压轴专题04图形规律探索题答案解析

这是一份压轴专题04图形规律探索题答案解析，共18页。
1.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为
【答案】（0，21008）.
【解析】解：由题意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3=，OA3=2，
∴A3(2,0),
同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)……
每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内，2017÷8=252……1，
即点A2017在y轴正半轴上，横坐标为0，
各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23，……
2017÷2=1008……1，
可得点A2017的纵坐标为：21008，
故答案为（0，21008）.
2.如图，在一个单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2019的横坐标为（ ）
A．-1008 B．2C．1D．1011
【答案】A.
【解析】解：
观察图形可知，奇数点在x轴上，偶数点在象限内，
所以A2019在x轴上，
A1，A5，A9，A13……，A4n－3在x正半轴，4n－3=2019，n=505.5，所以A2019不在x正半轴上；
A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……，
3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2019=4×504+3，
∴－2×504=－1008，
即A2019的坐标为（－1008，0），
故答案为：A.
3.如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，称为一次旋转，依此方式，……，绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形 OA2 019B2 019C2 019，如果点 A 的坐标为(1，0)，那么点B2 019 的坐标为.
【答案】（－,0）.
【解析】由旋转及正方形性质可得：
B(1,1),B1(0, )，B2(－1, 1)，B3(－,0)，B4(－1, －1)，B5(0, －)，B6(1, －1)，B7(, 0)，B8(1, 1)，……
∴360÷45=8，
2019÷8=252……3，
∴点B2019落在x轴负半轴上，
即B2019(－,0)，
故答案为：（－,0）.
4.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（ ）
A．5B．12C．10070D．10080
【答案】D．
【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限，
∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，
在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB=，
可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…
∴点B2016横坐标为10080．
故答案为：D．
5.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
A．33B．301C．386D．571
【答案】C．
【解析】解：由图形知：
第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，
第n个正方形数为n2，
当n＝19时，＝190＜200，
当n＝20时，＝210＞200，
所以最大的三角形数：m＝190；
当n＝14时，n2＝196＜200，
当n＝15时，n2＝225＞200，
所以最大的正方形数：n＝196，
则m+n＝386，
所以答案为：C．
6.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为 ．

【答案】．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°，
∴AC=AB=，
同理可得：AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，……
第n个菱形的边长为：，
故答案为：．
7.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（ ）
A． •（）2015B． •（）2016C． •（）2017D． •（）2018
【答案】B．
【解析】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴OA1=OA=，OA2=OA1=2×，OA3=OA2=2×…，
∴OAn=（）nOA=2（）n．
∴OA2018=2×（）2018=•（）2016
故答案为：B．
8.如图，函数的图象记为C1，它与x轴交于点O和点A1，将C1绕点A1选择180°得C2，交x轴于点A2……，如此进行下去，若点P(103，m)在图象上，则m的值是（）
A. -2B. 2C. -3D. 4
【答案】A．
【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位，函数值相同，即函数图象重复周期为8，103÷8=12……5，当x=5时，y=－2，
即m=－2，
故答案为：A.
9.如图，弹性小球从点 P(0，1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2，0)，第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2，……，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 019 的坐标是（ ）
A．(0，1)B．(-4，1)C．(-2，0)D．(0，3)
【答案】D．
【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）……
2019÷6=336……3，
即P2019（0,3），
故答案为：D.
10.如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC=60°，点 B 在 y 轴上，OA=1，先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转2019次，点 B 的落点依次为 B1，B2，B3，…，则 B2 019 的坐标为（ ）
A. (1010,0)B.(1310.5, ) C. (1345, )D. (1346,0)
【答案】D.
【解析】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2019=336×6+3，
∴点B3向右平移1344（即336×4）到点B2019．
∵B3的坐标为（2，0），
∴B2019的坐标为（1346，0），
故答案为：D．
11.如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2019的直角顶点的坐标为（ ）
A．（8076，0）B．（8064，0）
C．（8076， ）D．（8064， ）
【答案】A．
【解析】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），
由勾股定理得：AB＝5，
由图可知，三个三角形为一个循环，经历一次循环前进的水平距离为：12，
2019÷3＝673，直角顶点在x轴上，
673×12＝8076，
∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．
故答案为：A．
12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为 ．
【答案】（21008，21009）．
【解析】解：由图可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，
∵2017=504×4+1，
∴点A2017在第一象限，
∵2017=1008×2+1，
∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．
∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．
故答案为：（21008，21009）．
13.如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）

