苏州市平江中学2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（含解析）

这是一份苏州市平江中学2020-2021学年初二数学下学期期中试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了本试卷共3大题，满分100分等内容，欢迎下载使用。
苏州市平江中学2020-2021学年第二学期期中测试试卷
八年级数学
注意事项:
1．本试卷共3大题，满分100分．考试用时100分钟．
2．答题前，考生务必将姓名､班级､学号填写完整，并在相应位置贴上条形码．
3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的笭案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．
4．考生答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（共10小题，每题2分）
1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确是（）
A. 概率很小的事情不可能发生
B. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
C. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
D. 从1､2､3､4､5中任取一个数是偶数的可能性比较大
3. 下列分式中是最简分式的是（）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转，对应得到，则的度数为（）

A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（　　）
A. 对角线互相垂直四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形
6. 反比例函数图象上有三个点，，，若，则大小关系是（　　）
A. B. C. D.
7. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）
A. B. C. 且 D. 且
9. 为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）

A. 4月份的利润为50万元 B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 9月份该厂利润达到200万元 D. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为9，则k的值为（）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
二、填空题（共8小题，每题2分）
11. 要使分式有意义，则x的取值应满足_______．
12. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于第_______象限．
13. 某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63(单位：m)这一小组的频率为0.25，则该组的人数为____．
14. 如图，在中，点D､E分别是边､的中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为_______．

15. 如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．

16. 已知直线与双曲线y＝（x＞0）交于点M（m，n），则代数式+的值是________．
17. 如图，菱形ABCD的两个顶点A、B在函数 (x>0)的图像上，对角线AC//x轴．若AC=4，点A的坐标为（2，2），则菱形ABCD的周长为_____．

18. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：

②四边形是菱形；
③重合时，；
④的面积的取值范围是
其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．

三、解答题（共9小题，共64分）
19. 化简:
20. 解方程：
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 某中学为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机抽查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并制成如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

（1）被抽样的学生总数有__________人，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中的值为___________，“组”对应的圆心角是__________度；
（3）请估计该校2500名学生中每周的课外阅读时间不少于4小时的人数．
23. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
24. 如图，已知菱形的对角线､相交于点O，延长至点E，使，连接．

（1）求证：四边形平行四边形；
（2）若，求菱形的面积．
25. 如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．

26. 如图，在平面直角坐标系中，已知中，已知点､，点B在第三象限内．

（1）求点B的坐标；
（2）将以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B､C两点的对应点，正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P､Q､､四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证:，从而得．


【实践探究】
（1）在图①条件下，若，则正方形的边长是______．
（2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
拓展】
（3）如图3，正方形的边长为8，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，求的长．
（4）在（3）的条件下，的值为_______（直接写出答案）．

一、选择题（共10小题，每题2分）
1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A是轴对称图形，故不正确；
B既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不正确；
C是中心对称图形，故正确；
D是轴对称图形，故不正确；
故选C.
2. 下列说法正确的是（）
A. 概率很小的事情不可能发生
B. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
C. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
D. 从1､2､3､4､5中任取一个数是偶数的可能性比较大
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】利用概率的意义和随机事件的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【详解】解：A、概率很小的事也可能发生，故本选项错误；
B、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故本选项错误；
C、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确；
D、从1、2、3、4、5中任取一个数是奇数的可能性比较大，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了随机事件和概率的意义，正确掌握随机事件的定义和概率的意义是解题关键．
3. 下列分式中是最简分式的是（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
4. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转，对应得到，则的度数为（）

A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转可得∠CAC′=50°，再根据角之间的和差关系可得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，
∴∠CAC′=50°，
∵∠BAC=32°，
∴∠C′AB=50°+32°=82°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
5. 下列说法正确的是（　　）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确；
选项B，矩形对角线相等但不一定垂直，故不正确；
选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确；
选项D，四边相等的四边形是菱形．
故选D.
6. 反比例函数图象上有三个点，，，若，则的大小关系是（　　）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】反比例函数图象在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，点，，，，，在图象上，且，可知点，，，在第三象限，而，在第一象限，根据函数的增减性做出判断即可．
【详解】解：反比例函数图象在一三象限，随的增大而减小，
又点，，，，，在图象上，且，
点，，，在第三象限，，
点，在第一象限，，
，
故选．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质，当时，在每个象限内随的增大而减小，同时要注意在同一个象限内，不同象限的要分开比较，利用图象法则更直观．
7. 反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】比例系数相同，两个函数必有交点，然后根据比例系数的符号确定正确选项即可．
【详解】解：k＞0时，一次函数y＝﹣kx+1的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合；
k＜0时，一次函数y＝﹣kx+1的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．
故选：B．
【点睛】考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）
A. B. C. 且 D. 且
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：两边都乘以x-1，得：m-1=2（x-1），
解得：x=，
因为分式方程的解为正数，
所以>0，且≠1，
解得：m＞-1且m≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件．
9. 为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）

