中考数学典例精做题集专题03 定义新运算 中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

1.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等。

2. 熟练掌握有理数的运算，整式的化简和分式的化简，方程、不等式的解法。

※要点突破

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算、方程、不等式等，再进行运算.

※典例精讲

例1．对于有理数 a、b定义一种运算： ，计算(-2)*3+1．

【答案】-6

【解析】

∵a*b=2a-b，

∴（-2）*3+1=2×（-2）-3+1=-4-3+1=-6.

例2．对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）=ad﹣bc，

例如：（1，3）⊗（2，4）=1×4﹣2×3=﹣2．

（1）求（﹣2，3）⊗（4，5）的值为_____；

（2）求（3a+1，a﹣2）⊗（a+2，a﹣3）的值，其中a2﹣4a+1=0．

【答案】﹣22

式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

※课堂精练

一、单选题

1．我们定义一种新运算，例如，则式子的值为　　

A．            B．           C．           D．

【答案】B

2．设a，b，c，d代表四个有理数，规定＝ad－bc，则计算的正确结果是(　　)

A． －25    B． －10    C． 10    D． 26

【答案】B

【解析】 根据规定＝ad－bc,可得,然后根据有理数的乘法和加法,减法法则计算即可.

【详解】

因为规定＝ad－bc,

所以,

故选B.

3．对，定义一种新运算“※”，规定：（其中，均为非零常数），若，．则的值是（    ）．

A．             B．           C．          D．

【答案】C

【解析】根据新定义的运算律可得，解方程即可得到m、n的值，再带入到.中，求解即可.

根据题意可得方程组解得，

则=5×2+（-1）×1=9，

故选：C

4. 对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2＋2※3＋3※4＋…＋2017※2018的值为(　　)

A．          B．          C．         D． －

【答案】D

二、填空题

5．小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序：输入a，※键，再输入b，得到运算a※b＝a2－ab，则(－2)※3＝____.

【答案】10

【解析】（-2）※3

=（-2）2-（-2）×3 

=4+6

=10.

6．现定义两种运算“⊕”与“”，对于任意两个整数a，b，a⊕b＝a＋b－1，ab＝ab－1，则68+(－3)⊕（－5）=______

【答案】38  ；

【解析】

∵a⊕b＝a＋b－1，ab＝ab－1，

∴68=6×8-1=47，(－3)⊕（－5）=-3-5-1=-9，

∴68+(－3)⊕（－5）=47-9=38，

故答案为：38．

7．如果表示运算x+y+z，表示运算a－b＋c－d,那么的结果是           。

【答案】12

【解析】

由题意，此图表示的算式是[(－1)＋(－2)＋(－3)]×(2 010－2 011＋2 012－2 013)＝(－6)×(－2)＝12.

8．对于三个5．对于有理数x、y定义新运算x☆y=ax+by－1，其中a、b是常数，已知1☆2=8，（－3）☆3=－1，则4☆（－5）=___________。

【答案】-4

9．a是不为1的有理数，我们把称为的差倒数。如：2的差倒数是， －1的差倒数是．已知， 是的差倒数， 是的差倒数， 是的差倒数，…，依此类推，则___________.

【答案】

【解析】a1=-，a2==，a3==4，a4 ==-，a5=，····，

三个一循环.

2018÷3=672……2，所以a2018=a2=。

10．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[]=2的整数解为_____．

【答案】6，7，8

三、解答题

11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a ☆． 

如：1☆.

（1）求（﹣2）☆5的值；

（2）若☆3＝8，求a的值；

【答案】（1）-32（2）3

【解析】（1）求（﹣2）☆5=-252-2-2=-32.

（2）由题意得，

，

解得a=3.

点睛： 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.

12．对于有理数a，b，定义运算：a⊕b＝ab－2a－2b＋1.

(1)计算5⊕4的值；

(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；

(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．

【答案】(1)3；(2)－24；(3)成立．

13．对任意4个有理数a、b、c、d，定义新运算．

（1）求=     ．

（2）若，求x的值．

（3）若，求x的值．

【答案】（1）-7；（2）x=7；（3）x=5

【解析】解：（1）原式=1×5-3×4=5-12=-7；

（2）根据题意化简得：3x+2x=35，合并得：5x=35，解得：x=7；

（3）根据题意化简得：2（x+1）﹣3（x﹣1）=2x﹣10，去括号得：2x+2﹣3x+3=2x﹣10，移项合并得：3x=15，解得：x=5．

14．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b=2a﹣b，例如：5@3=10﹣3=7，（﹣3）@5=﹣6﹣5=﹣11．

（1）若x@3＜5，求x的取值范围；

（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）=x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．

【答案】（1）x＜4；（2）a＞﹣3．

 15．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：

（a，b）★（c，d）=bc－ad．

例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_______；

（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x=_______；

（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．

【答案】（1）－5；（2）1；（3）k=1，﹣1，﹣2，﹣4．

【解析】

解：（1）﹣5……………………．.

（2）1  ……………………．.4分

（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数,

∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k,

∴（2k﹢3）x=5,

∴,

∵k是整数,

∴2k+3=±1或±5,

∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.

16．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为.

（1）若是“相伴数对”，求的值.

（2）若是“相伴数对”，用的式子表示.

（3）若是“相伴数对”，求代数式的值.

【答案】（1） ；（2） ；（3）2

17．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．

定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．

例如：因为，所以；因为，所以．

根据“对数”运算的定义，回答下列问题：

（1）填空：          ，          ．

（2）如果，求m的值．

（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

【答案】（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.

18．观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：

我们称使等式成立的一对有理数， 为“共生有理数对”，记为（， ），如：数对（， ），（， ），都是“共生有理数对”．

（1）判断数对（， ），（， ）是不是“共生有理数对”，写出过程；

（2）若（， ）是“共生有理数对”，求的值；

（3）若（， ）是“共生有理数对”，则（， ）     “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；说明理由；

（4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为                          （注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）

【答案】（1）（， ）；（2）（3）是（4）（， ）或（， ）

【解析】（1）-2-1=-3，(-2) ×1+1=-1，-3≠-1，故（， ）不是共生有理数对；