专题2.3 以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版）

这是一份专题2.3 以二次函数与直角三角形问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版），共57页。
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。直角三角形的有关知识和二次函数都是初中代数中的重点内容，这两块内容的综合是初中数学最突出的综合内容，因此这类问题就成为中考命题中比较受关注的热点问题.
【解题思路】
近几年的中考中,二次函数图形中存在性问题始终是热点和难点。考题内容涉及到分类讨论、数形结合、化归等数学思想,对学生思维能力、模型思想等数学素养要求很高,所以学生的失分现象比较普遍和突出。解这类问题有什么规律可循?所应用的知识点：1.抛物线与直线交点坐标;2.抛物线与直线的解析式;3.勾股定理;4.三角形的相似的性质和判定;5.两直线垂直的条件;运用的数学思想：1.函数与方程;2.数形结合;3.分类讨论;4.等价转化；解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2. 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.
【典型例题】
【例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.

（1）若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】（1），；（2）M（－1，2）；（3）满足条件的点P共有四个,分别为（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，可得方程组，解方程组可求得a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；根据抛物线的对称性和点A的坐标（1，0）可求得B点的坐标（－3，0），用待定系数法可求得直线BC的解析式；（2）使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点，把x=-1代入直线BC的解析式求得y的值，即可得点M的坐标；（3）分①B为直角顶点，②C为直角顶点，③P为直角顶点三种情况分别求点P的坐标．
试题解析：（1）依题意，得 解之，得
∴抛物线解析式为．
∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（－3，0）．
把B（－3，0）、C（0，3）分别直线y＝mx＋n，得
解之，得
∴直线BC的解析式为．
（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.[来源:学科网]
∴使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点.
设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1
代入直线，得y＝2.
∴M（－1，2）
（3）设P（－1，t），结合B（－3，0），C（0， 3），得BC2＝18，
PB2＝（－1＋3）2＋t2＝4＋t2，
PC2＝（－1）2＋（t－3）2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.
解之,得t＝－2.
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即
18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即
4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．
综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．

考点：二次函数综合题.
【名师点睛】本题是二次函数的综合题，考查的知识点有平面直角坐标系上点的特征、直角三角形的知识，题目综合性较强，有一定的难度；解题时要注意应用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想，会综合运用所学的知识灵活的解题.
【例2】（2018甘孜州中考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形；
（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）将、代入，得：
，解得：，
此二次函数解析式为．
（2）为直角三角形，理由如下：
，
顶点的坐标为．
当时，，
点的坐标为．
点的坐标为，
，
，
．
，
，
为直角三角形．
（3）设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为，
将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．
联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
点的坐标为，
，，．
为直角三角形，
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，有，即，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
③当时，有，即，
整理，得：．
，
该方程无解（或解均为增解）．
综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．
【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．
【例3】（2018资阳中考）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•（AG+BM）
=PN•OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【名师点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
【方法归纳】解决二次函数中直角三角形存在性问题采用方法：1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点；2. 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1，以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解.
【针对练习】
1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

【答案】（1） ，对称轴为：直线x=﹣；（2）t=或；（3）．

（2）存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直线AC的解析式为： ，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，∴ ，即，解得：t=；
②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE=AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t=，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=或；学科*网
（3）∵B（1，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S=（DE+OC）•OD=（t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；
当D在y轴的右侧时，如图2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）•OD=（﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即（2＜t＜）．
综上所述：

2．（2018吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，学科*网
(2)结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，学科&网
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1(m＜1)．学科&网
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．
3．（2016泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于A（1，），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．
【详解】
（1）∵A（1，），B（4，0）在抛物线的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
①当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，），
∴D坐标为（1，0）；
②当点D在y轴上时，设D（0，d），
则，，
且，学&科网
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴
，即，
解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴=，∴MF=PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=，
∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，
设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=，
∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴，
∴a=PF，
∴NC=a=PF，
∴==，学*科网
∴MN=NC==a，
∴MC=MN+NC=（）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（）a），
又M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，
∴点M的坐标为（，）．