A. 4月份的利润为50万元 B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 9月份该厂利润达到200万元 D. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
【9题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．
D、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点A，F，且，的面积为9，则k的值为（）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，，过点作于，过点作于．证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，过点作于，过点作于．

，，
，
，
，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共8小题，每题2分）
11. 要使分式有意义，则x的取值应满足_______．
【11题答案】
【答案】x≠2
【解析】
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【详解】解：依题意得：x-2≠0，
解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
12. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于第_______象限．
【12题答案】
【答案】一、三
【解析】
【分析】设这个反比例函数解析式为，把点A的坐标代入解析式求出k的值即可得解，再根据反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：设这个反比例函数解析式为，
∵反比例函数图象经过点A（-2，-2），
∴=-2，
∴k=4，
∴，
∵k=4＞0，
∴它的图象位于第一、三象限；
故答案为：一、三．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，要特别注意，反比例函数图象的增减性要考虑在每一个象限的情况．
13. 某校对120名初二女生的身高进行了测量，身高在1.58～1.63(单位：m)这一小组的频率为0.25，则该组的人数为____．
【13题答案】
【答案】30人．
【解析】
【分析】本题按照频率计算公式求解，随机事件A发生的频率等于频数与总数的比值．
【详解】根据题意，频数=频率×总数，该组的人数为120×0.25=30(人)．
故填：30人．
【点睛】本题考查频率的定义，按照计算公式求解，注意仔细即可．
14. 如图，在中，点D､E分别是边､的中点，连接，的平分线交于点F，若，则的长为_______．

【14题答案】
【答案】1
【解析】
【分析】首先利用中点的定义和中位线定理得到DE∥BC，DE=BC=3，AD=BD=2，利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，推出BD=DF=2，根据DE-DF可得EF．
【详解】解：∵点D和点E分别为AB和AC中点，
∴DE∥BC，DE=BC=3，AD=BD=2，
∴∠DFB=∠CBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠DBF，
∴BD=DF=2，
∴EF=DE-DF=3-2=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．

【15题答案】
【答案】

【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，继而得到∠ACB=2∠BAC，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ABC=∠D=102°，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，
∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，
∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，
∴3∠BAC=78°，
即∠BAC=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．
16. 已知直线与双曲线y＝（x＞0）交于点M（m，n），则代数式+的值是________．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】把交点坐标分别代入直线和双曲线的函数解析式，再把m，n关系式代入代数式即可．
【详解】∵直线与双曲线y＝（x＞0）交于点M（m，n），
∴m+n=1，mn=-4，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数性质，分式的计算，理解交点的意义是解题的关键．
17. 如图，菱形ABCD的两个顶点A、B在函数 (x>0)的图像上，对角线AC//x轴．若AC=4，点A的坐标为（2，2），则菱形ABCD的周长为_____．

【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接BD与AC交于点O，根据AC=4，得出AO=OC=2，再根据A的坐标为（2，2）求出反比例解析式，从而计算出B点的坐标，再根据距离公式算出AB的长度，从而求算周长．
【详解】如图，连接BD与AC交于点O

∵A的坐标为（2，2）
∴反比例函数的解析式为
又∵四边形ABCD是菱形且AC=4
∴AO=OC=2
∴B点坐标为
∴AB=
∴菱形ABCD的周长为：
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与菱形性质相结合，掌握菱形的对角线平分以及反比例图象上的点的特点是解题关键．
18. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：

②四边形是菱形；
③重合时，；
④的面积的取值范围是
其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．

【18题答案】
【答案】②③
【解析】
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可．
【详解】如图1，









