∴x＝1；
经检验：x＝1是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查解分式的值为零的条件；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（ ）

A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】由AB＝BC，∠ABC＝110°，根据等腰三角形的性质，可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（3分）某品牌连衣裙经过两次降价，每件零售价由1200元降为700元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．1200x2＝700 B．1200（1+x）2＝700
C．1200（1﹣x）2＝700 D．1200（1﹣x%）2＝700
【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为1200（1﹣x）元，第二次降价后价格为1200（1﹣x）（1﹣x）＝1200（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格＝700元，由此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为1200（1﹣x）2＝700．
故选：C．
【点评】考查了列一元二次方程解应用题的问题，解应用题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言．
10．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD＝BD＝x，根据三角形面积公式得到y＝x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD＝CD＝4﹣x，根据三角形面积公式得到y＝﹣x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，BH＝CH＝AH＝BC＝2，
当0≤x≤2时，如图1，

∵∠B＝45°，
∴PD＝BD＝x，
∴y＝•x•x＝x2；
当2＜x≤4时，如图2，

∵∠C＝45°，
∴PD＝CD＝4﹣x，
∴y＝•（4﹣x）•x＝﹣x2+2x，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（3分）分解因式：ab2﹣a＝ a（b+1）（b﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的的实数根，则c的取值范围是 c＜ ．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＞0，
解得：c＜．
故答案为：c＜．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
13．（3分）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°＝140°n，
解得n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形，利用多边形的内角和是解题关键．
14．（3分）使代数式有意义的实数x的取值范围为 ．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得 2x﹣1≥0，
解得 ．
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
16．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为 5 ．

【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理列式计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝CD＝4，
由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
则⊙O的半径为5，
故答案为：5．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．（3分）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝kx+b的图象交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式kx+b＜﹣x﹣2的解集为 x＜2 ．

【分析】先利用解析式y＝﹣x﹣2确定P点坐标，然后结合函数图象写出一次函数y＝﹣x﹣2的图象在一次函数y＝kx+b的图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2得﹣n﹣2＝﹣4，
解得n＝2，
则P（2，﹣4），
因为当x＜2时，kx+b＜﹣x﹣2，
所以关于x的不等式kx+b＜﹣x﹣2的解集为x＜2．
故答案为x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个黑色三角形，第②个图形中一共有8个黑色三角形，第③个图形中一共有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中黑色三角形的个数是 53 ．

【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1，据此可得．
【解答】解：∵第①个图形中黑色三角形的个数4＝1+2×1+1，
第②个图形中黑色三角形的个数8＝1+2+2×2+1，
第③个图形中黑色三角形的个数13＝1+2+3+2×3+1，
……
∴第⑧个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+6+7+8+2×8+1＝53，
故答案为：53．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：（）﹣2﹣（π﹣1）0+|1﹣|+2cs30°
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：（）﹣2﹣（π﹣1）0+|1﹣|+2cs30°
＝4﹣1+﹣1+2×
＝2++
＝2+2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（4分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝﹣1时，
∴原式＝1﹣×
＝1﹣
＝
＝
＝﹣
＝﹣
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝ ．（如需画草图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．
22．（6分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到白球的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋子中装有2个白球和1个红球，共有3个球，
∴摸到红球的概率是；

（2）根据题意画图如下：

共有6种等情况数，其中两次都摸到白球的有2种，
则两次都摸到白球的概率是＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（7分）为了了解平凉市中学生每天课外阅读所用的时间情况，从平凉市各校中抽取了一部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图（如图）
根据以上信息，回答问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若平凉市崆峒区中学生总数为6450人，试估计平凉市崆峒区中学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数．

【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数及频率可得a的值，用1.5＜t≤2对应频数除以a的值即可得出b的值；
（2）根据频数之和等于总数求出1＜t≤1.5的频数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过1.5小时的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120、0.1；
（2）1＜t≤1.5对应频数为120﹣（24+36+12）＝48，
补全图形如下：

（3）6450×＝645（人），
∴该校学生每天课外阅读时间超过1.5小时的人数约645人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．（6分）酒泉老城区的西南隅，耸立着一座古城门﹣晋城门，它是东晋时期酒泉郡治驻地福禄县城的南门．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量晋城门的高度（如图），他们在地面一条水平道路MP上架设测角仪，先在点M处测得晋城门最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．
（1）求晋城门最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，晋城门的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