A．（1，1）B．（0，）C．（，0）D．（﹣1，1）
【答案】D．
【解析】解：∵四边形OABC是正方形，OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB＝，
由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…，
360÷45=8，每8次一循环，2018÷8＝252……2，
∴点B2018的坐标为（﹣1，1）.
故答案为：D．
14.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OB＝4，OA＝2 ．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2019秒时，点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣）B．（3，﹣）C．（﹣3，）D．（0，2 ）
【答案】A．
【解析】解：360÷60=6，
即每6秒一循环，
2019÷6=336……3，
即2019秒时， 点A与其对应点A′关于原点O对称，
∵OA＝4，∠AOB＝30°，
可得：A(3, )，
∴第2019秒时，点A的对应点A′的坐标为(－3, －)，
故答案为：A.
15.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为
【答案】．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴，
由勾股定理得：AB=AD=，
∴BA1=，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积=，
同理，第3个正方形的面积为：，
第4个正方形的面积为：，……
∴第2017个正方形的面积为：.
即答案为：.
16.如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到⊙O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；…… 按此规律运动到点 A2 017 处，则点 A2 017 与点 A0 间的距离是
【答案】4.
【解析】解：由图分析可知，A6点与A0点重合，
2017÷6=336……1，
即点A2 017 与A1重合，
∵⊙O的半径为 2 ，
∴点 A2 017 与点 A0 间的距离是4.
17.如图，由一些点组成形如正多边形的图案，按照这样的规律摆下去，则第n（n＞0）个图案需要点的个数是 ．
【答案】n2+2n.
【解析】解：由图知，第1个图形点数为3+0×3，第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……
第n个图形点数为：（n+2）+（n－1）（n+2）=n2+2n，
即答案为：n2+2n.
18.如图所示的坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方形无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点分别是B1，B2，B3，……，则B2017的坐标为
【答案】（1345.5，）.
【解析】解：由题意知：OB=OA=，即B(0, )，
∴B1的纵坐标为：，横坐标为：×=，
即B1(，)，
由图可知，每翻折6次，图形向右平移4个单位，
2017=336×6+1，
求得：B2017（336×4+ ，），即B2017（1345.5，），
故答案为：（1345.5，）.
19.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，……和点B1，B2，B3，……分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3……都是等腰直角三角形，若点A1(1,1)，则点A2019的纵坐标是
【答案】.
【解析】解：如图，分别过A1，A2，A3作x轴的垂线，
∵点A(1,1)在直线上，
∴b=，
由△OA1B1是等腰直角三角形，得：OB1=2，
设A2(x,y)，则B1C2=x－2，y= x－2,
∴x－2=，解得：x=，y=，即A2的纵坐标为：；
同理可得：A3的纵坐标为：，
即An的纵坐标是An－1纵坐标的倍，
即A2019的纵坐标为：.
20.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0，2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形 A1CC1B1；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2C1C2B2；…，按照这样的规律作正方形，则点B2 019 的纵坐标为 ．
【答案】.
【解析】解：过B作BH⊥x轴于H，
由一线三直角模型，可知△ADO≌△BAH，
即BH=OA=1，即B点纵坐标为1，
同理得：B1点纵坐标为，
B2点纵坐标为，
B3点纵坐标为，……
B2019点纵坐标为，
即答案为：.