四边形是平行四边形，

四边形是菱形，故②正确；



若，则
，这个不一定成立，
故①错误；
点与点重合时，如图2，

设则
在
即
解得
,
,
，
,
故③正确；
当过点时，如图3，

此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，
当点与点重合时，最长，四边形面积最大，则最大为，
，
故④错误．
故答案为②③．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
三、解答题（共9小题，共64分）
19. 化简:
【19题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先变形为同分母分式的减法，再根据法则计算，最后约分化简可得．
【详解】解：原式


．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和步骤．
20. 解方程：
【20题答案】
【答案】x=.
【解析】
【详解】试题分析：先找出最简公分母x(x+2),方程两边都乘以最简公分母化为整式方程，解整式方程，检验即可.
原方程可化为：3x+x+2=4
解得：x=
经检验：x=是原方程的解.
考点：解分式方程.
21. 先化简，再求值：，其中．
【21题答案】
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：先把括号的分式通分，化为最简后再算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后把x的值代入即可.
试题解析：原式=
=
当x=时，原式=.
22. 某中学为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机抽查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并制成如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

（1）被抽样学生总数有__________人，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中的值为___________，“组”对应的圆心角是__________度；
（3）请估计该校2500名学生中每周的课外阅读时间不少于4小时的人数．
【22题答案】
【答案】（1）100;（2）40；18;（3）人
【解析】
【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，即可补全频数分布直方图；
（2）利用百分比的概念求得m的值，用360°乘以对应的百分比可得“E组”对应的圆心角；
（3）用总人数乘以样本中C、D、E组人数所占比例可估计该校2500名学生中每周的课外阅读时间不少于4小时的人数．
【详解】解：（1）因为10÷10%=100，
所以被抽样的学生总数有 100人，
故答案为：100；
如图所示：即为补全的频数分布直方图；

（2）因为E组的百分比为：5÷100=5%，
所以m=100-10-25-20-5=40，
360°×5%=18°，
所以扇形统计图中m的值为40，“E组”对应的圆心角是18度；
故答案为：40；18；
（3）2500×（1-10%-25%）=1625（人）．
答：估计该校2500名学生中每周的课外阅读时间不少于4小时的人数是1625人．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．
23. 创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
【23题答案】
【答案】200
【解析】
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，
根据题意可得：，
解得，
经检验得是分式方程的解，
答：原计划每天植树200棵．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24. 如图，已知菱形的对角线､相交于点O，延长至点E，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求菱形的面积．
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AB=CD=BC，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，BE=CD，BD=CE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴CE⊥AC，BE=AB=BC=CD，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，∠CAE=30°，
∴BD=CE=BC=8，AC=CE=，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD==．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的运用．证明出四边形BECD是平行四边形是解题的关键．
25. 如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．

【25题答案】
【答案】（1）y1=-2x+10，；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）15．
【解析】
【分析】（1）先根据B点坐标求出k2，确定反比例函数解析式；再根据反比例函数解析式求出A点坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接根据A、B的坐标写出答案即可；
（3）如图：连接AO、BO,先根据一次函数解析式确定C、D的坐标，进而求得△ACD的面积，再求出△AOC和△BOD的面积，最后用S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD求解即可．
【详解】解（1）把点B（4，2）代入反比例函数得，k2=4×2=8
∴反比例函数的解析式为
将点A（m，8）代，解得m=1
∴A（1，8）
将A、B的坐标代入，得
，解得
∴一次函数的解析式为y1=-2x+10；
（2）如图；∵A（1，8），B（4，2）
∴，即的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图：连接AO、BO
∵y1=-2x+10
∴C（0,10），D（5，0），即OD=10,OC=5
∴S△ACD= , S△AOC= S△BOD=
∴S△AOB=S△ACD-S△AOC-S△BOD=25-5-5=15．

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、运用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式以及拼凑法求不规则三角形的面积，掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知中，已知点､，点B在第三象限内．

（1）求点B的坐标；
（2）将以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B､C两点的对应点，正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P､Q､､四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【26题答案】
【答案】（1）（-1，-3）；（2）t=，；（3）（，4）或（，-4）或（，8）
【解析】
【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，证明△ACF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和C′点的坐标，再根据“B'、C'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和C′点的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；
（3）分两种情况：B′C′为平行四边形的边，B′C′为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【详解】解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
则∠AFC=∠AEB=90°，
∵点A（0，-6）、C（-3，-7），
∴CF=3，AF=1，
∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAE=∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BAE，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF=AE=3，AF=BE=1，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴B（-1，-3）；

