高考专题1 第4讲 导数的简单应用（学生版）

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1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
【要点提炼】
考点一 导数的几何意义与计算
1．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
2．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
【典例】1 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
【拓展训练】1 (1)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于( )
A．e B．2e C．1 D．2
(2)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
【要点提炼】
考点二 利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认．
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况．
【热点突破】
【典例】2 已知f(x)＝a(x－ln x)＋eq \f(2x－1,x2)，a∈R.讨论f(x)的单调性．
【拓展训练】2 (1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(0，π)，有f′(x)sin x>f(x)cs x，且f(x)＋f(－x)＝0，设a＝2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，b＝eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，c＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))，则( )
A．a