专题20：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之手拉手模型-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（含答案解析）

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专题20：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之手拉手模型一、单选题1．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（ ）对.A．1 B．2C．3 D．42．如图，正方形的边长为4，点分别在上，若,且，则的长为（ ）A． B． C． D．3．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C．沿所在直线折叠后，与重合D．沿所在直线折叠后，与重合二、填空题4．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．5．如图所示，等边的顶点在轴的负半轴上，点的坐标为，则点坐标为_______；点是位于轴上点左边的一个动点，以为边在第三象限内作等边,若点.小明所在的数学兴趣合作学习小组借助于现代互联网信息技术，课余时间经过探究发现无论点在点左边轴负半轴任何位置，，之间都存在着一个固定的一次函数关系，请你写出这个关系式是_____．6．如图，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM，若∠MBN＝38°，则∠ANB＝_____．三、解答题7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：（1）AD=BE； （2）填空∠AOE= °；（3）CP=CQ；8．如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．①BD与CE的数量关系为　 　；②∠BPC的度数为　 　．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，直接写出PB的长． 9．在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B． C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE= 度；(2)如图2，①说明：△ABD≌△ACE．②说明：CE+DC=BC．③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．10．如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，，连结，，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面积．11．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．12．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．参考答案1．C【解析】本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），进行证明．解：△EBC≌△ACD，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下：BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△ACD．CD=EC，∠FCD=ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD．BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF．故选C．2．A【解析】【分析】把绕点C逆时针旋转90°得，此时E，B，F'三点共线，证明 得，设DF=x，在Rt中，由勾股定理列出x的方程求得x，再在Rt 中，由勾股定理得结果．【详解】解： 正方形, 把绕点C逆时针旋转90°得， 此时E，B，三点共线，则，连接EF． ∴， ∵，∠ECF=45°， ∴ ∵CE=CE， ∴（SAS）， ∴． 在Rt中， ∴AE=AB-BE=2． 设DF=x，则AF=4-x． ∵ ∴， 在Rt中， ∴ 解得：． 在Rt中， ∴ 解得： 故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，正方形的性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．3．B【解析】【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．4．①②③④【解析】【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．5． 【解析】【分析】过点A作x轴的垂线，垂足为E，根据等边三角形的性质得到OE和AE，再根据三线合一得到OB即可；再连接BD，过点D作x轴的垂线，垂足为F，证明△OAC≌△BAD，得到∠CAD=∠CBD=60°，利用30°所对的直角边是斜边的一半以及点D的坐标得到BF和DF的关系，从而可得关于m和n的关系式.【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线，垂足为E，∵△ABO为等边三角形，A，∴OE=1，AE=，∴BE=1，∴OB=2，即B（-2，0）；连接BD，过点D作x轴的垂线，垂足为F，∵∠OAB=∠CAD，∴∠OAC=∠BAD，∵OA=AB，AC=AD， ∴△OAC≌△BAD（SAS），∴∠OCA=∠ADB，∵∠AGD=∠BGC，∴∠CAD=∠CBD=60°，∴在△BFD中，∠BDF=30°，∵D（m，n），∴DF=-m，DF=-n，∵B（-2，0），∴BF=-m-2，∵DF=BF，∴-n=（-m-2），整理得：.故答案为：，.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，有一定难度.6．82°【解析】【分析】根据等边三角形的边相等，角相等，易证△ACN和△MCB全等，则∠ANC和∠MBA相等，∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，然后可求出∠ANB．【详解】解：∵△ACM和△BCN是等边三角形，∴AC＝MC，CB＝CN，∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB．在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC＝∠MBA．∵∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，∴∠ANC＝22°．∴∠ANB＝22°+60°＝82°．故答案为：82°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题是典型的“手拉手”模型，应熟练掌握其中全等三角形的证明.7．（1）见解析；（2）120；（3）见解析【解析】【分析】（1）由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；（2）由（1）推出∠CAD=∠CBE，利用三角形内角和定理可求得∠BOP=∠ACP=60°，从而求得∠AOE的度数；（3）由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），从而证明CP=CQ．【详解】（1）∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60°，∴∠AOE=18060°=120°，故答案为：120；（3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=60°，在△CQB和△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．8．（1）①相等，②90°；（2）结论①不成立，，结论②成立；（3）或【解析】【分析】（1）①依据等腰三角形的性质得到，，依据同角的余角相等得到，然后依据“”可证明，最后，依据全等三角形的性质可得到；②由三角形内角和定理可求的度数；（2）先判断出，即可得出结论；（3）分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【详解】解：（1）①和是等腰直角三角形，，，，．，故答案为：相等；②故答案为： （2）（1）中结论①不成立，；结论②成立，理由：在中，，，在中，，，，，，．；；（3）解：①如图，当点在上时，．，同（1）可证．．又，．②如图，当点在延长线上时，．，同（1）可证．．，．综上所述，的长为或．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键．9．（1）90°；（2）①详见解析； ②详见解析；（3）相等或互补【解析】【分析】（1）要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；②问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；③问在第①问的基础上，进行分析解答即可．【详解】解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；故答案为：90．（2）①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SAS）；②∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中， ，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°，∴α+β=180°；③相等或互补,理由：（1）当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，在△ADB和△AEC中， ，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°，∴α+β=180°．（2）当点D在线段BC和BC延长线上时，是α+β=180°，在BC的反向延长线上时，是α=β，综上所述，α+β=180°或α=β．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．10．（1）详见解析；（2）18【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD，AB=BF，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC，AD=FC=6，求出AD⊥CF，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形、是正方形，，，，，即在和中，；图1 图2（2），，，【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD≌△FBC是解此题的关键．11．（1）CE∥AB，理由见解析；（2）见解析；（3）BE＝AE+EC．理由见解析．【解析】【分析】（1）结论：CE∥AB．证明△BAD≌△CAE（SAS）可得结论．（2）利用全等三角形的性质证明∠ADB＝∠AEC＝120°，证明∠ADB+∠ADE＝180°即可解决问题．（3）结论：BE＝AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可．【详解】（1）解：结论：CE∥AB．理由：如图1中，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）证明：如图2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共线．（3）解：结论：BE＝AE+EC．理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及等边三角形，熟练掌握判定方法及性质是解题的关键，注意平时常用的辅助线作法．12．(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．考点：四边形综合题．