4．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为= ；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
试题解析： （1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，学*科网
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），学*科网
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，学科*网
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．学*科网
考点：二次函数综合题
5．（2018济南一模）已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．
【详解】
（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
设点M的坐标为（1，m），
则CM=，AC==，AM=．
分两种情况考虑：
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，
解得：m=，
∴点M的坐标为（1，）；

6．（2018宜春模拟）如图，抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，其对称轴为x=3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）﹣3≤t＜0或0＜t≤3；（3）存在．点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（﹣3，﹣9）．
【解析】
（3）依题意得到t=3，则P（3，-3），讨论：当直角顶点为点O时，OP⊥OQ，易得直线OQ的解析式为y=x，则解方程组得此时点Q的坐标；当直角顶点为点P时，过点P作直线的垂线交抛物线于点Q，则可设直线PQ的解析式为y=x+b，接着把P（3，-3）代入求出b得到直线PQ的解析式为y=x-6，然后解方程组得此时Q点坐标．学&科网
【详解】
解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0），
把B（6，0）代入y=ax2+2x得36a+12=0，解得a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x；
∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点A的坐标为（3，3），
设直线AB解析式为y=kx+b．
把A（3，3），B（6，0）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）∵直线∥AB且过点O，
∴直线解析式为y=﹣x，
设P点坐标为（t，﹣t），
当点P在第四象限时（t＞0），
S=S△AOB+S△POB=•6•3+•6•|﹣t|=9+3t，
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，解得﹣3＜t≤3．
又t＞0，
∴0＜t≤3；
当点P在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N．如图，
S=S梯形PANM+S△ANB﹣S△PMO= [3+（﹣t）]•（3﹣t）+•3•3﹣•（﹣t）（﹣t）
=﹣3t+9，
∵0＜S≤18，
∴0＜﹣3+9≤18，解得﹣3≤t＜3．
又t＜0，
∴﹣3≤t＜0；
综上所述，t的取值范围是﹣3≤t＜0或0＜t≤3；


7．如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（4，0），C（3，﹣3）;(2) m=;(3) E点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；
(3) 设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，可得Rt△FNP∽Rt△PBC，
NP：NF=BC：BP求得直线PE的解析式，后利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形求得E点坐标.
方法二：（1）同方法一.
(2) 由△ACP为直角三角形, 由相互垂直的两直线斜率相乘为-1，可得m的值；
（3）利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，分别讨论E点再x轴上，y轴上的情况求得E点坐标。学科&网
【详解】
方法一：
解：
（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，
∴对称轴x=2，
令y=0，则x2﹣4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，
∴B（1，﹣3），
∴C（3，﹣3）．

∴当∠ACP=90°时，PA2=PC2+AC2，
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，
解得：m=，m=1（舍去），
当∠APC=90°时，PA2+PC2=AC2，
即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，
解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，
故m=．

∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，
∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，
∴E（2，0）或E（，0），学科*网
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（，0）；
令x=0，则y=﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）
∴PE2=（﹣2）2+12=5
∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），
∴E（0，﹣4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，﹣4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；

∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，
①AC⊥AP，∴KAC×KAP=﹣1，且m＞1，
∴，m=﹣1（舍）
②AC⊥CP，∴KAC×KCP=﹣1，且m＞1，[来源:学&科&网]
∴=﹣1，∴m=，
③AP⊥CP，∴KAP×KCP=﹣1，且m＞1，
∴=﹣1，∴m=（舍）
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），
∴KCP=，
△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PE⊥PC，∴KPE×KCP=﹣1，∴KPE=2，
∵P（1，﹣m），
∴lPE：y=2x﹣2﹣m，
∵点E在坐标轴上，
∴①当点E在x轴上时，
E（，0）且PE=PC，
∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴m2=5（m﹣1）2，
∴m1=2，m2=，学科*网
∴E1（2，0），E2（，0），
②当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，
∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴1=（m﹣1）2，
∴m1=2，m2=0（舍），
∴E（0，4），
综上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．
8．已知：直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，且交x轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m．
①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；
②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q的坐标若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①当m=3时，△PAB的面积最大，最大值是9，②在直线PD上否存在点Q（3，）或（3，﹣），使△QBC为直角三角形．
【详解】
（1）∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣3）．
将A（6，0）、B（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．学科&网
（2）①过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，如图1所示．

