湖南省湘西州凤凰县皇仓中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

湖南省湘西州凤凰县皇仓中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为的小洞，则用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于，则该正多边形是

A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形

5. 下列立体图形中，左视图与主视图不同的是

A.  B.  C.  D.

6. 已知方程组的解为，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了户家庭的月用电量情况．统计如下表．关于这户家庭的月用电量说法错误的是

A. 方差是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 中位数是

8. 如图，，分别是的高线和角平分线，且相交与点，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，菱形的周长是，，那么这个菱形的对角线的长是

A.
B.  
C.
D.

10. 如图，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点的坐标是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共32 分）

11. 函数中自变量的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 点关于轴对称的点的坐标为______．
14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______ ．
15. 若、、是的三边的长，则化简 ______．
16. 不等式组的解集是______．
17. 如图，在▱中，点在上，且：：，则：______．

18. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为米，则大厅两层之间的高度为______米．结果保留一位小数【参考数据：，，】

三．计算题（本题共2小题，共18分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共6小题，共60分）

21. 某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
    
    本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，的值是______；
    将条形统计图补充完整；
    在被调查的学生中，选修书法的有名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，．
    求证：≌；
    如果，，连接，求的长度．

23. 如图，一次函数，与反比例函数交于点、，交轴于点，交轴于点．
    求反比例函数及一次函数的解析式；
    求的面积；
    根据图象直接写出的解集．
    
     

24. 在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和消毒液．如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元．
    每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元？
    若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买瓶免洗手消毒液送瓶消毒液，学校打算购进免洗手消毒液瓶，消毒液瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在锐角中，，以为直径画交于点，过点作于点．
    求证：是的切线；
    当，时，求劣弧的长．

26. 如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
    求抛物线的表达式．
    若直线交轴于点，求证：．
    若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
根据科学记数法表示解答．
 

3.【答案】

【解析】

解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项运算法则判断，根据完全平方公式判断，根据平方差公式判断，根据幂的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：，
这个正多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

5.【答案】

【解析】

解：左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.左视图与主视图都是圆，故选项B不合题意；
C.左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D.左视图是圆，主视图都是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】

解：把代入原方程组，
得
解得．
．
故选：．
把原方程组的解代入方程组，求出，的值，再代入所求代数式即可．
此题很简单，考查了二元一次方程组的解的定义，所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
 

7.【答案】

【解析】

解：、这组数据的平均数，
则方差是：，
故本选项错误；
B、出现的次数最多，出现了次，则众数是，正确；
C、根据可得，平均数是，正确；
D、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是，正确；
故选：．
根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了加权平均数、众数、中位数和极差，掌握中位数、众数、加权平均数和极差的定义和计算公式是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
，
平分，，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：四边形是菱形，是对角线，
，
，
是等边三角形，
，
菱形的周长是，
．
故选：．
由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．
 

10.【答案】

【解析】

解：，为反比例函数图象上的两点，
，，
动点在轴的正半轴上运动，，
延长交轴于点，当点在点时，达到最大值，
设直线的函数解析式为，
，得，
直线的函数解析式为，
当时，，
当线段与线段之差达到最大时点的坐标是，
故选：．
根据题意可以求得点和点的坐标，然后根据三角形三边关系，可以得到线段与线段之差的绝对值与线段的关系，然后根据图形作出合适的辅助线，即可求得满足条件的点的坐标．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】

【解析】

解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案是：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

13.【答案】

【解析】

解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标特征，即可解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：根据题意得，
解得，
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边，同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．
【解答】
解：、、是的三边长，
，，，
；
故答案是．  

16.【答案】

【解析】

解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】

：
 

【解析】

解：设，，，则．
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：：，
故答案为：．
设，，，则利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．根据题意和锐角三角函数可以求得的长，从而可以解答本题．
【解答】
解：在中，
，
米，
答：大厅两层之间的距离的长约为米．
故答案为：．  

19.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】

解：原式

，
当，时，
原式．
 

【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将和的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与运算法则．
 

21.【答案】

，； 
人
人
．
名，
选修书法的名同学中，有名男同学，名女同学，

所有等可能的情况有种，所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的情况有种，
则一男一女
答：所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的概率是．
 

【解析】

解：人

答：本次调查的学生共有人，在扇形统计图中，的值是．
故答案为：、；
见答案；
见答案．
【分析】
首先用选舞蹈课的人数除以它占本次调查的学生总人数的百分率，求出本次调查的学生共有多少人；然后用选乐器课的人数除以本次调查的学生总人数，求出在扇形统计图中，的值是多少即可；
首先用本次调查的学生总人数乘参加绘画课、书法课的人数占总人数的百分率，求出参加绘画课、书法课的人数各是多少；然后根据参加绘画课、书法课的人数，将条形统计图补充完整即可；
首先判断出在被调查的学生中，选修书法的有名男同学，名女同学，然后应用列表法，写出所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的概率是多少即可．
此题主要考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，要熟练掌握，解答此题的关键是从两种统计图中获取信息并利用获取的信息解题，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

22.【答案】

证明：，，
，
四边形为平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
，，
，
由勾股定理得：，
，，
．
 

【解析】

根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

23.【答案】

解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数的解析式为；
把代入反比例函数解析式，可得，
，
把，代入一次函数，
可得，解得，
一次函数的解析式为；

令，有，即，
，，
如图，过作轴于点，
，
，
；

由图象可知，当或时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，
所以的解集是或．
 

【解析】

本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，本题属于中等题型．
将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后求出点的坐标，将、的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式；
求出点的坐标，然后根据、的坐标结合三角形的面积公式即可求出的面积；
根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
 

24.【答案】

解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元；
方案一的花费为：元，
方案二的花费为：元，
元，，
答：学校选用方案二更节约钱，节约元．
 

【解析】

根据购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元；
根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组的知识解答．
 

25.【答案】

证明：连接，，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
劣弧的长为．
 

【解析】

连接，，由圆周角定理得到，等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，求得，然后根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与直角三角形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】

解：与轴相交于点，
将点代入可得：，
又对称轴，
，
即抛物线的表达式为；
对称轴为，
代入抛物线表达式得，
即点，
设直线的表达式为，
把点，代入解得，，
的表达式为，
点在轴上，即纵坐标，此时，
，
由平面直角坐标系的可知：，，
≌，
；
存在，
点在线段上，可设，
如图所示，作轴于，
，，
由勾股定理可知，，
又，
由可知≌，
，
当∽时，
，
即，
解得，
即点的坐标为，
当∽时，
，
解得，
即点的坐标为，
综上的坐标为或
 

【解析】

根据点坐标和对称轴代入表达式即可得出；
根据写出点坐标，求出直线表达式，求出点坐标构造≌，结论即得证；
分情况构造∽，根据线段比例关系即可求出点坐标．
本题主要考查二次函数、一次函数、全等三角形、相似三角形等知识点，难点在第三问分情况构造三角形相似．