（2）根据题意得，B′（-1，-3+2t），C′（-3，-7+2t），
设经过B'、C'的反比例函数解析式为：，
∴k=-1×（-3+2t）=-3（-7+2t），
解得，t=，
∴k=-1×（-3+2t）=3-9=-6，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）设P（n，0），
由（2）知B′（-1，6），C′（-3，2），
①当B'C'为平行四边形的边时，则B′C′∥QP，B′C′=QP，
∴Q（n+2，4）或（n-2，-4），
把Q（n+2，4）代入中，得，4（n+2）=-6，
解得，n=，
∴Q（，4），
把Q（n-2，-4），代入中，得，-4（n-2）=-6，
解得，n=，
∴Q（，-4），
②当B'C'为对角线时，则B'C'的中点坐标为（-2，4），
∴PQ的中点坐标为（-2，4），
∴Q（-4-n，8），
把Q点坐标代入中，得，8（-n-4）=-6，
解得，n=，
∴Q（，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（，4）或（，4）或（，8）．
【点睛】本题是反比例函数与几何结合的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，关键是证明全等三角形和分情况讨论．
27. 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证:，从而得．

【实践探究】
（1）在图①条件下，若，则正方形的边长是______．
（2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图3，正方形的边长为8，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，求的长．
（4）在（3）的条件下，的值为_______（直接写出答案）．
【27题答案】
【答案】（1）6；（2）EF2=BE2+DF2；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）由旋转得：△ABE≌△ADM，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN，证明△AMN≌△EAN（SAS），得到MN=EN．证出MN=BN+DM，利用勾股定理得出MN，则BN+DM=5，设正方形ABCD的边长为x，得出方程x-3+x-4=5，解之即可；
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QE．只要证明△EAQ≌△EAF即可解决问题；
（3）连接OE、CE．将△DCE绕点C逆时针旋转90°得到△BCG，连接FG，则∠ECG=90°，EC=CG，∠CBG=∠BDC=45°．设BF=3x，EF=5x，则BG=DE=4x，理由勾股定理构建方程即可解决问题；
（4）由△DEP是等腰直角三角形，推出PD=EP，推出EP+CP=PD+CP=CD=8，可得EP+=．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
即∠EAM=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°，
∴∠MAN=∠EAN，
在△AMN和△EAN中，
，
∴△AMN≌△EAN（SAS），
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=BN+DM．
在Rt△CMN中，MN==5，
则BN+DM=5，
设正方形ABCD的边长为x，则BN=BC-CN=x-3，DM=CD-CM=x-4，
∴x-3+x-4=5，
解得：x=6，
即正方形ABCD的边长是6；
（2）如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QE．


∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=∠ABD=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAQ+∠BAE=45°，
∴∠EAQ=∠EAF=45°，
∵AE=AE，AQ=AF，
∴△EAQ≌△EAF，
∴EQ=EF，
∵∠ADF=∠ABE=45°，
∴∠QBE=90°，
∴EQ2=BQ2+BE2，
∵BQ=DF，QE=EF，
∴EF2=BE2+DF2．
（3）连接QE、CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=90°，∠DBC=45°，
∵PE⊥BD，
∴∠PEB=∠PCB=90°，
∵O为BP的中点，
∴OE=OB=OP=OC，
∴∠POE=2∠DBP，∠POC=2∠CBP，
∴∠COE=∠POE+∠POC=2（∠DBP+∠CBP）=90°，
∴OE⊥OC，
将△DCE绕点C逆时针旋转90°得到△BCG，连接FG，
则∠ECG=90°，EC=CG，∠CBG=∠BDC=45°．

∵△CQE为等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，
∴∠DCE+∠BCF=45°，
∵∠BCF+∠BCG=45°，
∴∠FCG=∠ECF，
∵CF=CF，
∴△ECF≌△GCF，
∴EF=FG，
∵∠FBG=∠FBC+∠CBG=90°，
∴BF2+BG2=FG2，
∵△DCE≌△BCG，
∴DE=BG，
设BF=3x，EF=5x，则BG=DE=4x，
∴3x+4x+5x=，
解得x=，
∴DP=DE=；
（4）∵△DEP是等腰直角三角形，
∴PD=EP，
∴EP+CP=PD+CP=CD=8，
∴EP+，
即EP+．
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，在正方形中如果遇到45°角，且角的顶点在正方形的顶点上时，常利用旋转三角形构建全等三角形解决问题，属于中考压轴题