设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，m2﹣m﹣3），点E的坐标为（m，m﹣3），
∴PE=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+2m，
∴S△PAB=×PE×（AD+DO）=×（﹣m2+2m）×6=﹣m2+6m=﹣（m﹣3）2+9，
∴当m=3时，△PAB的面积最大，最大值是9．
②当y=0时，有x2﹣x﹣3=0，
解得：x1=﹣，x2=6，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
设点Q的坐标为（3，y），
则CQ2=（）2+y2，BC2=9+，BQ2=9+（y+3）2．
当∠QCB=90°时，有CQ2+BC2=BQ2，
即（）2+y2+9+=9+（y+3）2，

9．如图，已知一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上一点B，该二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．
（1）求点B坐标；
（2）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（3）设一次函数y=x+m的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD是以BD为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

【答案】（1）B（0，2）；（2）y=0.5x2﹣2x+2；（3）P1（1，0）和P2（7.25，0）；
【详解】
（1）∵y=x+2交x轴于点A（﹣4，0），
∴0=×（﹣4）+m，
∴m=2，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x﹣2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；学&科网
（3）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴，
∴，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），

10．已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且当和时二次函数的函数值相等．
（）求实数、的值．
（）如图，动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点停止运动时，点随之停止运动．设运动时间为秒．连接，将沿翻折，使点落在点处，得到．
①是否存在某一时刻，使得为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
②设与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式．

【答案】（1），；（2）①存在，或；②当时， ；当时，S；当时，.
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．学科*网
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．

∵，，，
又∵，
∴，
∴，
∴翻折后，落在处，∴，
∴，，
若为，点在上时，
i）∴若为直角顶点，则与重合，
∴，，如图
ii）若为直角顶点，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，如图

②i）当时，重叠部分为，
∴．
ii）当时，设与相交于点，则重叠部分为四边形，如图，
过点作于，设，则，，
∴，学科*网
∵，
∴，
∴，
∴ ．

iii）当时，重叠部分为，如图，
∵，，
∴．
11．如图（1），已知抛物线E：y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x=1．
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）将抛物线E向下平移d个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求d的取值范围；
（3）如图（2），设点P是抛物线E上任意一点，点H在直线x=﹣3上，△PBH能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）d的范围为2≤d≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（）或（）
【解析】
【分析】
（1）先确定出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出直线BC解析式，再确定出顶点坐标（1，4），最后根据平移即可得出结论；
（3）分两种情况，利用全等三角形的对应边相等，建立方程求解即可得出结论．

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵a=﹣1，b=2，c=3，
∴抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线E的顶点坐标为（1，4），
∵对于直线y=﹣x+3，
当x=1时，y=2，
∵抛物线E向下平移d个单位，
∴当d=2时，抛物线的顶点落在BC上，
当d=4时，抛物线的顶点落在OB上，
∴d的范围为2≤d≤4；学科*网
（3）设P（m，﹣m2+2m+3），H（﹣3，n），
①当点P在x轴上方时，如图（2），过点P作PE⊥直线x=﹣3于E，过点B作BF⊥EP交EP的延长线于F，[来源:Zxxk.Com]
∵B（3，0），△PBH是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPH=90°，BP=PH，
∴∠EPH=∠FBP，
∴△PHE≌△BPE，
∴PE=BF，
∵PE=BF=﹣m2+2m+3，PF=3﹣m，且PE=PF=6，
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，
∴m=1或m=0，
∴P（1，4）或（0，3）；
②当点P在x轴下方时，如图（1），
过点P作PG⊥直线x=﹣3于G，过点B作BK⊥GP交GP的延长线于K，
易知，△PHG≌△BPK，
∴PG=BK，
∴PG=6﹣（3﹣m）=m+3，BK=m2﹣2m﹣3，
∴m+3=m2﹣2m﹣3，学*科网
∴
∴或.
即：P（1，4）或（0，3）或或


12．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．
（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；
（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；
（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?

