专题19：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之60度90度旋转-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（含答案解析）

这是一份专题19：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之60度90度旋转-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）（含答案解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题019：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之特殊角度旋转


一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．
①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO；⑤S△AOC+S△AOB=．其中正确的结论是（　　）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=2，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．1 B． C． D．4


二、填空题
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点．若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为______．

6．如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_______．

7．已知：如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边、上的点，若，，且，则的长为__________．


8．如图，边长为5的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为_____．

9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为__________.


三、解答题
10．如图①，为正三角形内一点，且，，，求的度数.

解题思路：将绕点按顺时针方向旋转得，它的位置如图②.
易得为等边三角形，为直角三角形，所以.
根据以上的解题思路解决下列问题：
如图③，在等腰直角中，，是内一点，，，，求的度数.
11．在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D
(1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；
(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；
(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

12．综合与实践
如图1，在等边三角形中，点在内部，且猜想三条线段之间有何数量关系，并说明理由．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

（1）想法一：在图1中，将绕点按逆时针方向旋转得到连接寻找三条线段之间的数量关系；
（2）想法二：在图2中，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接寻找三条线段之间的数量关系．
13．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

14．如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．

15．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°，重复①的操作，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（2）如图3，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，求DE的长．


参考答案
1．D
【解析】
【分析】
【详解】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，
故选D．
2．D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC =60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.
【详解】
∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°
∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°
∴DE=BD，AE∥BC；
∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC
故①②③正确
∵△ABC，△BDE为等边三角形，
∴∠BED=∠BAC=60°
又∵对顶角相等
∴∠ADE=∠ABE
∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°
∴∠ADE＝∠DBC．
故④正确
故选：D
【点睛】
题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
3．A
【解析】
【分析】
证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO=S△AOO+S△OBO，可得结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO+S△AOO，计算可得结论⑤正确．
【详解】
由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；

如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=，
故结论④错误；

如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选A．
4．C
【解析】
【分析】
将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，有△ABC与△ADE全等，证明C、D、E三点共线，再根据△ACE为等边三角形即可求解；
【详解】
解：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE，

则有△ABC与△ADE全等．
∴AC=AE，∠ABC=∠ADE．
∵∠BAD=60°，∠BCD=120°．
∴∠ADC+∠ADE=∠ADC+∠ABC=180°．
∴C、D、E三点共线．
∴BC+CD=DE+DC=CE．
又∵∠CAE等于旋转角，即∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形．
∴△ACE的面积为．
由旋转可知四边形ABCD的面积等于△ACE的面积
故选：C
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，关键是将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△ADE．
5．
【解析】
【分析】
把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠PDB=90°，再求出∠BDC即可得解．
【详解】
解：如图，

把△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ADP，
由旋转的性质得，△ADP是等腰直角三角形，AD=AP=1，BD=PC=2，∠ADB=∠APC=135 ，
所以，

，

故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．
6．8
【解析】
【分析】
过点B'作B'E⊥AC于点E，由题意可证△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面积．
【详解】
解：如图：过点B'作B'E⊥AC于点E

∵旋转 ∴AB=AB'，∠BAB'=90°
∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°
∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'
∴△ABC≌△B'AE（AAS）
∴AC=B'E=4
∴S△AB'C=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质解决问题是本题的关键．
7．
【解析】
【分析】
连接EF，根据条件可以证明△OED≌△OFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF= =5cm．
【详解】
解：连接EF，

∵OD=OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOD+∠FOD=90°
∵正方形ABCD
∴∠COF+∠DOF=90°
∴∠EOD=∠FOC
而∠ODE=∠OCF=45°
∴△OFC≌△OED，
∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，
根据勾股定理得到EF==5cm．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及勾股定理，根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解题关键．
8．25
【解析】
【分析】
由题意可证△ADF≌△ABE，即可得S△ABE=S△ADF，即S四边形AECF=S正方形ABCD=AB2=25．
【详解】
解：∵正方形ABCD与直角三角板放置如图，

∴∠BAD＝∠EAF＝90°，
即∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABE＝90°，AD＝AB，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝52＝25．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
9．
【解析】
【分析】
把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，根据旋转的性质可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，从而得到∠EAF=∠DAE，再利用“边角边”证明△AEF和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根据等腰直角三角形的性质求出点A到BC的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，

∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠B=45°，
由旋转的性质得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAE，
在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴EF=DE，
∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴EF= =5，
∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，
∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴点A到BC的距离为×12=6，
∴△ABC的面积=×12×6=36．
故答案为：36.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
10．
【解析】
【分析】
将绕点按顺时针方向旋转得，连接．根据勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）可得答案.
【详解】
将绕点按顺时针方向旋转得，连接．

∵，
∴∠CAP=∠BAD，

又∵∠CAP+∠PAB=90°，
∴∠BAD+∠PAB=90°，
．
，
，．
．
【点睛】
本题考查勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS），解题的关键是熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定定理（SAS）.
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CD=BD-AC，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC+BD；
（2）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=AC-BD；
（3）通过证明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，则CD=BD-AC．
【详解】
解：（1）如图1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=AC+BD；
（2）如图2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
,
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．
（3）如图3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
,
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，
即CD=BD﹣AC．
【点睛】
此题是一道几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，是一个探究题目，对于学生的能力要求比较高.
12．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将绕点按逆时针方向旋转得到可证明是等边三角形和是直角三角形，依据勾股定理可得结论；
（2）将绕点逆时针旋转得到连接，可证明，进一步证明是等腰直角三角形和是直角三角形，运用勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）．

证明：如答图1，将绕点按逆时针方向旋转得到
则，，
是等边三角形，


∴是直角三角形，
在中，

．

证明：如答图2，将绕点逆时针旋转得到连接

，
在中，

根据勾股定理得，


是直角三角形，


．
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
13．（1）6；（2）150°.
【解析】
【分析】
（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案.
【详解】
（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，
∵∠PAC+∠BAP＝∠BAC=60°，
∴∠PAP′＝∠P′AB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=60°．
∴△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；

（2）∵PP′=6，BP=8，BP′=10，
∴PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′=90°+60°＝150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
14．．
【解析】
【分析】
作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】
作A′H⊥y轴于H.

∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，
∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A′BH，
∵BA=BA′，
∴△AOB≌△BHA′(AAS)，
∴OA=BH，OB=A′H，
∵点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(0,6)，
∴OA=2，OB=6，
∴BH=OA=2，A′H=OB=6，
∴OH=4，
∴A′(6,4)，
∵BD=A′D ，
∴D(3,5)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴这个反比例函数的解析式
【点睛】
本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（1）①EF=BE+DF，②成立，见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】
（1）①如图1，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G共线，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB=AC=，
，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
由勾股定理得：BC=，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．

则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF=DE，
设DE=，则DF=，
∵BC=4，
∴BF=CE=，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：，即，
解得：，
即DE=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．