【分析】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答】解：（1）过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，设AE＝xm．
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝xm，
∵BC＝16m，
∴BE＝x+16．
在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，
∴tan22°＝，0.40＝，
解得：x≈10.67，
由题意，易知四边形BEFM为矩形，
∴EF＝BM＝1.6m，
∴AF＝10.67+1.6
＝12.27
≈12.3（m）．
答：晋城门的高度约为12.3m．
（2）本次测量的误差为：12.6﹣12.3＝0.3（m），宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求OD的长，根据面积和可得结论．
【解答】解：（1）把A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入y＝﹣，得m＝5，n＝5，
∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），
把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y＝kx+b得
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）x＝0时，y＝4，
∴OD＝4，
∴△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD＝×4×1+＝12．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．
26．（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．

【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；
（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BAE＝∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝BC＝5，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝2，
∴DF＝5﹣2＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，
由勾股定理得：AF＝＝＝＝．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE≌△BCF是解本题的关键．
27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点．且∠BDE＝∠A．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若DE＝3，∠C＝60°，求CD的长．

【分析】（1）要证明DE与⊙O相切，想到连接OD，只要证明∠ODE＝90°即可，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而得∠ADO+∠ODB＝90°，再根据等边对等角和已知证出∠BDE＝∠ADO即可解答；
（2）根据已知可得∠A＝30°，从而求出∠DOB＝60°，进而得△ODB是等边三角形，然后在Rt△DOE中，利用锐角三角函数求出OD的长，最后在Rt△CDB中即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵∠BDE＝∠A，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
即∠ODE＝90°，
∵OD是圆O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴OD＝DB，
在Rt△ODE中，DE＝3，
∴OD＝＝＝3，
∴DB＝OD＝3，
在Rt△CDB中，∠C＝60°，
∴CD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，含30度角的直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（10分）如图，抛物线y＝经过点A（3，0），B（0，2），连接AB，点P是第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，判断是否存在点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法直接求解即可；
（2）分两种情况：①∠BPQ＝90°时，列方程求解即可；②∠PBQ＝90°，过点P作PM∥y轴，垂足为M，证明△PMB∽△BOA即可得解；
（3）根据对称性求出点C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，设点P（n，n+2），N（n，），求出PN的长，运用面积法得到n的二次函数关系式，配方求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，2），
把点A（3，0），B（0，2）代入解析式得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为：x+2；
（2）设P（m，﹣m2+m+2），
∵△BPQ是直角三角形，∠PQB≠90°，
∴分两种情况讨论：
①当∠BPQ＝90°时，BP∥x轴，当y＝2时，x+2＝2，
解得：x1＝0，（舍）或x2＝，
∴P1（，2）；
②当∠PBQ＝90°时，则有BP∥x轴，如图①，

∴点P的纵坐标为2，
∴﹣x2+x+2＝2，
解得：x1＝0，（舍）或x2＝，
∴P1（，2）；
②当∠PBQ＝90°时，过点P作PM⊥y轴，垂足为M，如图②，

则∠PBM+∠BPM＝90°，PM＝m，BM＝﹣x2+x+2﹣2，
∵∠PBQ＝90°，
∴∠PBM+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠BPM，
∴△PMB∽△BOA，
∴＝，
即＝，
解得：m＝0（舍）或m＝，
∴P2（，），
综上所述，当以PQB为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为（，2）或（，）；
（3）设PQ的延长线交AC与点N，

∵B（0，2），点C与点B关于x轴对称，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
把A，C代入得：
，
解得，
∴直线AC的表达式为：，
设点P（n，n+2），
则N（n，），
∴PN＝n+2﹣（）＝n+4，
∴S△APC＝PN▪OA＝（n+4）×3＝﹣2n2+4n+6＝﹣2（n﹣1）2+8，
∵a＝﹣2＜0，S△APC有最大值，且0＜n＜3，
∴当n＝1时，△APC的面积最大，最大面积是8，
此时，P（1，4），
综上所述，△APC面积的最大值是8，点P的坐标是（1，4）．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，利用面积公式得出二次函数是解（3）的关键．
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
每天课外阅读时间t/h
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
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