【答案】（1）点A（﹣1，0），点B（3，0）；（2）四边形ACDE是平行四边形．证明见解析；（3）当或时，△ADF为直角三角形．
【详解】
解（1）根据题意可知，
∵y=﹣a(x+1)(x﹣3)，
∴当y=0时，x=﹣1或x=3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0）；

（3）过点D作DG⊥AB于点G，由，可知OE=GE，

又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，
∴△OEF ≌△DEG（ASA），
∴OF=GD=3a，学*科网
∴F点坐标为（0，-3a），
讨论：①若∠DAF=90°，则∠DAG+∠FAO=90°，
又∠FAO+∠AFO=90°，
∴∠DAG=∠AFO，
又∠AOF=∠DGA=90°，
∴△AOF∽△DGA，
∴，
即，
∴，
∵a > 0，
∴，
∵以上各步均可逆，故合题意；
②若∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFO=90°，
又∵，
∴OF垂直平分AE，
∴AF=EF，
∴∠DFC=∠AFO=45°，
∴OF=OA，
∴，
∴，学科&网
∵以上各步均可逆，故合题意.
综上，当或时，△ADF为直角三角形．
13．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四边形CMNC′的面积为m2.
根据平移，可以得到点C′，A′，D′的坐标，再根据待定系数法可以得到直线A′C′，BC，C′D′的解析式，根据交点的计算方法列方程组可以求得点M，N的坐标，根据平移的定义和平行四边形的定义可知四边形CMNC′是平行四边形，再根据平行四边形面积的计算方法可以得到平行四边形CMNC′的面积.
【详解】[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（1）当y＝0时，﹣x2＋＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0）．
∵﹣＝学科*网
∴抛物线w的对称轴为直线x＝2，
∴点D坐标为（2，0）．
当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线l的表达式为y＝kx＋b，
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
解得
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图.

此时抛物线w′的对称轴与x轴的交点为G，
∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，学&科网
∴tan∠1＝tan∠3，
∴=．设点F的坐标为（xF，﹣2xF＋4），
∴＝，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，
∴点F的坐标为（5，﹣6），此时抛物线w′的函数表达式为y＝﹣x2＋x；
(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝x＋4﹣m，
直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，
直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，

14．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)① M（1，），N（1，3）； ②见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；
②不存在．理由如下：设点P 的坐标为（m，-m+4），则D（m，-m2+m+4），PD=-m2+m+4-（-m+4）=-m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：m2+2m=，解得：m=1，则：点P（3，1），由N（1，3），则：PN=≠MN，即可求解；学科*网
（2）分∠BDP=90°或∠PBD=90°两种情况，求解即可．

②不存在．理由如下：
MN＝﹣3＝，
设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），

PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∵PD∥MN．
∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），
∴点P（3，1），由N（1，3），
∴PN＝≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形，
即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，
则PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．学科*网
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．对称轴为直线，点在抛物线上．
（1）求直线的解析式；
（2）为直线下方抛物线上的一点，连接、．当的面积最大时，在直线上取一点，过作轴的垂线，垂足为点，连接、．若时，求的值；

（3）将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过原点．与轴的另一个交点为．设是抛物线上任意一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点的坐标．若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能．，，，
，根据二次函数的性质求出E的坐标，可得当时，最大，因为关于直线的对称点为，的垂直平分线交直线于点，过作轴的垂线，由勾股定理得，即可解决问题；学&科网
（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．

【详解】
解：（1）∵当时， ，
∴．
又∵在抛物线上，
∴
，
∴．

设的解析式为．
∴
解得：
∴的解析式为．


（3）能．，， ，
16．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；
（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．
【详解】
（1）∵直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∵抛物线的对称轴x＝﹣，A，C关于对称轴对称，
∴C（1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．学&科网
（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．

∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，
∴△BAE∽△BOC，
∴，
∴，
∴AE＝，
∵∠EAF+∠BAO＝90°，∠BAO＝45°，
∴∠EAF＝45°，
∴EF＝AF＝1，
∴E（3，1），

∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，
由△EHO∽△OGF得到：
，
∴，
∴x1x2+y1y2=0，学&科网
由，消去y得到：x2+b-2=0，
∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，
∴2（b-2）+b2=0，
解得b=-1-或-1+（舍弃），
当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+，
综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-．
17．已知抛物线的表达式是y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a（a为不等于0的常数），上述抛物线无论a为何值始终经过定点A和定点B；A为x轴上的点，B为第一象限内的点．
（1）请写出A，B两点的坐标：A（　 　，0）；B（　 　，　 　）；
（2）如图1，当抛物线与x轴只有一个公共点时，求a的值；
（3）如图2，当a＜0时，若上述抛物线顶点是D，与x轴的另一交点为点C，且点A，B，C，D中没有两个点相互重合．
求：①△ABC能否是直角三角形，为什么？
②若使得△ABD是直角三角形，请你求出a的值．（求出1个a的值即可）

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）a=；（3）①a=﹣；②a=﹣1．
【详解】
解：（1）y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a=a（x2﹣x﹣2）+x+1，
当（x2﹣x﹣2）=0时，无论a为何值始终经过定点A和定点B，
则x=﹣1或2，则A（﹣1，0）、B（2，3）；
故：答案是﹣1，2，3；学&科网
（2）当抛物线与x轴只有一个公共点时，△=0，
即：（1﹣a）2﹣2a（1﹣2a）=0，解得：a=；
（3）①A（﹣1，0），设C（x，0），
由韦达定理：﹣1•x=，则C（，0），
AB所在的直线的k1值为1，
BC所在的直线的k2值为： =3a，
当k1•k2=﹣1时，AB⊥BC，解得：a=﹣；
②设：∠ABD=90°，
则直线BD所在直线方程的k=﹣1，其直线方程为：y=﹣x+5，
将直线BD所在的方程与二次函数联立得：
ax2+（2﹣a）x﹣（4+2a）=0，
设：D（m，n），而B（2，3）
由韦达定理得：m•2=﹣，则m=﹣，
由y=ax2+（1﹣a）x+1﹣2a知，m=，
即：﹣=，学科&网
解得：a=﹣1．
18．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；
（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+4x+3;（2）t为1秒或秒;（3）见解析.
【解析】
【详解】
（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，3）．
将A（-3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得： ，解得：，
∴抛物线解析式为y=x2+4x+3．
（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（-t，0），点N的坐标为（t-3，t），
∴AM=3-t，AN=t．学科*网
∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°，
∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．

当∠ANM=90°时，有AM=AN，即3-t=2t，
解得：t=1；
当∠AMN=90°时，有t-3=-t，
解得：t=．
综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．
（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．


19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（-4，n）在抛物线上．
（1）求直线CD的解析式；
（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM=BN时，求EM+MN+BN的值．
（3）将抛物线y=x2+2x-3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过原点O，y′与x轴的另一个交点为F，设P是抛物线y′上任意一点，点Q在直线l上，△PFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．

【答案】（1）直线CD的解析式为y=-2x-3；（2）1+；（3）存在．满足条件的点P坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
（3）存在．如图2中．作P1M⊥x轴于M，P1N⊥对称轴l于N．对称轴l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出点P在∠MKN的角平分线上，只要求出直线KP1的解析式，构建方程组即可解决问题，同法可求P3，P4．
【详解】
（1）由题意得：C（0，﹣3），D（﹣4，5），设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线CD的解析式为y=﹣2x﹣3．
（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE=﹣m2﹣4m．

∴S△EDC=•EG•|Dx|=（﹣m2﹣4m）×4=﹣2（m+2）2+8．
∵﹣2＜0，∴m=﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3）．
∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，设CE交对称轴于H．
∵B（1，0），∴EH=OB=1．
∵EM=BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH=ON=OC=，∴EM=BN==，∴EM+MN+BN=1+．
∵